有稜邊的毛細曲面

有稜 邊的毛細曲面

Kirk E. Lancaster

本文原稿為英文 , 由本刊編輯室翻譯為中文。

眾所周知: 有些液體, 譬如油和水, 不相混合; 而另一些液體, 譬如酒精和水, 可相混合。 我 們稱可相混合的液體是互溶的 (miscible), 不相混合的液體是不互溶的 (immiscible)。 有個常 用於預測溶解度的通俗格言: 「同類互溶 (like dissolves like)」, 雖是簡化的說法, 但應是極有 價值的經驗法則。 譬如, 油是由非極性分子組成的流體, 水是由極性分子組成的流體, 因此油和 水不互溶。

毛細曲面是介於兩種、 三種或多種互不相溶流體之間的界面 (其中的一種流體可能是氣體, 譬如空氣)。 舉例來說, 在平衡狀態下漂浮於水上的油滴, 其表面是水、 油和空氣之間的界面, 是 即毛細曲面。 我們將考慮剛硬容器中不互溶的兩個流體的界面; 我們不妨想像兩者分別是水 (或 水與親水性液體的混合物) 及氣體。

介於不互溶的兩種流體之間的界面, 與容器的剛硬管壁接觸時, 流體之一 (以及界面) 可能 會因流體和管壁之間的相互作用而上升或下降。 早期對毛細曲面的研究, 多在探討凸的楔形鉛 直玻璃容器裡, 水和空氣之間的界面。 Francis Hauksbee 和 Brook Taylor 曾拿兩片鉛直玻 璃形成的尖銳 (例如 2.5 度) 楔形容器來做實驗, 觀察其內之毛細曲面的行為, 並分別於 1711 年及 1712 年, 在英國皇家學會會刊上發表觀察報告。 (Brook Taylor 曾發現泰勒定裡、 泰勒 公式和泰勒級數; J. L. Lagrange 曾於 1772 年稱泰勒公式為 「微積分的主要基礎」。 Francis Hauksbee 曾擔任牛頓的實驗室助理; 英國皇家學會於 2010 年頒發 Hauksee 獎, 表彰和獎勵 無名英雄對英國科學、 技術、 工程和數學做出的卓越貢獻, 並紀念該學會成立 350 週年。)

毛細曲面與剛硬管壁相交的曲線, 名為接觸線或接觸曲線。 1805 年及 1806 年, Thomas Young 和 Pierre Simon Laplace 分別對下述觀察提出論證: 當管壁和流體都為均勻, 且整體 配置處於平衡狀態時, 流體界面以恆定角度 — 稱為接觸角 — 碰觸管壁。 1830 年, Johann Carl Friedrich Gauss 援用虛功原理 (the principle of virtual work) 證明: 在上述條件下, 接觸角恆常不變; 而當容器的管壁不均勻時, 接觸角可隨位置而變化。

假設流體所在的容器之支撐面 (support surface, 亦即邊界) 為 W , W 可能是試管、 柱 面 (其橫截面不必是圓形)、 水平面或其他曲面。 想像整個配置位於重力場, 重力可朝下、 朝上 或指向其他方向, 甚或重力場不存在。 懸掛於天花板的水滴是懸滴 (pendent drop); 你或可將

自己倒懸, 感受朝上的重力場, 眼見該物體往上跑。 地板上的水滴是座滴 (sessile drop), 承受 朝下的重力。 而在運行的太空船裡, 牆上的水滴未承受重力。 另外, 鉛直試管或鉛直柱體中的流 體, 承受朝下的重力場。 而汽車擋風玻璃上的水滴, 位於近似水平的曲面上, 其重力場的指向略 為傾斜。 在下圖, 可以假設重力場 (如果存在的話) 朝下。

圖 1: 流體界面 S, 支撐面 W

圖 1 中, 流體界面 S 沿接觸曲線與支撐面 W 接觸。 在左側接觸點, 圖示了 W 及 S 朝下取向的單位法向量 (分別標為黑色及紅色), 而該配置被賦予的邊界條件是: 這兩個向量的 夾角是給定的接觸角 γ。 如果流體 (例如水和空氣) 和容器都為均勻, 則接觸角 γ 在接觸曲線 的各點都相同, 但如果它們不為均勻, 則接觸角 γ 可隨位置而變化。 化學工程師能使用氣相沉 積 (vapor deposition) 之類的技術, 來改變平坦水平板的表面化學性質, 從而建構接觸角逐點 變異的水平板。 他們在板上放置液滴, 觀察液滴為了落實最小能量的平衡狀態, 在板上移動的路 徑; 表面化學而非重力決定了此運動。

圖 2 中, 支撐面 W 是鉛直柱體 C 的邊界。 右側標示出的水平向量, 與柱體正交, 是其 (向 外) 單位法向量, 而另一朝下偏斜的單位向量, 與毛細曲面正交。 這兩個向量的夾角是即接觸角。

接觸角小於直角時, 我們可想像容器的管壁將液體吸起; 在此情況, 我們說容器 (鄰近 γ < π 的接觸點) 是潤濕的 (wetting)。 而當接觸角大於直角時, 我們可想像容器管壁將液體下壓; 在2 此情況, 我們說容器 (鄰近 γ > π

2 的接觸點) 是非潤濕的 (nonwetting)。 接觸角 γ = 0 和 γ = π 分別對應完全潤濕 (perfect wetting) 和完全未潤濕 (perfect nonwetting) 的情況。

圖 2: 柱體中的毛細曲面

是什麼形塑了流體界面 S? 考慮三維空間曲面的均曲率 (mean curvature)。 若在完全 彈性的曲面各點施加恆定的壓力差, 則曲面的均曲率可視為曲面形變的量度。 未承受壓力差的 肥皂薄膜是最小曲面, 曲面各點的均曲率都為零; 而肥皂泡沫 (在平衡狀態下) 的各點具有相同 的非零均曲率, 其值取決於內部和內部的壓力差。 要理解毛細曲面的形狀, 均曲率的概念至關緊 要。

現選定支撐面 W 、 重力場、 容器、 流體的物理特性以及柱體中液滴或流體的體積, 並要求 整體配置使系統的能量處於平衡狀態。 整體配置的能量是下述三種能量的總和: 重力位能、 自 由曲面能量 (與表面積成比例) 及配置的潤濕能 (wetting energy); 流體和柱體之間的潤濕 能是它們之間的粘附能, 決定了接觸角。 或許有人認為平衡狀態的配置會取得能量的局部最小 值或絕對最小值, 但數學上我們無法排除不穩定的均衡 (儘管我們做實驗時不樂見不穩定的配 置)。 天花板上的懸滴取得能量的局部最小值, 卻非絕對最小值, 因為一旦它墜落地板, 且地板離 天花板夠遠, 則墜落後它將有更少的能量。

毛細曲面的另一個實例是: 兩個剛硬物體 (譬如兩個平行的水平板) 之間的液體連接橋 (liquid bridge), 其形狀體現系統能量的平衡。 有關液體連接橋的一個有趣的實驗記錄在 Philo- sophical Transactions of the Royal Society 第27卷 (1710∼1712 年) 的 395-396頁, 論文 標題為“An Account of an Experiment Touching the Direction of a Drop of Oil of Or- anges, between Two Glass Planes, towards Any Side of Them That is Nearest Pressed Together (兩玻璃面之間的橙色油滴連接起迫近面的實驗記錄)”。 作者為 Francis Hauksbee, 在 https://www.jstor.org/stable/i206892 可免費閱覽文章, 亦可附帶找到 Francis Hauksbee (及其他人) 的一些文章。

數學上, 毛細問題的形式極為優雅。 我們要找的曲面, 其均曲率 H 為給定的函數 (視為位 置的函數), 並以給定的角度 (視為位置的函數) 與支撐面 W 接觸。 然而, 從分析的角度來看, 該問題極具挑戰性, 要在涉及導數之非線性函數的邊界條件下, 解決高度非線性的偏微分算子 的邊界值問題。

假設重力場均勻且朝下作用, 則流體不可壓縮, 且溫度恆定 (即我們可忽略熱效應)。 在此 情況, 曲面 S 的平均曲率 H 是高度 z 的仿射函數:

H(x, y, z) = κz + A,

其中高度 z 是相對於某個參考水平面做測量所得, 而 H 是高度的遞增函數 (即 κ > 0)。

Robert Finn 教授 (任教於史坦福大學) 等學者, 研究了流體可壓縮的情況下, 流體界面 S 的統御方程; 該方程涉及相關流體的壓力、 密度的組成關係。 要強調的是, 毛細曲面 (在時間上) 為靜止, 因此牛頓流體和非牛頓流體之間的區別不顯著, 至關緊要的是壓力和密度 (和溫度) 之 間的關係。

假設 Ω 是平面上夠好的區域, 在邊界 ∂Ω 上的點 O 處有稜角; 不妨假設稜角位於平面座

標系的原點 (即 O = (0, 0))。 我們考慮鉛直柱體 C, 其橫截面為 Ω 的邊界 (即 C = ∂Ω × R), 如圖 3 所示。

圖 3: 有皺褶的鉛直柱體

因此, 讓我們考慮開集 Ω, 其邊界在原點處形成小於 π 的尖角, 如圖 4 所示。 假設給定的接觸 角 γ 隨位置而變化, 但與高度無關:

Γ(x, y, z) = γ(x, y);

為簡單起見, 我們設接觸角在 Ω 的的上邊界 ∂⁺Ω 為常數 γ1, 在 Ω 的下邊界 ∂⁻Ω 為常數 γ2。 我們感興趣的是: 在摺痕 O × R 附近的毛細曲面 (局部) 行為。

圖 4: 有稜角的凸域

首先注意到, 無論重力是否存在, 鉛直柱體中的毛細曲面 S 必為函數圖形; 這個結果的證 明最初是由 Finn 教授提出, 而後 Texas A&M 大學的 Thomas Vogel 教授於 1988 年推廣

它至更一般的情況。 設毛細曲面 S 為函數 f 的圖形, 亦即 S = {(x, y, f (x, y)) : (x, y) ∈ Ω}.

在 O = (0, 0) 處, 函數 f 沿方向 θ 的徑向極限, 是 S 沿方向 θ 接近原點時趨近的高度; 換言 之, 假設向量 (cos θ, sin θ) 指向區域 Ω, 則沿方向 θ 的徑向極限是

Rf(θ) = lim

r→0⁺f(r cos θ, r sin θ).

藉由探討這些徑向極限, 我們可以理解毛細曲面在摺痕附近的行為。

本文的目的, 是要描述徑向極限的行為及 Concus-Finn 猜想的證明。 該猜想於 1970 年 提出, 迄今已四十載, 相關研究仍持續進行。

十九世紀至二十世紀初, 毛細曲面的研究蔚為風潮; 舉例來說, 愛因斯坦於 1900 年時發 表的首篇科學論文 (刊登於 Annalen der Physik), 題目正是“Folgerungen aus den Capil- laritatserscheinungen (毛細現象的推論)”。 隨後毛細作用不復風行, 未再獲深入的研究。 到線 上資料庫 MathSciNet, 搜索標題或評論包括“capillary”一詞的論文時, 1900 年至 1960 年 僅列出 29 篇。 固然, 基於諸多因素, 這個列表並不完整, 但這仍確實反映了毛細作用的普及度。

然而在 1970 年至 1990 年期間, 相同搜索列出了 527 篇論文。 眾人對毛細作用的興趣緣何遽 增? 據我所知, Paul Concus 和 Robert Finn 的工作引爆了人們對毛細作用的興趣。

1960 年代, Paul Concus (任職於柏克萊 Lawrence 實驗室暨加州大學柏克萊分校) 研 究了 NASA 太空船的油箱設計。 在外太空, 重力的影響可忽略不計, 是即所謂的 「零重力」 (或

「微重力」) 狀態。 零重力下的毛細曲面, 均曲率為常數 , 如同肥皂泡沫。 他的計算顯示, 在零重 力下, 燃料箱的形狀足以防止燃料進入小型發動機或推進器的燃料泵, 因此返航時能以正確的 定向啟動主發動機。 Paul Concus 與 Robert Finn 對此進行討論, 開啟了持續五十年的合作。

令 γ1 及 γ2 為接觸角 γ 沿邊界兩側在原點的極限, 且令 2α 為 Ω 在 (0, 0) 處的角度。

Concus 和 Finn 在接觸角為常數 (因此 γ1 = γ2) 的情況, 證明: 若 |π − γ1− γ2| > 2α (因 此, 在圖 5 中, (γ1, γ2) 在主對角線上, 且位於 D1⁺ 或 D⁻1 中), 則鉛直柱體 Ω × R 中, 不存在 滿足接觸角邊界條件的常均曲率曲面, 在 1969 年寫成眾所瞩目的論文 “On the behavior of a capillary surface in a wedge (楔形曲域上毛細曲面行為)”, 發表於美國的 Proceedings of the National Academy of Sciences。 他們在文章中以數學證明: 美國 NASA 推進器的油箱 設計有缺陷, 而 「Concus-Finn 條件」 隨後出現在工程、 流體力學、 化學工程和法律專利文獻 中。 他們也同時證明了: 在正重力下, 具有恆定接觸角 (因此 γ1 = γ2) 的毛細問題解必無界;

事實上, 在正重力下趨近角落時, 若 (γ1, γ2) 位於 D1⁺, 則毛細曲面升至 +∞, 而若 (γ1, γ2) 位 於 D⁻1, 則毛細曲面降至 −∞。

1970 年, Concus 和 Finn 推測: 零重力或正重力下, 在角度為 2α 的凸角處, 不等式

|π − γ1− γ2| < 2α 且 2α + |γ1− γ2| ≤ π (1)

是毛細曲面為連續的充要條件, 是即 Concus-Finn 猜想。 圖 5 的矩形現稱 「Concus-Finn 矩 形」, 其中標記為 R 的 (黃色) 區域滿足 (1)。 1980 年, 史坦福大學的 Leon Simon 證明: 若 γ1 = γ2 且 (γ1, γ2) 位於區域 R 的內部, 則毛細曲面在尖角為連續。 譚聯輝於 1986 年證明 了: γ1 = γ2 且 (γ1, γ2) 位於區域 R 的邊界時也是如此。

迄 1996 年, Concus 和 Finn 已證明: 若 (γ1, γ2) 位於圖 5 中標記為 D1⁺ 或 D1⁻ 的 (綠色) 區域, 則不存在滿足接觸角邊界條件的有界解。 1996 年, 他們建構出一些在尖角連續的 毛細曲面, 其 (γ1, γ2) 在區域 R 中且 γ1 = γ2; 他們同時也建構了圖 5, 標示他們對 2α < π 角處毛細曲面連續性的看法。 (圖 5 中未標記出 R 的頂點座標, 我們注意到它們僅取決於 2α;

例如, 底角的座標為 (π − 2α, 0), 亦即, γ1 = π − 2α, γ2 = 0)。 他們對毛細曲面的見解, 迄今 讓人驚歎。

圖 5: 2α < π 情況下的 Concus-Finn 矩形

然而, 他們並未對更一般的情況證明: 當 (γ1, γ2) 位於 (黃色) 區域 R 時, 毛細曲面在尖 角連續。 他們也未能證明: 當 (γ1, γ2) 位於標記為 D⁺2 或 D⁻₂ 的 (藍色) 區域時, 毛細曲面不 連續, 儘管數值計算結果如此顯示。 始自 1989 年, David Siegel (任教於 Waterloo 大學) 和 我合作, 研究稜角處毛細曲面徑向極限的行為, 並於 1996 年發表研究成果, 證明徑向極限在諸 多情況下存在, 並對其行為做定性描述。 這項研究得出推論: 當 (γ1, γ2) 位於標記為 R 的區域 時, 毛細曲面連續。 Math Reviews 列該論文為 Featured Review 。

2003 年夏天, 我訪問德國萊比錫的 Max Planck 數學研究所; 當時該所邀集諸多研究毛 細曲面的學者, 包括 Maria Athanassenas、 Finn、 John McCuan、 Erich Miersemann、

Siegel、 Henry Wente 等。 當時的主要討論議題是 Concus-Finn 猜想的正確性。 2010 年, 我 證明: 若 (γ1, γ2) 位於標記為 D⁺2 或 D⁻₂ 的 (藍色) 區域, 且毛細曲面 z = f (x, y) 滿足接觸 角邊界條件, 則該曲面在尖角不連續, Concus-Finn 猜想也於焉得證。

這結果顯示: 相較於類似但更傳統的線性偏微分方程 (例如 Laplace 方程或 Poisson 方 程) 的解行為, 毛細曲面在尖角的徑向極限行為截然不同。 我將描述有界毛細曲面的這種行為;

在我將討論的情況, 毛細曲面在尖角的極限接觸角 γ1及 γ2位於 D⁺2 或 D2⁻— 因為當 (γ1, γ2) 位於 D⁺1 或 D1⁻時, 不存在有界毛細曲面, 而當 (γ1, γ2) 位於 R 時, 毛細曲面在尖角連續。 我 也會將這種行為與更傳統的方程解做比對。

下文中, 我將考慮的毛細曲面 S = {(x, y, f (x, y)) : (x, y) ∈ Ω}, 在角度為 2α 的稜角, 接觸角極限為 γ1 及 γ2。 對原點做適當旋轉, 使得在 (0, 0) 處 θ = α 是上邊界的切線方向, θ = −α 是下邊界的切線方向, 如圖 4 所示; 該圖中 2α < π。

我們先討論 2α < π 的情況, 亦即凸角的情況。 首先設 2α < π 且 (γ1, γ2) 位於 D⁺1。 我 們知道, 在此情況, 毛細曲面的高度 z = f (x, y) 在尖角不連續, 且 f 的徑向極限具如下之形 式:

Rf(θ)為







常數, 若 θ ∈ [−α, −α + γ2], 嚴格遞增, 若 θ ∈ [−α + γ2, α− γ1], 常數, 若 θ ∈ [α − γ1, α],

圖 6: 在凹角的不連續性

其次假設 2α < π 且 (γ1, γ2) 位於 D1⁻。 在此情況, 毛細曲面的高度 z = f (x, y) 在尖角 不連續, 且 f 徑向極限具如下之形式:

Rf(θ)為







常數, 若 θ ∈ [−α, −α + π − γ2],

嚴格遞減, 若 θ ∈ [−α + π − γ2, α+ γ1− π], 常數, 若 θ ∈ [α + γ1− π, α],

這些毛細曲面看來像是圖 6 的反轉版本。

現考慮非凸角 2α > π 的情況, 也就是所謂的凹角。 Concus 和 Finn 未提供凹角情況 的 「Concus-Finn 矩形」, 但我們不難建構出形同圖 5 的矩形; 雖然該圖形仍全然取決於稜角 的角度 2α (且與重力無關), 但兩張圖裡區域 R 的頂點座標不同; 例如, 凹角時底角座標為 (2α − π, 0), 參見圖 8。 相較於凸角的情況, 在非凸角附近毛細曲面必為有界。 當 2α > π 且 (γ1, γ2) 不在圖 8 的區域 R 時, 我在 2012 年證明: 在此情況, 高度 f 在稜角不連續。 更 甚者, 我們觀察到新的現象: 徑向極限在角度為 π 的扇形域為常數; 我們稱該扇形域為中央扇 (central fan)。

圖 7: 凹角 (π < 2α < 2π)

回想圖 5 中 2α < π 的情況, 若 (γ1, γ2) 在區域 D2⁺, 則徑向極限在 [−α, −α + γ2] 及 [α−γ1, α] 等兩個區間內為常數, 而若 (γ1, γ2) 在區域 D2⁻中, 則徑向極限在 [−α, −α+π−γ2] 及 [α + γ1− π, α] 為常數; 雖然這些區間未特別標示, 但我們因此而得知: (γ1, γ2) 位於區域 R 時, 毛細曲面的高度 z = f 在凸角連續。 這些區間稱為側扇 (side fan)。 而在凹角的情況, 必會出現下述型態之一。

1. 高度 f 在凹角連續, 且 Rf (θ) 在 [−α, α] 為常數; 這情況會發生, 唯當角度非凸且 (γ1, γ2) 位於下圖 Concus-Finn 矩形中標記為 R 的區域。 然而, (γ1, γ2) 位於 R 是 f 在非凸角 連續的必要但非充分條件。

圖 8: 凹角情況的 Concus-Finn 矩形

在其餘情況, 毛細曲面的高度 f 在凹角不連續。 側扇的確切尺寸 [−α, −α + σ2] 及 [α − σ1, α] (即 σ1 和 σ2 的值) 並不重要。 情況 4 和情況 5 的中央扇 [θ1, θ1 + π] 有半空間的 角度量, 但中央扇的位置 (即 θ1 的值) 未知。

2.

Rf(θ)為







常數, 若 θ ∈ [−α, −α + σ2], 嚴格遞增, 若 θ ∈ [−α + σ2, α− σ1], 常數, 若 θ ∈ [α − σ1, α],

3.

Rf(θ)為







常數, 若 θ ∈ [−α, −α − σ2],

嚴格遞減, 若 θ ∈ [−α + π − γ2, α+ γ1− π], 常數, 若 θ ∈ [α − σ1, α],

4.

Rf(θ)為



















常數, 若 θ ∈ [−α, −α + σ2], 嚴格遞減, 若 θ ∈ [−α + σ2, θ1], 常數, 若 θ ∈ [θ1, θ1+ π], 嚴格遞增, 若 θ ∈ [θ1+ π, α − σ1], 常數, 若 θ ∈ [α − σ1, α], 5.

Rf(θ)為



















常數, 若 θ ∈ [−α, −α + σ2], 嚴格遞增, 若 θ ∈ [−α + σ2, θ1], 常數, 若 θ ∈ [θ1, θ1+ π], 嚴格遞減, 若 θ ∈ [θ1+ π, α − σ1], 常數, 若 θ ∈ [α − σ1, α],

中央扇的存在性是極為重要且尚待解決的問題。 2008 年, Monash 大學的 Maria Athanasse- nas 教授和我在聯名論文中主張: 在鉛直柱體內的毛細曲面的研究中, 這是最難且最重要的問 題。 毛細曲面沿著皺摺、 「釘紮線 (pinning line)」 等地方的行為, 似乎與鉛直柱體中的行為相 同; 最早出現這種主張的, 是 Dieter Langbein 的書, 題為“Capillary surfaces. Shape–

stability–dynamics, in particular under weightlessness (失重狀態下毛細曲面之形狀、 穩 定性、 動力學)” (Vol. 178, Springer Tracts in Modern Physics (2002))。 我目前正致力於 此看法的證明。

數學家, 物理學家, 工程師正進行研究的, 包括: 柱體及試管中有皺摺的毛細曲面、 觸及

「釘紮線」 的液滴及流體、 微小電子元件上的毛細曲面等。 生物學家感興趣的, 是致病有機體可 以在粉塵粒子的微觀流體儲存器中存活。 另外, 談到光刻 (photolithography, 亦稱 optical lithography), 它對薄膜或塊狀基板上的圖案化部件進行微加工, 而由於水的折射率高於空氣,

因此它使用水 (以及具有更高折射率的其他流體) 製造微芯片和微電路; 在該製造過程中, 使用 的水 (或其他流體) 與周圍大氣 (或真空) 之間的界面是即毛細曲面, 因此理解這些毛細曲面的 行為乃屬必要。 我很幸運, 能與身在世界各地的傑出學者進行合作。

—本文作者為美國 Wichita 州立大學退休教授—

2019 Spring Probability Workshop

日 期 : 2019 年 5 月 20 日 (星期一) ∼ 2019 年 5 月 22 日 (星期三) 地 點 : 台北市大安區羅斯福路四段 1 號 天文數學館 6 樓

詳 見 :

https://www.math.sinica.edu.tw/www/file upload/conference/201905PROB/Prob.html