0.預備知識 1.直線方程式 2.線性規劃

基本觀念

●Topic：

0.預備知識 1.直線方程式 2.線性規劃

在進行數學獵人試驗之前，就 由我尼特羅來為各位考生說明 試驗所需知道的事項吧！

零 零 零

零. .. .預備知識 預備知識 預備知識 預備知識

●斜率(m)：

1.m＝鉛直位移鉛直位移鉛直位移鉛直位移/水平位移水平位移水平位移水平位移＝△△△y/ △△ △△x△

2.設A(a,b)、B(c,d)，則直線AB之斜率＝(d－－－－b)/(c－－－a)－

●Ex：設C(5,9)、D(8,3)，則直線CD之斜率為何？

Sol：m＝(9－3)/(5－8)＝－2

A(a,b)

B(c,d)

c-a

※注意！當直線AB為鉛直線時直線AB之 d-b

斜率不存在。

零 零 零

零. .. .預備知識 預備知識 預備知識 預備知識- -- -cont. cont. cont. cont.

●分點公式：

1.P點在線段AB上且(AP長)：(BP長)＝m：n，若 A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂)，則P點坐標＝

{(mx₂＋＋＋＋nx₁)/(m＋＋＋＋n), (my₂＋＋＋＋ny₁)/(m＋＋＋n)}＋

●Ex：P點在線段AB上且(AP長)：(BP長)＝3：2，若 A(3,8)、B(4,9)，則P點坐標為何？

Sol：P＝{(3×4＋2×3)/(2+3),(3×9＋2×8)/(2+3)}

＝(18/5,43/5)

A(x1,y1)

B(x2,y2) P

m

n

※特別地，若(AP長)：(BP長)＝1：1(即P點為線段AB的中點)

，則P點坐標可簡化為{(x{(x{(x{(x₁₁₁₁＋＋＋＋xxxx₂₂₂₂)/2,(y)/2,(y)/2,(y)/2,(y₁₁₁₁＋＋＋＋yyyy₂₂₂₂)/2})/2})/2})/2}。

零 零 零

零. .. .預備知識 預備知識 預備知識 預備知識- -- -cont. cont. cont. cont.

●內角平分線定理：

(((

(線段線段線段線段ABABABAB長長長長))))：：：：((((線段線段線段線段ACACACAC長長長長))))＝＝＝＝((((線段線段線段線段BDBDBDBD長長長長))))：：：：((((線段線段線段線段CDCDCDCD長長長長))))

●證明：

1.延長線段BA，並作過C點與線段DA平行之直線。

設兩線相交於E點。

2.因為線段DA平行於線段CE→∠BAD＝∠AEC＝∠ACE

→線段AC長＝線段AE長 3.因為線段DA平行於線段CE

→(線段AB長)：(線段AE長)＝(線段BD長)：(線段CD長) 又由2.知：線段AC長＝線段AE長

→(線段AB長)：(線段AC長)＝(線段BD長)：(線段CD長)

A

D C

B

E

一 一 一

一. .. .直線方程式的表現式 直線方程式的表現式 直線方程式的表現式 直線方程式的表現式

●何謂直線方程式？

1.二元一次方程式：ax＋by＝c，其中a、b≠0。

2.因為二元一次方程式的圖形為一直線，所以二元一次方程式 亦稱為直線方程式。

●標準式：

1.ax＋＋＋＋by＝＝＝c，其中a、b不全為0。斜率為－a/b。＝ 2.Ex： 3x＋5y＝9、y＝1

●點斜式點斜式點斜式點斜式：

1.若已知直線L通過一點A(a,b)且斜率為m，則此直線方 程式為(y－－－b) ＝－ ＝＝＝m(x－－－－a)。

A(a,b)

P(x,y) L

重要！

例題 例題 例題 例題

●Ex1：設L過點(4,5)且斜率為6，則L的方程式為何？

Sol：利用點斜式可知方程式為 (y－5)＝6(x－4) 移項整理後可得 6x－y＝19

●Ex2：設L的斜率為m及y軸的截距為b，則L的方程式為何？

Sol：由y軸的截距為b可知此直線通過點(0,b) 利用點斜式可知方程式為 (y－b)＝m(x－0) 移項整理後可得y＝

＝ ＝ ＝mx＋ ＋ ＋b ＋

※常用：當題目給你一條直線方程式，你能將它整理成 y＝mx＋b的型式時，則其中x的係數m即為此直 線方程式的斜率、(0,b)即為和y軸的交點！

例題 例題 例題

例題- -- -cont. cont. cont. cont.

●Ex3：設L通過A(a,b)及B(c,d)兩點，則L的方程式為何？

Sol：因為L過AB兩點，所以此直線之斜率為(b－d)/(a－c) 利用點斜式可知方程式為(y－

－ － －b)＝ ＝ ＝ ＝{(b－ － － －d)/(a－ － － －c)}(x－ － － －a)

●Ex4：設L過x、y軸的截距分別為a、b且ab≠0，則L的方程式？

Sol：由x、y軸的截距分別為a、b可知L過點(a,0)及(0,b) 所以此直線斜率為－b/a

利用點斜式可知方程式為y－0＝ (－b/a)(x－a) 移項整理後可得(x/a)＋

＋ ＋(y/b)＝ ＋ ＝ ＝1 ＝

點斜式之應用二：兩點式兩點式兩點式兩點式

點斜式之應用三：斜截式斜截式斜截式斜截式

二 二 二

二. .. .兩線關係之意涵 兩線關係之意涵 兩線關係之意涵 兩線關係之意涵

●幾何─在坐標平面上，兩直線L₁(斜率m₁)及L₂(斜率m₂)有 以下三種關係：

┌ 1.相交於一點┬互相垂直：1.記為L₁⊥L₂

│ │ 2.若L₁⊥L₂，則m₁m₂ ＝－1

│ └不互相垂直

├ 2.互相平行：1.記為L₁ //L₂

│ 2.若L₁ //L₂，則m₁＝m₂

└ 3.重合：L₁＝L₂ → m₁＝m₂

※注意！此等式有一特例不滿足：

當兩直線分別為鉛直線(斜率不存在) 和水平線(斜率＝0)時。

喔~原來如此！

例題 例題 例題 例題

●Ex1：設L₁：3x＋4y＝－2及L₂：4x－3y＝5。

則L₁及L₂的關係為何？

Sol：L₁的斜率＝－3/4；L₂的斜率＝4/3又(－3/4)(4/3)＝－1 所以L₁垂直於L₂ (L₁⊥L₂)。

●Ex2：設L₁：x＋y＝8及L₂：x＋y＝9。則L₁及L₂的關係為何？

Sol：L₁的斜率＝－1；L₂的斜率＝－1又－1＝－1 所以L₁平行於L₂ (L₁//L₂)。

來點有挑戰性的題目吧！

二 二 二

二. .. .兩線關係之意涵 兩線關係之意涵 兩線關係之意涵 兩線關係之意涵- -- -cont. cont. cont. cont.

●代數─由於直線方程式L₁及L₂均為二元一次式，因此兩直線 的關係可等同於探討聯立方程組的解。

●聯立方程組的解有以下三種情形：┌ L₁：a₁x＋b₁y＝c₁

└ L₂：a₂x＋b₂y＝c₂

a₁/b₁＝a₂/b₂＝c₁/c L₁與L₂重合

無限多解無限多解 無限多解無限多解

L₁與L₂斜率 相等

a₁/b₁＝a₂/b₂≠c₁/c₂ L₁ //L₂

無解無解 無解無解

L₁與L₂斜率 不相等

a₁/b₁≠ a₂/b₂ L₁與L₂

交於一點 恰有一組解

恰有一組解 恰有一組解 恰有一組解

例題 例題 例題 例題

●Ex1：設┌L₁：3x＋4y＝4。試判斷L₁及L₂的關係？

└L₂：4x－3y＝3

Sol(1)：因為3/4≠－4/3 ≠4/3，所以L₁與L₂交於一點。

Sol(2)：解聯立可得x＝24/25、y＝7/25(一組解)，所以L₁與 L₂交於一點。

●Ex2：設┌L₁：x＋y＝8。試判斷L₁及L₂的關係？

└L₂：x＋y＝9

Sol(1)：因為1/1＝1/1≠8/9，所以L₁與L₂平行。

Sol(2)：解聯立可得0＝1(無解)，所以L₁與L₂平行。

三 三 三

三. .. .兩線關係物理方面之應用 兩線關係物理方面之應用 兩線關係物理方面之應用 兩線關係物理方面之應用

●求△ABC的內、外、重、垂四心：

1.內心I：為三角形三內角平分線的交點。

求法：利用內角平分線定理-求出(線段BD)：(線段DC)的比 利用分點公式-求出D點坐標

利用點斜式-求出直線AD的直線方程式--3

重覆以上步驟可再求得直線BE或CF的直線方程式--4 將3及4式解聯立即得所求！

E

F I

B

A

C D

這觀念我在這裡聽過35次了

三 三 三

三. .. .兩線關係物理方面之應用 兩線關係物理方面之應用 兩線關係物理方面之應用 兩線關係物理方面之應用- -- -cont. cont. cont. cont.

2.外心O：為三角形三邊之垂直平分線的交點。

求法：利用分點公式-求出D點坐標(線段BC之中點)

利用點斜式-求出過D點且垂直BC直線的直線方程式OD--3 重覆以上步驟可再求得直線OF或OE的直線方程式--4

將3及4式解聯立即得所求！

O E

D F

A

B C

也就是說，他考了35次數 學獵人試驗都還沒過…

三 三 三

三. .. .兩線關係物理方面之應用 兩線關係物理方面之應用 兩線關係物理方面之應用 兩線關係物理方面之應用- -- -cont. cont. cont. cont.

3.重心G：為三角形三中線的交點。

求法：利用分點公式-求出D點坐標(線段BC之中點) 利用點斜式-求出線段AD的直線方程式--3

重覆以上步驟可再求得線段BE或CF的直線方程式--4 將3及4式解聯立即得所求！

G E

D F

A

B C

※補充：若A、B、C點之坐標分別為

(x1,y1)、(x2,y2)、(x3,y3)，則重心G點公 式＝{(x1＋x2＋x3)/3,(y1＋y2＋y3)/3}

三 三 三

三. .. .兩線關係物理方面之應用 兩線關係物理方面之應用 兩線關係物理方面之應用 兩線關係物理方面之應用- -- -cont. cont. cont. cont.

4.垂心H：為三角形三邊高的交點。

求法：利用點斜式-求出過A且垂直線段BC的直線方程式--3 重覆以上步驟可再求得線段BE或CF的直線方程式--4 將3及4式解聯立即得所求！

H

E

F

D A

B C

※有些參考書或講義有公式可求出坐標，

但數學並不單只是背公式而已。而是要 了解它的原理是什麼，只要能理解就算 公式忘了也能解題！

三 三

三 三. .. .兩線關係物理方面之應用 兩線關係物理方面之應用 兩線關係物理方面之應用 兩線關係物理方面之應用- -- -cont. cont. cont. cont.

●反射：

1.目標：利用入射角＝反射角解題。

2.Ex：設有一球從A(2,3)丟出，撞上地面後反彈至B(10,5)。

試求球撞擊地面時的坐標(即求P點坐標)。

Sol：因為入射角＝反射角，所以可知

線段AP斜率＝－線段BP斜率

設P(x,0)，則3/(x－2)＝5/(10－x)

Ans：(5,0)

A

B

P C

O

三 三 三

三. .. .兩線關係物理方面之應用 兩線關係物理方面之應用 兩線關係物理方面之應用 兩線關係物理方面之應用- -- -cont. cont. cont. cont.

●鏡射：

1.目標：求出對稱點之坐標。

2.Ex：有一人站於一面傾斜的鏡子前。試求出鏡子中自己頭的 坐標。

Sol：設所求坐標為B(a,b)

利用點斜式-求出過A且垂直L的直線方程式M 將L及M解聯立可得兩線之交點C

利用分點公式-求出B點坐標(線段AC之中點)

Ans：(41/25,62/25)

L：4x+3y=12

O

A(1,2)

四 四 四

四. .. .線性規劃 線性規劃 線性規劃 線性規劃

●名詞解釋：

1.當一問題和兩個變量x、y有關，且這兩個變數受到題目條件的限 制，因而產生一組二元一次不等式，此時這一組不等式的解在xy 平面上所形成的多邊形區域稱為此問題的可行解區域。

2.在可行解區域上求出函數P(x,y)＝ax＋by＋c的極值。

此時這函數P(x,y)稱為此問題的目標函數。

3.在可行解區域上求出目標函數的極值之過程稱為線性規劃。

窟魯塔族的學校沒教過 這個，我趕快學一下~

四 四 四

四. .. .線性規劃 線性規劃 線性規劃 線性規劃- -- -cont. cont. cont. cont.

●線性規劃會碰到到的問題：

(1)如何繪出二元一次不等式的可行解區域？

(2)極值如何求出？

○Sol(1)：Ex：3x＋2y＋6＞0的圖形作法：

1.先描出直線3x＋2y＋6＝0的圖形。

2.想想看：

(－2,0)是3x＋2y＋6＝0的一個解。

若現在你將x坐標的－2固定不動，將y坐標的數值加大。

(例如：(－2,1/2))此時將此點代入3x＋2y＋6，你會發現 3x＋2y＋6＝1＞0。

也就是說(－2,a)其中a＞0是3x＋2y＋6＞0的解，即圖中的紅線。

O x y

四 四 四

四. .. .線性規劃 線性規劃 線性規劃 線性規劃- -- -cont. cont. cont. cont.

3.同樣的，你可任意取3x＋2y＋6＝0的一解用同樣的方式畫出多條 直線。

4.求到最後會發現3x＋2y＋6＞0的解所形成之圖形即為 3x＋2y＋6＝0的右半平面(即圖中的黃色區域；不包含 直線3x＋2y＋6＝0)。

5.所以當你將題目中的所有的二元一次不等式 圖形畫出並取其交集(共同部分)，則此交集 即為所求之可行解區域。

O x y

※注意！ 3x＋2y＋6＞0的解並不是圖形中 的四邊形區域。四邊形的上下右方都是 無限延伸的。

四 四 四

四. .. .線性規劃 線性規劃 線性規劃 線性規劃- -- -cont. cont. cont. cont.

○Sol(2)：

在可行解區域中，求目標函數P(x,y)＝ax＋by＋c的最大值或最小 值，可依下列步驟：

1.令目標函數P(x,y)＝ax＋by＋c＝0

→繪出基準直線。

2.令目標函數P(x,y)＝ax＋by＋c＝k

→可得一群平行直線(這些直線稱為平行直線系)。

3.在可行解區域中定出最大值點與最小值點。

→k值隨著ax＋by＋c的位置而變動。

將ax＋by＋c＝k在可行解區域上平行移動找出極值。

這是數學獵人試驗中重要 的過關知識，我記下來了

例題 例題 例題

例題( (( (計算題 計算題 計算題 計算題) )) )

●Ex1：在x≧0、y≧0、4x＋y≦4、3x＋4y≦12的條件下，x＋2y的 最大值為何？

●Sol：1.畫出可行解區域(斜線部分；包含邊界) 2.令目標函數P(x,y)＝x＋2y＝k。

並在可行解區域上平行移動找出極值。

Ans：6

這知識真好用，尼特羅會長竟 然把這個商業機密給說出來~

四 四 四

四. .. .線性規劃 線性規劃 線性規劃 線性規劃- -- -cont. cont. cont. cont.

●在線性規劃計算題(Ex1)中，我們發現目標函數P(x,y)＝ax＋by＋c 的極值必發生在此多邊形區域的端點處。

●因此我們可以採取代入各端點比大小直接找到極值。

●線性規劃問題解題步驟：

1.列出限制式(不等式組)及目標函數P(x,y) 2.繪圖(可行解區域)

3.代入各端點比大小

※注意！在解線性規劃的應用問題時 要留意答案的合理性！

三個步驟就能解決 很多線性規劃的問 題！尼特羅會長真 厲害！我迫不及待 想挑戰他了>///<

例題 例題 例題

例題( (( (計算題 計算題 計算題 計算題) )) )

●Ex2：在x≧0、y≧0、4x＋y≦4、3x＋4y≦12的條件下，x＋2y的 最大值為何？(和Ex1作比較)

●Sol：代入端點比大小

Ans：6

例題 例題 例題

例題( (( (計算題 計算題 計算題 計算題- -- -進階 進階 進階 進階) )) )

●Ex3：在x≧0、y≧0、3x＋2y≦12、x＋y≧2的條件下，

(y＋1)/(x＋2)的最大值為何？

●Sol：

Ans：7/2；1/6 1

2

( 1) ( ) ( 2)

6 1 7

(0,6) (Max)

0 2 2 0 1 1

(4, 0) (min) 4 2 6

m y

x m y

x

= +

+

⇒ = − − =

− −

⇒ + = +

⇒ + = +

令

斜率

例題 例題 例題

例題( (( (應用題 應用題 應用題 應用題) )) )

●Ex4：南北生技農場今年生產一種植物共1萬公斤，該植物每200公斤 可提煉1公斤的中草藥，每5公斤可製成1公斤的健康食品。中 草藥每公斤可獲利5000元，健康食品每公斤可獲利100元；根 據市場調查每年中草藥最大需求量為30公斤，健康食品最大需 求量是1800公斤。如果南北生技農場決定提煉中草藥x公斤，

並製成健康食品y公斤，設P為其可獲利潤。

(1)試以x、y表示P。

(2)如果想獲得最大利潤，則x、y的值為何？

對我這位忍者來說，中草藥時常用 到，所以線性規劃真是方便的工具^^

例題 例題 例題

例題( (( (應用題 應用題 應用題 應用題) )) )

●Sol(2)：

1.列出限制式(不等式組)及目標函數P(x,y)：

┌200x＋5y≦10000

│0≦x≦30

└0≦y≦1800

P(x,y)＝5000x＋100y 2.繪圖(可行解區域)：

例題 例題 例題

例題( (( (應用題 應用題 應用題 應用題) )) )

3.代入各端點比大小：

Ans：(1) P(x,y)＝5000x＋100y (2)(30,800)

喀喀喀喀喀喀！

例題 例題 例題

例題( (( (應用題 應用題 應用題 應用題- -- -整數點限制 整數點限制 整數點限制 整數點限制) )) )

●Ex5：在面積為72000平方公尺的建築用地上，以不超過六千九百 萬元的建築費，建A、B兩種住宅。A種住宅每戶160平方公 尺，造價24萬元；B種住宅每戶240平方公尺，造價15萬元。

試問A、B各建幾戶時總戶數為最多？

●Sol：列出限制式(不等式組)及目標函數P(x,y)：

設建A住宅x戶、B住宅y戶

┌160x＋240y≦72000

│0≦x

│0≦y

└24x＋15y≦6900 P(x,y)＝x＋y

2.繪圖(可行解區域)：自行練習 3.代入各端點比大小：

※注意：因為戶數是沒有小數點的，所以不能

回答(1200/7,1300/7)，要回答(171,186)！

Ans： A住宅171戶，B住宅186戶

例題 例題 例題

例題( (( (應用題 應用題 應用題 應用題- -- -整數點限制 整數點限制 整數點限制 整數點限制) )) )

300 (0,300)

0 (0,0)

2500/7(最大值) (1200/7,1300/7)

287.5 (287.5,0)

例題 例題 例題

例題( (( (應用題 應用題 應用題 應用題- -- -特殊限制 特殊限制 特殊限制 特殊限制) )) )

●Ex6：一五金商有二工廠，第一工廠有產品40單位，第二廠有產品 50單位，該商人自甲乙兩鎮接獲訂單，甲鎮申購產品30單 位，乙鎮申購產品40單位，今假定第一廠產品運用甲鎮每單 位運費為10元，運到乙鎮每單位運費為14元，第二廠產品運 到每單位運費12元，運到乙鎮每單位運費15元，則第一廠取 產品 單位運往甲鎮 單位運往乙鎮較為經濟(即運 費最少)？

※條件糾結在一起，但是線性規劃 的問題通常只能假設兩個變量兩個變量兩個變量兩個變量。

這題換我來解！

例題 例題 例題

例題( (( (應用題 應用題 應用題 應用題- -- -特殊限制 特殊限制 特殊限制 特殊限制) )) )

●Sol：

1.列出限制式(不等式組)及目標函數P(x,y)：

設第一廠運往甲xxxx單位，運往乙yyyy單位

則第二廠運往乙30303030－－－－xxxx單位，運往乙40404040－－－－yyyy單位

P(x,y)＝10x＋14y＋12(30－x)＋15(40－y)

＝－2x－y＋960

0 30

0 40

0 40

0 (30 ) (40 ) 50 x

y

x y

x y

 ≤ ≤

 

  ≤ ≤

 

 ≤ + ≤

 

 ≤ − + − ≤

 

例題 例題 例題

例題( (( (應用題 應用題 應用題 應用題- -- -特殊限制 特殊限制 特殊限制 特殊限制) )) )

2.繪圖(可行解區域)：

3.代入各端點比大小：

Ans：第一廠取產品30單位運往甲鎮，10單位運往乙鎮較為經濟

這樣講解各位考 生應該都了解了 吧！相信大家都 迫不及待要進行 數學試驗了，接 著就來挑戰吧！