102 學年度高級中學數學科能力競賽決賽

(1)

102 學年度高級中學數學科能力競賽決賽

獨立研究（二）參考解答

一、【參考解答】

由 f x( )的條件得

2 1 1 0 1 0

2

3 2 2 1 2 1 1 0

1 1 1 1 0

( ) ( ) ,

( ) ( ) ⁿ .

n n n n n n

x x f x f x r x x

x x f x f x r x x r x x

x _ x f x f x _ r x x _ r x x

    

      

       

因此

1 1 2 1

1 2

1 0 1 0 1 0

-1 2

1 0

1

1 0 1 0

( )

( ) .

1

m n m m m m n n

m m n

n

n n

x x x x x x x x

r x x r x x r x x

r r r x x

r r x x r x x

r

   

 





       

      

    

     

 證畢。

二、【參考解答】

如圖，建立直角坐標系(以 的中垂線為 y 軸，過 C 點的水平線(平行 ) 為 x 軸)。

AB AB

(2)

X, Y 分別在 , 邊上且過G點平行 . G：重心坐標為 . 連

延長交 於 E, 此時， , 其延長線與 x 軸之夾角為 . 僅須再解說: 當 P 在 , Q 在 且 過 G 點時， . 理由如下:

: , :

的斜率為 .

的斜率 .

過 G 點且斜率 m 介於 0, 之間的直線方程式:

, .

依此求 Q 的坐標

3 3 3

y x

y mx

 

  



：得

.

同理，由 P：

3 3 3

y x

y mx

  



 



得

.

因此，而此函數在為遞增函數。

得m0時， , 為最小，而時， ,

為最大。綜合得知 .

AC BC XY AB 0, ³

3

 

 

 

BG AC BEAC 30

XE BY PQ 2 3

3PQ 2

BC y 3x AC y  3x

BE tan 30 ³

 3 XY tan 0 0

PQ 3

0 m 3

3

3 PQ

3

y 3 mx 3 0 m 3



³



^, ³¹

3 3

Q m m

 

 

   

 



³



^, ³¹

3 3

P m m

  

 

   

 

 

2 2

4 1 3 PQ m

m

 



0 3 m 3

 

2 4

PQ 9 2

PQ XY  3 3

m 3 ² 3 PQ 4 3

PQBE 2 2 3

3PQ 2

(3)

三、【參考解答】

首先可注意到

1 1 2 1

1 1 1

.

k k k k k k

a _ a a _ a  a _ a _

  

此即

1 1 2 1

1 1 1

.

k k k k k k

a _ a  a _ a a _ a _

  

所以

1 1 2 1

1 1

1 .

n

k_ ak_ ak   an_ an_

 



只要可證出a_k_₂ a_k_₁2(a_k_₁a_k)對所有正整數k均成立，本題的不等式就得證。我們利用數學歸納法證明a_k a_k_₁3a_k，對所有k 1, 2, 3, 均成立。這是因為：如果已知a_k a_k_₁3a_k，則

1 1

2 1

( )( )

2 0,

k k k k

k k

k

a a a a

a a

a

 

 

  

且

2

1 1 1

2 1

( 3 )

3 0.

2

k k k k k k

k k

k

a a a a a a

a a

a

  

 

  

  

所以

1 1

2 1 1

( )( )

2( ).

2

k k k k

k

a a a a

a

 

  

 

   