Heap
課堂補充 by qazwsxedcrfvtg14
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• 看了嗎 ?
• Q&A
Heap 小知識 Heap 小知識
世界上的 Heap 有很多種
• 影片中介紹的 Binary heap
• Binomial heap
• Pairing heap
• Thin heap
• Fibonacci heap
• ……
Heap 小知識 Heap 小知識
• 為什麼會有這麼多種 Heap?
• 有的常數比較小
• 有的可以 O(1) 插入
• 有的可以 O(1) 刪除
• 有的可以 O(logN) 合併 ??
• 有的可以 O(1) 合併 ??!!
• 因為礙於篇幅，有興趣請自行上網查詢資料 :P
Heap 合併
I have a heap.
I have another heap.
Uhh!
A bigger heap!
Heap 合併 Heap 合併
• Heap 合併是什麼 ?
• 簡單來說就是把兩個 Heap 變成一個 Heap
模擬情況 模擬情況
• 現在有 N 個 Heap ，有三種操作
• 把一個元素 Push 進其中一個 Heap
• 從一個 Heap 中 Pop 元素
• 合併兩個 Heap
• 假設總操作數最多 Q 次，總元素數最多為 N
Heap 合併 Heap 合併
• 先不管複雜度，來想個最天真的作法吧 ~
• Push 和 Pop 就照一般的做法做
• 合併呢 ?
• 開一個新的 Heap ，把原先兩個 Heap 的元素一個一個的 push 進 去
• 複雜度 O(Q*NlogN)
Heap 合併 Heap 合併
• 那我們換一種方式
• 把其中一個 Heap 的元素一個一個的 push 進另外一個 Heap
• 複雜度 ?
• O(Q*NlogN)
Heap 合併 Heap 合併
• 那…如果我們把比較小的 Heap 慢慢加到另外一個 Heap 中呢 ?
• 複雜度 ?
• O(Q*NlogN)…?
• O(Nlog^2(N)+QlogN) ??!!
• 啟發式合併 !
• 考慮對於每一個元素，它每次被併入一個新的集合，它所處集合的大小至少 是原來的兩倍。所以對每個元素至多進行 logN 次合併操作，總複雜度 N*log N*logN
魔法 魔法
• 幾個在 C++ 中關於 Heap 的魔法
• 白魔法
• std::priority_queue
• 黑魔法
• __gnu_pbds::priority_queue
• 能善用魔法是好事，但是要注意別走火入魔了 !
Flood fill
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• Q&A
淹水 淹水
• 模擬「淹水」的過程很麻煩，幾個方向就要寫幾個很大串的 if
，怎麼辦？
• 提示：有沒有發現所有的 if 其實都長得很像？
淹水 淹水
int dx[4]=[-1,0,0,1];
int dy[4]=[0,-1,1,0];
for(int i=0;i<4;i++)
if(check(x+dx[i],y+dy[i]))
queue.push(x+dx[i],y+dy[i]);
想一想 想一想
• 可不可以用 DFS 來做例題一？
• 可不可以用 DFS 來做例題二？
• 有沒有什麼壞處？
• 複雜度是多少呢？
• 如果題目是，每個格子都有一個高度值，高度值低於一定程度就 會淹水，請問到最後會有幾塊水窪 ?
• 用 BFS 可以做嗎 ?
• 用 DFS 可以做嗎 ?
Graph
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• Q&A
存圖 存圖
• 當我們需要動態加邊的時候，該怎麼做 ?
• 當我們需要刪邊的時候，該怎麼做 ?
• 還有很多有趣的存圖方式 !
• 其實應該算是原本那兩種的變種
存圖 存圖
• 相鄰串列
• 相鄰串列 with 平衡二元搜尋樹
• 前向星 (forward star representation)???
• 相鄰矩陣
• 相鄰矩陣 with 串列 ( 路徑壓縮 )???
比較 比較
• 相鄰矩陣
• 空間複雜度： O(V2)
• 查詢兩個點之間是否有邊： O(1)
• 遍歷一個點 v 周圍的邊： O(V)
• 增加一條邊： O(1)
• 刪除一條邊： O(1)
• 相鄰串列、前向星
• 空間複雜度： O(E) or O(degree(E total))
• 查詢兩個點之間是否有邊： O(degree(V)) or O(degree(V total))
• 遍歷一個點 v 周圍的邊： O(degree(V)) or O(degree(V total))
• 增加一條邊： O(1)
• 刪除一條邊： O(V) or O(1)
比較 比較
• 相鄰矩陣 with 串列 ( 路徑壓縮 )
• 空間複雜度： O(V2)
• 查詢兩個點之間是否有邊： O(1)
• 遍歷一個點 v 周圍的邊： O(Vlog(V))
• 刪除一條邊： O(log(V))
• 增加一條邊： O(V)
• 相鄰串列 with 平衡二元搜尋樹
• 空間複雜度： O(E)
• 查詢兩個點之間是否有邊： O(log(V))
• 遍歷一個點 v 周圍的邊： O(degree(V))
• 刪除一條邊： O(log(V))
• 增加一條邊： O(log(V))
想想看 想想看
• 給你一張有向圖，要怎麼知道這張圖上面有沒有環 ?
• DFS?
• BFS?
想想看 想想看
• 現在有一個工廠，裡面有很多台機器，有些機器所生產 的東西可能會依賴於其他機器，但是保證不會循環。
• 問 : 找出一個機器的執行順序使得過程中不會有機器依 賴於還沒執行過的機器。
• 拓樸排序 !
• 有向無環圖 (DAG)
Game Game
• 有 N 個城市 ( 編號為 0, ...,n-1) ，而有些城市間存在飛機航線。每個航 線連接兩個城市，而且是雙向的。
• 大毛想知道是不是所有城市都能直接或間接地搭飛機往來。你不想直接 說出答案，所以提議玩個猜謎遊戲。
• 大毛可以問你「城市 A 和 B 是否有『直接』的航線 ? 」，而你需要立刻 回答是或不是。大毛會試圖詢問每一組城市是否存在直接航線，總共問 r=n(n-1)/2 個問題。如果大毛問到第 i(i<r) 個問題就能推論出網路是否 為連通 ( 即「是否所有城市都能直接或間接搭機往來」 ) ，大毛就贏了。
反過來，如果大毛需要問完所有 r 個問題才能知道答案，那麼你就贏了
。
• 為了讓遊戲更有趣點，你不需在意真實的飛航網路，且你可以在過程中 隨意建構網路，依據大毛之前的提問來決定後面的回答。
• 你的目標是決定該怎麼回答，才能贏得遊戲。
