氣體動力論

氣體動力論

§氣體動力論

氣體動力論

1. 氣體動力論：

合力 F P F

=A

2. 理想氣體模型的基本假設：

• 理想氣體是由極大數目的分子所組成，且分子的運動是無 規則的，因此在任一段時間內，向各方向運動的分子數目 皆相同。

• 分子與分子間距離比分子直徑大得多，因此通常在低密度 下，氣體分子本身的總體積與氣體占有空間的體積相比是 極微小的。

• 分子可視為小剛球，當其互相間的碰撞或與容器壁的碰撞 是作彈性碰撞，並且遵守牛頓運動定律。碰撞時間極短，

除碰撞外，分子間沒有相互作用力，所以在兩次碰撞之間 分子作等速直線運動。

3. 理論的推導：

• 考慮一邊長為 L、容積為 V（= L³） 的正立方密閉容器，如右圖，內含 N 個相同的氣體分子，每個分子質 量均為 m。

• 若器壁是光滑之剛體，則分子與器 壁的碰撞呈彈性碰撞。第 i 個分子與 A x面碰撞後，其速度與此面平行的 分量 v _{i y}與 v _{i z}將不改變，如右圖所 示，僅 v _{i x}分量在碰撞後變成

- v i x，即此分子之動量變化的量值 Δpi= 2mv i x。

L y

x z

Ax

v

v

v

v

v

v

− v

v

y

x z

• 假如這個氣體分子彈回去後未與其它氣體分子發生碰撞，

彈到對面器壁彈回來再一次碰到這面器壁所經過的時間

i ix

t 2L

∆ = v

這個氣體分子不斷的來回碰撞這面器壁，對這面器壁所 產生的平均撞擊力

2

i ix i

i

i ix

p 2mv mv F t 2L / v L

= ∆ = =

∆

全部氣體分子撞擊 A _x面所給予之總撞擊平均力為

2 ix i

i i

F F m v

= ∑ = ∑ L

2 2 2

i x x

i

2

2 2 x

x ix

i

v v v N mv

v 1 v F

N L

= =

∑

∑

式中的 可以用 的平均值 來表示，

，因此

2

2 2 2 2 2 2

x x x y z

2 2 2 2

x y z

v

v v v v v v v v v v

= + +

= + +

我門希望最後結果是由速率平方的平均值 來表示，

而不是由 的平均值 來表示。因為 ，

因此我們有

2 2 2 2

x y z

2

v v v 1v 3 F Nmv

3L

= = =

=

根據理想氣體模型的假設，氣體分子的運動是無規的，

因此有 ，將這個結果代入總撞擊力

的公式，得到

• 這個平均撞擊力在 A _x這面器壁所造成的壓力

2 2

2 k

2 3

NE F Nmv Nmv 2 N 1 2

P ( mv )

L 3L 3V 3 V 2 3 V

= = = = =

2 k

E 1 mv

= 2 為氣體分子的平均動能。

k

PV 2NE

= 3 或

以上的結果是在假設氣體分子間不發生碰撞所得，實際 上氣體分子間時常會互相碰撞。兩分子間的碰撞如為彈 性碰撞，很容易證明碰撞後速度互換。因此並不會影響 所推導出來的最後結果。

溫度與分子平均動能

1. 溫度與平均動能的關係：

首先將理想氣體的物態方程式改寫成

0

PV nRT N RT NkT

= = N =

0 23

0

N N

k R 1.38 10 N

= = × −

其中 為氣體分子的總數， 為亞佛加厥數。新的常數 焦耳∕度，稱為波茲曼常數。

k

PV 2NE

=3 與前一節由氣體動力論所導出的方程式 作一對照即得到

2 k

1 3

E mv kT

2 2

= =

即氣體分子的平均動能與氣體的絕對溫度成正比，或溫度 的本質可看成是分子平均移動動能的度量。

2. 方均根速率：

2

v v = v

氣體分子的方均根速率以符號 _rms 表示，定義成

rms

方均根速率並不等平均速率，但與平均速率接近，分子的 平均速率不容易計算，而方均根速率，利用之前的公式可 導出下面的關係式

0

3kT 3RT 3pV

v = m = M ( ) = M( )

分子量 總質量

rms

分子速率的分布

• 馬克斯威爾速率分布：在 1859 年，馬克斯威爾利用統計學的方 法導出分子速率分布函數，此函 數顯示一重要的結論，即大量氣 體分子不斷的互相碰撞並非使其 速率趨於定值，而是呈現一個不 隨時機變化的統計分布，如右圖 所示。

• 由此速率分布可看出速率極大和 速率極小的分子占極少數，大多 數分子的速率，介於很大與很小 之間

v Nv

v v_rms

3 2

1 T T

T < <

• 當溫度增加時，較大速率 的分子數目增加，較小速 率的分子數目則減少，分 子的平均動能、總動能、

與方均根速率都會增加，

但曲線下總面積不變。

• 分子之間雖不停地碰撞，個別分子的速率與方向也隨之 改變，但是其整體的分布情形並不改變。因此，分子的 總動能、平均動能及方均根速率都不改變。