Heap/BFS/Basic Graph

(1)

Heap/BFS/Basic Graph

2022/03/17

Lecture By luckyanthonyan

Credit by qazwsxedcrfvtg14,zolution

(2)

Before We Start

• 最後一小時是練習時間&討論時間

• 有些內容競賽上比較不會用到

(3)

Heap

(4)

課程影片

• 看了嗎?

• Q&A

(5)

Why Heap

• 我們為甚麼需要heap?

- 我們想要知道一堆數字當中的最大(最小)值 - 數字會變多變少

• 我們想要能合併兩個heap

- 為了能合併兩堆數字

(6)

Heap 小知識

世界上的Heap有很多種

• 影片中介紹的Binary heap

• Binomial heap

• Pairing heap

• Thin heap

• Fibonacci heap

• ……

(7)

Heap 小知識

https://en.wikipedia.org/wiki/Heap_(data_structure)#Comparison_of_theoretic_bounds_for_variant s

(8)

Heap 小知識

• 為什麼會有這麼多種Heap?

• 有的常數比較小

• 有的可以O(1)插入

• 有的可以O(1)刪除

• 有的可以O(logN)合併??

• 有的可以O(1)合併??!!

• 因為礙於篇幅，有興趣請自行上網查詢資料:P

(9)

Heap 基本操作

(10)

priority_queue

• std::priority_queue

• push：將一個元素放入priority_queue中

• top：詢問現在priority_queue中權重最大的元素

• pop：將priority_queue中權重最大的元素拿掉

(11)

時間複雜度

• push：O(logN)

• top：O(1)

• pop：O(logN)

(12)

Heap push

(13)

heap

• heap其實就是一棵complete binary tree

• 因為是complete binary tree所以我們能穩定的控制層數

6 5

2 1

3

(14)

heap

• heap性質：父節點的權重不小於子節點的權重

6 5

2 1

3

(15)

heap

6 5

2 1

3 push 4

(16)

heap

• 將元素放進tree：O(1) 6

5

2 1

3

4

push 4

(17)

heap

• 將元素放進tree：O(1)

• 和父節點比較：O(1) 6

5

2 1

3

4

push 4

(18)

heap

• 和父節點比較：O(1)*log(n)

• 一直往上浮，直到權重不大於父節點，最多比較log(n)次 6

5

2 1

4

3

push 4

(19)

heap

• 和父節點比較：O(1)*log(n)

• 一直往上浮，直到權重不大於父節點，最多比較log(n)次

• 整體來看：O(log(n)) 6

5

2 1

4

3

push 4

(20)

heap

• root的權重一定最大，O(1) 6

5

2 1

4

3

top

(21)

heap

6 5

2 1

4

3

pop

(22)

heap

• root的權重最大，pop掉 5

2 1

4

3

pop

(23)

heap

• root的權重最大，pop掉

• 比較兩個子節點，權重大的往上浮：O(1) 5

2 1

4

3

pop

(24)

heap

• 比較兩個子節點，權重大的往上浮：O(1)*log(n)

• 繼續比，最多比log(n)次 5

2 1

4

3

pop

(25)

heap

• 繼續比，最多比log(n)次

• 最後空位用最後一個元素補 5

2

1

4

3

pop

(26)

heap

• 繼續比，最多比log(n)次

• 最後空位用最後一個元素補

• 補上後可能權重又比父親大，還要往上浮一次 5

2

3 1

4 pop

(27)

heap

• root的權重最大，pop掉 5

2 1

4

3

pop

(28)

heap

• 將最後一個元素放到root 3

5

2 1

4 pop

(29)

heap

• 將最後一個元素放到root

• 和兩個子節點中權重較大的節點比較：O(1) 3

5

2 1

4 pop

(30)

heap

• 和兩個子節點中權重較大的節點比較：O(1)*log(n)

• 一直下沉直到權重不小於兩個子節點，最多比較log(n)次 5

3

2 1

4 pop

(31)

heap

• 和兩個子節點中權重較大的節點比較：O(1)*log(n)

• 一直下沉直到權重不小於兩個子節點，最多比較log(n)次

• 整體來看：O(log(n)) 5

3

2 1

4 pop

(32)

Heap Magic

(33)

魔法

• 幾個在C++中關於Heap的魔法

• STL

• std::priority_queue

• 黑魔法

• __gnu_pbds::priority_queue

(34)

std::priority_queue

• #include <queue>

• std::priority_queue<int> pque;

• priority_queue<int, vector<int>, greater<int> > lque

(35)

__gnu_pbds::priority_queue

• #include <ext/pb_ds/priority_queue.hpp>

• __gnu_pbds::priority_queue<int> pque;

• priority_queue<int, greater<int> > lque

• h1.join(h2); //合併h1,h2兩個heap

• pbds heap可以選擇要用哪種heap(改tag)

• 有一些教學:https://emiliatancoding.blogspot.com/2019/05/pbds-priorityqueue.html

(36)

Building Heap

• 如果一開始就已經有所有元素了，要建造出一個Heap

• Insertion of Heap: O(logN)

• 所以Build a heap of N element: O(NlogN)

• 其實這個bound不夠緊，可以壓到O(N)

• https://www.geeksforgeeks.org/time-complexity-of-building-a-heap/

(37)

Heap Problemset

(38)

Problemset

• 只給網址，有些人不喜歡被暴雷

• https://zerojudge.tw/ShowProblem?problemid=b606

• https://tioj.ck.tp.edu.tw/problems/1911

(39)

Flood fill

(40)

課程影片

• Q&A

(41)

淹水

• 模擬「淹水」的過程很麻煩，幾個方向就要寫幾個很大串的 if，

怎麼辦？

• if (x+1 < n) go(x+1,y);

• if (y+1 < m) go(x,y+1);

• if (x-1 >=0) go(x-1,y);

• if (y-1 >=0) go(x,y-1);

• 提示：有沒有發現所有的 if 其實都長得很像？

(42)

淹水

把x,y的變動量拿出來:

(x+1 , y+0) (x-1 , y+0) (x+0 , y+1) (x+0 , y-1)

int dx[]={+1,-1,+0,+0};

int dy[]={+0,+0,+1,-1};

(43)

淹水

把x,y的變動量拿出來:

(x+1 , y+0) (x-1 , y+0) (x+0 , y+1) (x+0 , y-1)

int dx[]={+1,-1,+0,+0};

int dy[]={+0,+0,+1,-1};

(44)

BFS code

for(int i=0;i<4;i++){

int next_x = x + dx[i];

int next_y = y + dy[i];

if(check(next_x,next_y)){

queue.push(next_x , next_y);

} }

(45)

DFS 跟 BFS 的差異

• 我想要從迷宮的起點走到終點

• BFS?

• DFS?

• 我想要用最短路從迷宮的起點走到終點

• BFS?

• DFS?

(46)

DFS 跟 BFS 的差異

• 我想要從迷宮的起點走到終點

• BFS?

• DFS?

• 我想要用最短路從迷宮的起點走到終點

• BFS?

• DFS?

• DFS沒辦法得到最短路徑

(47)

BFS & DFS

• DFS

• Graph traversal

• BFS

• Graph traversal

• Flood-fill

• Unweighted-Graph shortest path

(48)

Problemset

給想做額外練習的同學題目都不難

• https://zerojudge.tw/ShowProblem?problemid=a597

• https://codeforces.com/problemset/problem/598/D

(49)

Graph

(50)

課程影片

• Q&A

(51)

存圖

• 相鄰串列

• 相鄰矩陣

(52)

比較

• 相鄰矩陣

• 空間複雜度：O(V²)

• 查詢兩個點之間是否有邊：O(1)

• 遍歷一個點v周圍的邊：O(V)

• 增加一條邊：O(1)

• 刪除一條邊：O(1)

• 相鄰串列

• 空間複雜度：O(V+E)

• 查詢兩個點之間是否有邊：O(degree(V))

• 遍歷一個點v周圍的邊：O(degree(V))

• 增加一條邊：O(1)

• 刪除一條邊：O(degree(V))

(53)

想想看-是否有環?

• 給你一張有向圖，要怎麼知道這張圖上面有沒有環?

• DFS?

• BFS?

(54)

有向無環圖

• 現在有一個工廠，裡面有很多台機器，有些機器所生產的東西可能會依賴於其他機器，但是保證不會循環。

• 問:找出一個機器的執行順序使得過程中不會有機器依賴於還沒執行過的機器。

• 拓樸排序!

(55)

• 有向無環圖(

DAG

⁾

有向無環圖

(56)

• A、G 可以先處理，因為入度為 0

有向無環圖

(57)

B 入度為 0，接著處理 B

有向無環圖

(58)

Problemset

• 一道簡單的練習題

• https://zerojudge.tw/ShowProblem?problemid=a454

(59)

隱式圖搜索

(60)

隱式圖搜索

• 有時候我們有狀態但並不知道整張圖的全貌

• 甚至有可能圖很大張

• 用DFS會TLE

• 所以我們用BFS尋找答案

(61)

量杯問題

• 給你 𝑛 (1 ≤ 𝑛 ≤ 5) 個量杯，第 𝑖 個量杯的容量式 𝑚_𝑖 的水

• 問你倒出剛好 𝑡 的水，最少要幾個步驟

• 一開始所有量杯都是空的

(62)

量杯問題

• 設定 BFS 的狀態

• 在queue裡面放 Hash_table

• 把所有量杯的當前狀態壓進一個long long

• 題目沒有明確地給出「邊」，但還是能 BFS

• 把某些不可能的case先特判掉，避免浪費時間

• 目標容量大於所有量杯的容量

• 即 𝑡 > max

1≤𝑖<=𝑛 𝑚_𝑖

• 目標容量不是滿水容量最大公因數的倍數

• 即 𝑡/ (gcd

1≤𝑖≤𝑛

𝑚_𝑖) ≠ 0

(63)

量杯問題

• 想不到case要判甚麼但就是 TLE 了QQ

• 時間剪枝(x

(64)

練習一下

(65)

練習一下

• 有一張 N 點 M 邊無向無權圖，有兩個人在 S ，他們分別要走到A、B

• 他們一定要走最短路到達自己的目的地

• 他們想要能一起走越多的路越好

• 請問他們最多能一起經過多少點

(66)

練習一下

• 答案滿足以下條件:

• 設 𝑑𝑖𝑠() 為兩點之間的最短距離

• 設 𝑋 是圖上的某個點

• 𝑑𝑖𝑠(𝑆 → 𝑋) + 𝑑𝑖𝑠(𝑋 → 𝐴) = 𝑑𝑖𝑠(𝑆 → 𝐴)

• 𝑑𝑖𝑠(𝑆 → 𝑋) + 𝑑𝑖𝑠(𝑋 → 𝐵) = 𝑑𝑖𝑠(𝑆 → 𝐵)

• 對所有滿足條件的點 𝑋 ，取最大的 𝑑𝑖𝑠(𝑆 → 𝑋) 即可

(67)

練習一下

• 需要好多最短路

• 對每個點做一次 𝐵𝐹𝑆：𝑂(𝑁 × (𝑁 + 𝑀))

(68)

練習一下

• 對 𝑆、𝐴、𝐵 各做一次 𝐵𝐹𝑆 : 𝑂 𝑁 + 𝑀

(69)

練習一下

• 對 𝑆、𝐴、𝐵 各做一次 𝐵𝐹𝑆 : 𝑂 𝑁 + 𝑀

• https://csacademy.com/contest/archive/task/long_journey