教育部九十四學年度高級中學數學競賽

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教育部九十四學年度高級中學數學競賽

嘉義區複賽試題（一）【解答】

一、【解】P_k Prob（排在第 k 個位置得到電影票）

Prob（第 k 個人與前面









皆不同）

^{3 6 5}₁ ^{1 1} 3 6 5 3 6 5

,k k

P  k



   其中

 

,

!

m r ! P n

 n r



欲求k使得P 有最大值；也就是找到最大的_k k使得P_k1P_k 0，

365 1

365 1 1

365 1

365 365 1

1 365 1

365 365

,

, k k k

k k

k

P k

P k k

P k

P k







     

      

k 19 612.  k 20

二、【證】令^{N }



 



令^b





假設N是有理數

由等式 b^{m1 1}_m1 b ¹ b^{m 1}_m b^{m1 1}_m1

b b b b

 

 

    

          m1， ² 1₂

2

b N N

b    是有理數 m2，b^{3 1}₃ N b^{2 1}₂ N

b b

 

     是有理數

m3，b^{4 1}₄ N b^{3 1}₃ b^{2 1}₂

b b b

   

        是有理數

m 1 b m

b 是有理數 m ， n 1 b n

b 亦是有理數

但 1 ^{2 2}

1 1 2

n

b n a a a a a

b        是有理數矛盾

2

^{N }



 



三、【證】比較實部與虛部，原方程與下組方程等價

   

 

 

1 1

1 1 0

a x a x px px p

a x a x px px

      

      

 (*)

將其改寫為

     

   

2 1 3 4 1 2

1 2 3 4 2 1

1

x x a p x x x x

x x a p x x x x

       

      

 (**)

若 ^{2 1 3 4}

2 1 3 4

1 0 x x x x

x x x x

  

   

則 a 可表為x x x x 之有理函數，故₁, ₂, ₃, ₄ a p, 必為有理數，與假設矛盾

因此若原方程有整數解 ^{2 1 3 4}

1 2 3 4

1 0 x x x x

x x x x

  

    ，同時(**)因有解，

故



 

 

 

 

 



因此



 



^{2 x}





x₁x₂ 0

代回(**)，因p0，有 ^{3 4}

3 4 1

x x x x

 

  

 ，解得 _{3 4} ¹

x x  2 。

四、【證】如圖，a² b² 2abcos c²d²2cdcos ，

2 2 2 2

c o s c o sa b2 c d

a b  c d  ^{  }

四邊形面積 ¹

 

2 sin sin S  ab cd 

^{2 1}





4 sin sin sin sin

S  a b c d  abcd  





4 cos sin 2 cos cos

a b c d

a b  c d  abcd  

  

  

a c

d

b t





3

^{4 2 1}





^{ }

4 cos

S  a   b c d a b c d  abcd  

^{2 1 4}



 



^{ }

16

cos a b c d a b c d fabcd

S  ^        



    

  

s a s b s c s d    16    a b c d a b c d   ^{   }







   

   ^{   } 

           

 

      

 

2 2 2 2

2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

1 16

1 16

1 2 16

c d a b a b c d

c d a b a b c d a b c d

a b c d fabcd a b c d

      

         

       

²

    



  

2 c o s

s s a s b s b s d  a b c d

        

    

c o s 2 s a s b s c s d a b c d 

     

         

4

s a s b s c s d

s s a s b s c s d   

       

 

2

2

 s

  

 

當

2

a   b c d s 時，A180⁰時，四邊形為正方形，且

2

2 s  s

  

  故周長為2s最大面積之四邊形為正方形。