4 微分的應用
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4.8 牛頓法
牛頓法
考慮一位汽車經銷商，賣一台車的費用是 18000 美元，或者 可以選擇貸款，五年分期一期一個月繳交 375 美元。
我們可能會想知道選擇分期繳交的話，反推回去計算貸款利 息會是多少。
五年共六十期，本金加利息總共是 18000(1+x)
60
但每期償還的錢也會計算利息 375(1+x)n 總共六十期依幾何 級數加總可得
375[(1+x)
60
-1]/[(1+x) – 1]此時我們就必須要解這個方程式
18000(1+x)
60
– [375(1+x)60
- 375]/x = 0 48x(1 + x)60
– (1 + x)60
+ 1 = 0牛頓法
利用電腦繪圖，我們可以稍稍看出滿足的 x 位置如下圖
除了 x = 0 的解以外，我們可以觀察到仍有一解在 x = 0.007 以及 x = 0.008 之間。
在放大則可進一步知道大概在 0.0076 左右。
我們仍可以放大（用筆算的話可以使用二分逼近法），得到 更多準確的位數，但我們需要更多的計算。
圖一
牛頓法
一般的電腦計算軟體可能可以解根到小數點後九位：
0.007628603
甚至，看電腦允許的精確度到幾位，還可以到小數點後十六 位。那麼，這些電腦軟體到底是怎樣計算才能這麼快的解得 根呢？
其中的一種演算法也是最常用的演算法便是 －－ 牛頓法 (Newton’s method) ，一般也稱為 －－ 牛頓拉弗森法 (Newton-Raphson method) 。
接下來我們將介紹這個方法的原理，以及線性逼近的概念。
牛頓法
牛頓法的幾何圖形如下所示，其中我們想知道的根便是圖中 r 所標示的位置。
選取第一個點 x
1
在圖形上的點 (x1
,f(x1
)) 做切線，切線與 x 軸相交於 x2
。圖二
牛頓法
在這個短短的過程中，我們想要做的是：
(1) 在小範圍內，我們可以用切線來貼近函數圖形
(2) 在小範圍內，用切線與 x 軸的交點會接近函數圖形與 x 軸的焦點。
如何得到 x
2
的値呢？首先我們可利用點斜式以及切線斜率 f’(x1
) ，計算在 (x1
,f(x1
)) 的切線：y
– f(x1
) = f(x 1
)(x – x1
)牛頓法
計算與 x 軸的交點，令 y = f(x2
) = 0 ，得
0 – f(x1
) = f(x 1
)(x2
– x1
)若 f
(x 1
)
0 不為 0 ，則可將 x1
-> x2
的過程寫成迭代式：接著我們重覆一樣的動作，在 x
2
上利用 (x2
,f(x2
)) 上的切線 計算切線與 x 軸相交的點。牛頓法
於是可得到除了 x
1
, x2
的第三個逼近值 x3
：在沒有遇到
f’(x
n) = 0 或者剛好某個 f(x n
) = 0 的情況之下，我 們可以一直重複同樣的動作下去，得到一串逼近數列 x1
, x2
, x3
, x4
, …牛頓法
對一般任意的函數，給定第 n 次的逼近值 x
n
且保證 f’(xn
) 不 為 0 時，可以得到第 n+1 次的逼近值：當然，我們希望 x
n
會越來越接近我們所要的根 r ，也就是 xn
的極限會是 r ：我們先不討論是否會收斂至 r 。看幾個例子。
範例一
從 x
1
= 2 開始，利用牛頓法求 x3
– 2x – 5 根的第三次的逼近 值 x3
。解:
計算導函數
f(x) = x 3
– 2x – 5 andf (x) = 3x 2
– 2 從 x1
開始主要是利用勘根： f(1) = –6, f(2) = –1, f(3) = 16 於是我們可以知道在 (2, 3) 之間有一根。且此時 f’(x) = 3x2
– 2 在這附近大致上為正。範例一 / 解
於是我們得到迭代式：
對 n = 1 ，
cont’d
範例一 / 解
當 n = 2 時則有
可得到第三次的逼近值 x
