7 功－動能定理

(1)

7 功－動能定理

Work-Kinetic Energy Theorem

(2)

7-1 物理學探討什麼？

7-2 什麼是能量？

7-3 動能 7-4 功

7-5 功和動能

7-6 重力所作的功 7-7 彈力所作的功

7-8 一般變力所作的功 7-9 功率

(3)

7-1 物理學探討什麼？

我們平日都談及過「能量」，它是物理學探討的重要課題之一，人類的文明就是奠基在如何有效的運用能量上。

任何類型的運動都需要能量，舉例說明：我們飛越太平洋、物品送到大樓頂樓或太空站、投擲棒球等都需要能量。

(4)

7-2 什麼是能量？

能量基本上是一個純量，它與一個或多個物體的狀態有關。

能量是關聯於某系統（一個或多個物體所組成）的數據，譬如說現在有一個力去移動系統中的一個物體，

則系統的能量數據就會改變。

能量雖可從一種形態轉換成另一種形態，也能從一個物體轉移到另一個物體，但是能量的總數據值永遠相同（能量是守恆的）。

(5)

7-3 動能

動能（kinetic energy）K 是一個與物體運動狀態相關的能量。若物體移動愈快，動能就愈大；當物體靜止時，動能為 0。

質量為 m 的物體，速率 v 遠小於光速，其動能 K 為

動能（含任何其他形態的能量）的 SI 制單位是焦耳

（joule, J）。焦耳直接取代 7-1 式中質量和速率合成的單位：

(6)

範例7-1

圖 7-1 是來自 1896 年在德州某處兩輛火車頭互撞後的歷史照片。原先兩火車頭各停置在鐵軌的兩端，相距為

6.4 km，後來再各以 0.26 m/s

²

的等加速度迎面對撞。

假設每一個火車頭的重量皆為 1.2×10

⁶

N，則兩個火車頭正要碰撞前的總動能應為多少焦耳？

解題關鍵

(1)我們需要找出每個火車頭的動能，但是根據 7-1 式得 知，先要求出每個火車頭的質量，以及正要碰撞前的速 率。(2)因為是等加速運動，所以我們可用表 2-1 中的 方程式，去求出正要碰撞前火車頭的速率 v。

(7)

圖7-1

在 1896 年，德州 Waco 地方的 Katy 鐵路局將兩火車頭對撞

(8)

範例7-1 (續)

解題算式

除了速率 v 之外，我們已知所有變數的值，故選用2-16 式：

將 v

₀

=0 和 x

－

x

₀

=3.2

×

10

³

m（註：原先距離的一半）代入得

（大約 150 km/h）。

(9)

範例7-1 (續)

我們再將火車頭的重量除以重力加速度 g=9.8 m/s

²

，可求得其質量為

於是使用 7-1 式，我們可求得兩個火車頭正要碰撞前的總動能為

處於如此碰撞的周遭，就像站在一枚炸彈爆炸的現場一樣！

(10)

7-4 功

我們可憑藉「力」將能量轉移到物體上，或從物體轉移到你身上以突顯物體動能的改變。這種藉由力來傳遞能量的方式，可視為力對物體作功的現象。

「功」就是那被傳輸的能量，而「作功」是傳輸能量的行為。功的單位和能量相同，且功也是一個純量。

本章中的 W 符號僅代表功，我們用 mg 表示重量以避

(11)

7-5 功和動能

ψ為力 F 和位移方向 d 之間的夾角，我們可將 F

_x

寫 成 F cosψ，則

因 7-7 式的右邊相當於一個純量積 F．d，所以也可寫 成

(12)

7-5 功和動能

^(續)

功的 SI 制單位和動能一樣為焦耳。推演 7-2 式如下

數個力所作的淨功當兩力或更多的力作用在一物體上，其所得之淨功（net work），就是這些力個別地對此物體作功的總和。

(13)

7-5 功和動能

^(續)

功－動能定理

令ΔK 代表物體動能的變化量，而 W 代表對物體所 作的淨功，則

此式的意思是說

（粒子動能的變化量）＝（對粒子所作的淨功）

我們也可寫成

(14)

7-5 功和動能

^(續)

此式的意思是說

(作淨功後的動能)＝(作淨功前的動能)＋(所作的淨功)

以上陳述了功－動能定理（work-kinetic energy

theorem），其內含了正功和負功的情況。如果對粒子所作的淨功為正值，則粒子會增加與此淨功等量的動能；若對粒子所作的淨功為負值，則粒子也會減少與此淨功等量的動能。

(15)

範例7-3

在某暴風雨期間，有一個木箱正在濕滑的停車場滑動著

，不過，有強風正在持續推阻著木箱，使其滑動減緩。

若當時木箱的位移量為 d=(－3.0 m) i，而強風的阻力 F=(2.0 ，如圖 7-5 所示。

(a) 在這段位移的過程中，風的阻力對木箱所 作的功為多少？

解題關鍵

我們可將木箱看成一粒子，而此持續的風力，其大小與 方向也看成是定值，所以可套用 7-7 式（W=Fd cosψ）

或者 7-8 式（W=F．d）來算出功。

(16)

圖7-5

木箱在位移了 d 的期間，其速率受一力 F 的作用而緩慢下來。

(17)

範例7-3 (續)

解題算式套用寫出

因為在單位向量的內積運算中，僅存 i．i、j．j、

和 k．不為 0，故此處我們得

即風力對木箱作了 6.0 J 的負功，使得木箱有 6.0 J 的動能被轉移。

(18)

範例7-3 (續)

(b) 設木箱在位移 d 之初，有 10 J 的動能，則當位移了 d 時，木箱的動能是多少？

解題關鍵

因為風力對木箱作負功，所以降低了木箱的動能。

解題算式

運用功－動能定理的 7-11 式得

動能的降低隱含了木箱的滑動會緩慢下來。

(19)

7-6 重力所作的功

對上升的物體而言，重力 F

_g

和位移 d 的方向相反，

因此如圖 7-6 所示，其夾角ψ=180°，而

負號表示當物體上升時，作用於物體的重力把 mgd 的 能量由物體的動能中轉出，這就跟物體上升時速度漸慢的說法一致。

(20)

7-6 重力所作的功

^(續)

在物體上升到最高點後，也正是往下掉的開始。重力 F

_g

和位移 d 間的夾角ψ為 0，則

正號表示現在重力將大小為 mgd 的能量轉換成物體的 動能，這就跟物體落下時速度漸增的說法一致。

(21)

7-6 重力所作的功

^(續)

將物體舉高或放低所作的功

假設我們現在施一垂直力 F 舉高某似粒子的物體，

在向上位移的過程中，我們所施的力對物體作正功 W

_a

，而重力對物體作了負功 W

_g

。

其中 K

_f

代表位移量測結束時的動能，K

_i

代表開始量測位移時的動能。

(22)

圖7-6

有一看成粒子而質量為 m 的 番茄，在位移 d 的過程中，

因受重力 F_g 的作用，上升速 度漸慢，其速度由 v_o 降為 v

。番茄的動能變化由 K_i

（=1/2 mv₀²）降為 K_f

（=1/2 mv²），以長條能階圖標示。

(23)

7-6 重力所作的功

^(續)

通常物體在被舉起前和放下後都是靜止狀態，譬如你 從地面拾起一本書放到書架上，因此 K

_f

和 K

_i

都是 0

，則 7-15 式簡化成

或

此外力所作的功就是重力作功的負值，或是說外力傳輸給物體的能量，等值於重力使物體轉移出的能量。

(24)

圖7-7

(a) 物體被外力 F 舉高，

其位移 d 與重力 F_g 夾角 ψ=180°，此外力對物體 作正功。(b) 物體被外力 F 放低，其位移 d 與重力

F

_g夾角ψ=0°，此外力對物體作負功。

(25)

範例7-4

有一原先靜止而質量為 15.0 kg 的木箱，被纜繩拉上一 無摩擦的斜面，木箱停在高度為 h=2.50 m 處，而此段 斜面的距離為 d=5.70 m（見圖 7-8a）。

(a) 在移高的過程中，木箱受到重力 F

_g

所作的功 W

_g

為多少？

解題關鍵

我們可將木箱視為單一粒子，並使用 7-12 式（

W

_g

=mgd cosψ），試求出 F

_g

對木箱所作的功 W

_g

。

(26)

範例7-4 (續)

解題算式

雖不知 F

_g

與位移 d 之間夾角ψ的值，但從圖 7-8b 中可 發現ψ等於θ+90°，而θ就是未知的斜角，則由 7-12 式得

我們仍然無法從上式求得θ，但由圖 7-8a 可得 d sinθ

=h，而 h 是一已知量，代入 7-18 式得

(27)

範例7-4 (續)

值得留意的是 7-19 式說明了重力所作的功 W

_g

和木箱位移的垂直分量有關，但和水平分量無關。

(b) 在移高的過程中，纜繩的拉力 T，對木箱所作的功 W

_T

為多少？

解題關鍵

我們只將 T 的值取代 7-7 式（W=Fd cosψ）中的 F，並 不能求出答案，因為不知道 T 值是多少？於是把木箱 看成一粒子，使用功－動能定理（ΔK=W）來求解。

(28)

範例7-4 (續)

解題算式

因為木箱在移高的前後，動能的變化ΔK 是 0，而作用 在木箱上的力共有三個，將每個力所作的功加起來就是 木箱所得之淨功。從(a)小題得知，重力 F

_g

所作的功

W

_g

為

－

368 J。因為 F

_N

與位移方向垂直，斜面的正向 力 F

_N

對木箱所作的功 W

_N

為 0。由功－動能定理可推 得 T 對木箱所作的功 W

_T

上式代入已知值後，0=W

_T －

368 J+0，所以

(29)

圖7-8

(a) 有一平行於斜面的力，將一木箱拉上此無摩擦的斜面。

(b) 木箱受力的向量分析圖，含位移 d。

(30)

7-7 彈力所作的功

彈簧的恢復力 F

_s

正比於彈簧自由端的位移 d，此位 移由彈簧處於自然態的位置算起。彈簧的力被表為

此為著名的虎克定律（Hooke's law）。

常數 k 稱為彈簧常數（spring constant）；或力常數（

force constant）用以評量彈簧的軟硬程度，彈簧愈硬 k 值愈大；也就是說，在某固定位移下，k 值愈大的 彈簧，其拉或推的力量會愈強。k 值的 SI 制單位為牛

(31)

7-7 彈力所作的功

^(續)

我們安排 x 軸與彈簧平行，彈簧處於自然態時的自由 端位置被設為原點（x=0），如此一來，7-20 式可寫 為

依此式，若 x 值為正（彈簧在 x 軸上向右伸長），則 F

_x

為負值（彈力拉向左）；若 x 值為負（彈簧被壓 縮向左），則 F

_x

為正值（彈力推向右）。

(32)

圖7-10

(a) 彈簧處於鬆弛自然態

，x 軸的原點設在彈簧尾 端繫住木塊處。(b) 木塊 被位移了 d，而彈簧伸長 了＋x 的量，留意彈簧恢 復力 F_s 的方向。(c) 彈簧 被壓縮了－x 的量，同樣 要留意恢復力。

(33)

7-7 彈力所作的功

^(續)

彈力所作的功

當圖 7-10a 中的木塊運動時，欲求出彈力所作的功，

須先對彈簧作兩個簡單的假設。

(1) 彈簧視為無質量；也就是說，它與木塊的質量相 較之下可以忽略。

(2) 它是一個理想的彈簧；也就是說，它完全遵守虎 克定律。同時，我們也假設木塊與地面間沒有摩擦力

，而木塊視為粒子。

(34)

7-7 彈力所作的功

^(續)

木塊從 x

_i

到 x

_f

的位置時，其獲得彈力所作之淨功 W

_s

為所有小線段所作功的總和。

由 7-21 式知，彈力的大小 F

_x

就是 kx，代入導得

(35)

7-7 彈力所作的功

^(續)

將 7-24 式乘開得

彈力所作的功 W

_s

是正值還是負值，端賴木塊從 x

_i

到 x

_f

時，傳導的能量淨值是導入還是導出木塊而定。

若 x

_i

= 0，且 x

_f

= x，則 7-25 式變成

(36)

7-7 彈力所作的功

^(續)

外力所作的功

現沿 x 軸放置一木塊，並假設其持續被一外力 F

_a

作 用，在此位移期間，所施的外力對木塊作功 W

_a

，同 時彈力作功為 W

_s

。木塊所造成的動能變化ΔK 為

若木塊在位移前後皆為靜止，則 K

_f

和 K

_i

皆為 0，且 7-27 式簡化為

(37)

範例7-7

在圖 7-11，有一質量 m =0.40 kg 的鐵製方桶，在一無 摩擦的水平桌面上以 v =0.50 m/s 的速率滑動。當它持 續滑動並碰觸彈簧時（彈簧常數 k =750 N/m），便開始 壓縮彈簧直到鐵桶減速至暫時停頓，彈簧被壓縮的距離

d 為何？

解題關鍵

(1) 根據 7-26 式 可知，彈力作用在鐵桶 上的功 W

_s

與所求的壓縮距離 d 是關聯的，式中的 x 以

d 取代。(2) 由 7-10 式（K

_f －

K

_i

=W）又知，功 W

_s

與鐵 桶的動能是相關的。(3) 鐵桶動能的初始值為 ，

(38)

圖7-11

質量 m 的鐵桶正以 v 的速度朝向一彈簧（彈簧常數為 k）移動。

(39)

範例7-7 (續)

解題算式

首先將「解題關鍵」中的第 1 點和第 2 點兩觀念結合，

寫出鐵桶的功－動能定理如下：

將「解題關鍵」中第 3 點的觀念引入上式，

整理上式，並將已知值代入求解 d，則

(40)

7-8 一般變力所作的功

分析一維空間的變力

當粒子從 x _i 移動到 x _f 時，此變力所作的總功 W 約可視為圖 7-12b 中介於 x _i 與 x _f 間所有狹長陰影小面積的總和，亦即

我們只要將區間寬度Δx 縮小，而讓條形小面積的數目增多，如圖 7-12c 所示，就可以更趨近於實際曲線

，得到較好的近似值。此極限的情況是Δx 趨近於 0

(41)

圖7-12

(a) 粒子由 x_i 移動到 x_f 承受一維空間變力 F(x) 作用的關係圖。

(b) 延續圖(a)，但曲線下的面積，被分割成若干條狹長的小面積。

(42)

圖7-12

^(續)

(c) 延續圖 (b)，每條狹長的面積再被分割成更狹小的面積。

(d) 極限的情形。從 x_i 到 x_f 間之曲線下的陰影面積代表 7-32 式中，力對粒子所作的功。

(43)

7-8 一般變力所作的功

^(續)

此極限求得的 W，正是我們所謂的函數 F(x)從 x

_i

積 分到 x

_f

之值，於是 7-31 式變成

就幾何上的意義而言，功是 F(x) 曲線與 x 軸從 x

_i

到 x 之間所圍成的面積（見圖 7-12d 的陰影部分）。

(44)

7-8 一般變力所作的功

^(續)

分析三維空間的變力

考慮一個三維空間的力作用於粒子時

現在讓粒子移動一個位移的增量

(45)

7-8 一般變力所作的功

^(續)

當粒子在位移 dr 期間，受一力 F 作用而作了 dW 些 微的功，可由 7-8 式得

若粒子受力 F 作用由初位置 r

_i

(x

_i

, y

_i

, z

_i

) 移動到末位置 r

_f

(x

_f

, y

_f

, z

_f

) 時，其所作之功為

(46)

7-8 一般變力所作的功

^(續)

變力的功－動能定理

考慮一個質量為 m 的粒子，正沿著 x 軸移動，並受 一同方向的淨力 F(x) 作用，當粒子由初位置 x

_i

移動 到末位置 x

_f

時，此力對粒子所作的功由 7-32 式得

可將 7-37 式中的 ma dx 改寫成

(47)

7-8 一般變力所作的功

^(續)

再由微積分的連鎖法則（chain rule）推得

而 7-38 式變成

將 7-40 式代入 7-37 式可得

(48)

7-8 一般變力所作的功

^(續)

注意，當變數由 x 換成 v 時，我們也要將積分的上下 限換成此新變數。另外要說明的是，我們可將質量 m 提到被積分式的外面來，因 m 為一常數。

既然可驗證 7-41 式右邊的項為動能，我們即可將上式寫成

這正是功－動能定理。

(49)

範例7-8

作用於一粒子上的力 (3x2 N)}i+(4 N)}j，其中 x 單位 為公尺，此力僅改變此粒子的動能。當粒子由座標

(2 m, 3 m) 移到 (3 m, 0 m) 時，此力對其作功有多少？

粒子的速率是增加、減少或不變？

解題關鍵

因為此力為一變力，它的 x 軸分量隨著 x 而變。所以不 能使用 7-7 式和 7-8 式來找出作功值。此處必須以

7-36 式對力積分來取代之。

(50)

範例7-8 (續)

解題算式

我們將力的分量各依其軸分成兩個積分項：

此正號的結果顯示力 F 將能量轉移到粒子上，則粒子 的動能會增加，又因，所以粒子的速率也必增加。

(51)

7-9 功率

某一力作功的效率，被稱為此力的功率（power），

如果此力在某段時間內，完成了若干分量的功 W，則 此段時間內此力的平均功率（average power）為

瞬時功率（instantaneous power）P 為作功的瞬時效率

，可以寫成

(52)

7-9 功率

^(續)

功率的 SI 制單位為「焦耳/秒」，由於常被用到，我們有個特殊名稱，稱為瓦特（watt），簡寫為 W，

功可寫成功率乘以時間，此常用單位稱為「仟瓦小時

」。因此

(53)

7-9 功率

^(續)

有一沿著直線（或者說是 x 軸）運動的粒子，現有一 恆力 F 對其作用，此直線和力的方向夾角為ψ，則 7-43 式變成

將 7-47 式的右邊改成內積 F．v，我們也可將此式寫成

(54)

範例7-9

如圖 7-13 所示，恆力 F

₁

和 F

₂

同時作用在盒子上，使 其以 v 的速度在無摩擦的地板上向右滑動。力 F

₁

在水 平方向，大小為 2.0 N；力 F

₂

方向向上和地板夾角為

60°，大小為 4.0 N 盒子在此瞬間的速率為 3.0 m/s，此瞬間每一力作用於盒子上的功率為何？淨功率為何？在該瞬間的淨功率有變化嗎？

解題關鍵

我們所要的是瞬時功率，而不是在一段時間內的平均功率；另外，我們只要知道粒子的速度（而不是其所受之功）。

(55)

圖7-13

有一盒子受兩力 F₁ 和 F₂ 的作用，以 v 的速度在 無摩擦的地板上向右滑動。

(56)

範例7-9 (續)

解題算式

我們用 7-47 式算出每一力所產生的功率。就 F

₁

而言，

和速度 v 夾角ψ

₁

=180°，得

此負值告訴我們作用力 F

₁

是以 6.0 J/s 的速率將能量從 盒子轉移出來。就 F

₂

而言，和速度 v 夾角ψ

₂

=60°，得

(57)

範例7-9 (續)

此正值告訴我們作用力 F

₂

是以 6.0 J/s 的速率將能量轉移至盒子。

淨功率即為兩個別功率之和：

此處告訴我們能量轉入或移出的淨速率為 0，因此盒子的動能不變，而盒子的速率維持在 3.0 m/s。

由於作用力 F 、F 與速度 v 的值不變，根據 7-48 式可

7 功－動能定理