102 學年度高級中學數學科能力競賽決賽

102 學年度高級中學數學科能力競賽決賽

獨立研究（一）參考解答

一、【參考解答】

將x1代入

( ) ( ) ( )

x f xy    f y x f x …… (1)

得

( ) ( ) (1)

f y   f y f

.

令 f(1)a，就有

( ) ( )

f   y a f y …… (2) 將y 1代入(1)式可得

( ) (1) ( )

x f  x f  x f x

.

利用(2)式可轉換為

( ( )) ( )

x a f x   a x f x

.

2 2

a x a

f x x x

  

    .

最後，我們必須檢查：對所有的實數c，函數 f x( )c(1 1 / ) x 是 否為(1)式的解。代入得

1 1 1 1

( ) ( ) 1 1 1

( 1) 1 1 ( ).

x f xy f y x c c c x

xy y y y

c x x c x f x

x

     

                

 

        證畢。

二、【參考解答】

令⁵ x  1 1 y, 153⁵   x 1 y, 則

將 代入 得

三、【參考解答】

設 f x( )0有一整數根，且設

1

0 1

( ) ^{n n} + ,_n

f x a x a x ^  a a_iZ

根據假設條件知道|a_n，亦即| (0)f 。又因為 f(0)為奇數，則 亦為奇數。另一方面， f(1)為奇數，則有

(1) ( ) (1) 0 (1)

f  f   f   f 因此， f(1) f( ) 亦為奇數。但是，我們知道

1

0 1 1 0 1 1

1

0 1 -1

(1) ( )

( + ) ( )

( 1) ( 1) ( 1) .

n n

n n n n

n n

n

f f

a a a a a a a a

a a a



  

  



 





        

 

        

由此可知(1) | (1)f  f( ) ，故 1亦為奇數，此與為奇數矛 盾，故得證。

5 5

4 2

2

(1 ) (1 ) ( 1) (153 ) 152

2 15 0

3 5 ( )

3.

y y x x

y y

y y

       

  

 

 

或 不合

3

y  ⁵ x  1 1 y,

( 1) (1 3)5 76 44 3, 77 44 3.

x x

    

 