牛頓計算

牛 頓計算 _π

林聰源

牛頓的二項式定理

在牛頓 (Newton) 偉大的作品中, 我們 只探討其中一小部分, 這是二項式定理, 它 是牛頓在數學中第一個偉大的發現。 依照歐 幾里得或阿基米德的說法, 這不能稱之為“定 理”, 因為牛頓沒有提供完整的證明。 但他獨 到的眼光與直覺, 使他寫出整個公式並且以 美妙的方式應用了它。

二項式定理討論了式子 (a + b)ⁿ 的展 開式。 只要簡單的代數便可得出

(a + b)²= a²+ 2ab + b²

(a + b)³= a³+ 3a²b + 3ab²+ b³

(a + b)⁴= a⁴+ 4a³b + 6a²b²+ 4ab³+ b⁴ 等等。 當然了, 如果能直接寫 (a + b)¹² 中 a⁷b⁵ 的係數, 而無需將 a + b 自己相乘 12次 那就太好了。 二項式展開的問題早在牛頓出 生以前就已經被提出來了, 而且也被解決了。

中國數學家楊輝在十三世紀就知道其中的秘 密, 可惜他的工作歐洲沒有人知道, 直到近 代。 維也特 (Vieta) 在他的工作中, 也遭遇 了二項的乘冪。 但巴斯卡 (Pascal) 由於發現

了它的係數而成名。 巴斯卡注意到係數可從 下列“巴斯卡三角形”的各列輕易得出:

1 1 1 1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 等等

三角形中的每一項由其上列左邊與右邊兩個 元素相加而得。 因此, 根據巴斯卡的說法, 下 一列是

1 8 28 56 70 56 28 8 1 其中, 譬如說, 56 是由前項的左、 右兩數 21 與 35相加而得。

巴斯卡三角形與 (a + b)⁸ 的展式之間 的連繫是立即的。 因為三角形最後一行給了 我們所需的係數。 即

(a + b)⁸= a⁸+ 8a⁷b + 28a⁶b² + 56a⁵b³ +70a⁴b⁴+ 56a³b⁵+ 28a²b⁶

68

+8ab⁷ + b⁸

將三角形再擴展幾行, 我們便得 792 是 (a + b)¹² 展式中 a⁷b⁵ 的係數。 三角形的用途是顯 而易見的。

年輕的牛頓當他想到二項展式時, 能夠 設計出一個公式來直接生成二項係數, 無需 繁煩地畫出三角形, 畫到足夠的列數。 而且, 他深信, 像 (a + b)² 或 (a + b)³ 這些二項 乘冪的係數其生成公式的模式對 (a + b)¹² 或 (a + b)⁻³ 同樣也成立。

這裡我們需要說一下分數與負數冪次。

在基礎代數課程中, 我們學到 a^1/n = √ⁿ a 而 a⁻ⁿ = 1/aⁿ。 牛頓可能不是第一位體認到這 些關係的人, 但他經常用到式子 √

1 + x 或 1/(1 − x²)。

這裡記載的是 1676 年牛頓寫給與他同 時代的萊比尼茲 (Leibnitz) 的一封重要的 信。 牛頓對他的二項展式是這麼說的:

(P + P Q)^m/n

= P^m/n+ m

nAQ +m−n 2n BQ +m−2n

3n CQ+m−3n

4n DQ + · · · 其中 P +P Q 是考慮中的二項式, m/n 是二 項式的冪次, 可能是正或負, 整數或分數, 而 A, B, C 等等表示展式中前面那一項。

對那些已經看過現代版的二項展式的人 來說, 牛頓的陳述看起來很生疏, 怪怪的。 但 仔細看一下什麼問題都沒有了。 首先我們注 意

A = P^m/n

B =m

nAQ = m

nP^m/nQ C = m − n

2n BQ = (m − n)m

(2n)n P^m/nQ²

=(^m_n)(^m_n − 1)

2 P^m/nQ² D =m − 2n

3n CQ

=(^m_n)(^m_n − 1)(^m_n − 2)

3 × 2 P^m/nQ³ 等等

那麼, 應用牛頓的公式, 從式子兩邊提出共同 的 P^m/n, 我們得

P^m/n(1 + Q)^m/n

= (P + P Q)^m/n

= P^m/n[1 + m

nQ + (^m_n)(^m_n − 1) 2 Q² +(^m_n)(^m_n − 1)(^m_n − 2)

3 × 2 Q³+ · · · ] 消去 P^m/n, 便得

(1+Q)^m/n= 1 +m

nQ +(^m_n)(^m_n − 1) 2 Q² +(^m_n)(^m_n−1)(^m_n−2)

3 × 2 Q³ + · · ·

這是大家都熟悉的式子。

現在我們跟隨牛頓的腳步, 將這公式應 用到幾個特別的例子。 譬如, 展開 (1 + x)³ 時, 我們以 x 代 Q, 以 3代 m/n, 便得

(1 + x)³

= 1 + 3x + 3 × 2

2 x²+3 × 2 × 1 3 × 2 x³ +3 × 2 × 1 × 0

4 × 3 × 2 x⁴+ · · ·

= 1 + 3x + 6

2x² +6

6x³+ 0 24x⁴ + 0

120x⁵+ · · ·

= 1 + 3x + 3x²+ x³

這正是巴斯卡三角形生成的橫式; 由於我們 的冪次是正整數 3, 展式在四項以後停止了。

當冪次為負時一個相當不一樣的現象正 等待著牛頓。 作為一個例子, 展開 (1 + x)⁻³, 他的公式給出

1 + (−3)x + (−3)(−4) 2 x² +(−3)(−4)(−5)

6 x³+ · · · 或

(1 + x)⁻³= 1 − 3x + 6x²− 10x³ +15x⁴+ · · ·

其中右邊的級數絕不終止。 由負冪次的定義 這方程變成

1

(1 + x)³ = 1 − 3x

+6x²− 10x³+ 15x⁴+ · · · 或等價於

1

1 + 3x + 3x²+ x³

= 1 − 3x + 6x²− 10x³+ 15x⁴+ · · · 牛頓用交叉相乘及消去證實了這個結果, 確 實有

(1 + 3x + 3x²+ x³)

×(1 − 3x + 6x²− 10x³+ 15x⁴+ · · ·)

= 1

當他展開式子 √

1 − x = (1 − x)^1/2 時, 事情變得更加奇怪。 現在 Q = −x, 而 m/n = 1/2, 所以

√1−x = 1 +1

2(−x) + (¹₂)(−¹2) 2 (−x)² +(¹₂)(−¹₂)(−³₂)

6 (−x)³+ · · ·

= 1 − 1 2x − 1

8x² − 1 16x³

− 5

128x⁴− 7

256x⁵− · · · (∗) 為了核驗這一奇特的公式, 牛頓拿右邊的無 窮級數和自己相乘, 也就是說, 他將它平方:

(1−1 2x−1

8x²− 1

16x³− 5

128x⁴− · · ·)

×(1−1 2x−1

8x²− 1

16x³− 5

128x⁴· · ·)

= 1−1 2x−1

2x−1 8x²+1

4x²

−1 8x²− 1

16x³+ 1

16x³+ 1 16x³

− 1

16x³+ · · ·

= 1 − x + 0x²+ 0x³+ 0x⁴+ · · ·

= 1 − x 因此

(1−1 2x−1

8x²− 1

16x³− 5

128x⁴ − · · ·)²

= 1 − x

這就驗證了牛頓所說的 1−1

2x−1 8x²− 1

16x³− 5

128x⁴− · · ·

=√ 1 − x

“因為這個定理, 取平方根變得大為省力”牛 頓這麼說。 假定我們要找 √

7 的一個十進位

近似值。 先注意到 7 = 9(7

9) = 9(1 −2 9) 所以√

7 =

^q

^q

√7 ≈ 3(1−2 9− 1

162− 1

1458− 5 52488

− 7 472392)

= 2.64576 這個結果與 √

7 之真值只差0.00001, 只用 了六項, 實在了不起。 如果我們多用幾個項, 保證可以估計得更準。 同樣地, 相同的技巧也 可提供三次方根、 四次方根的近似值, 因為我 們可應用二項式定理展開 √³

1 − x = (1 − x)^1/3, 如前一樣進行。

牛頓反流術

積分

這件事發生在 1669 年, 不過, 牛頓直到 1711 年才發表。 牛頓說:

令任意曲線 AD 的底為 AB, 而 BD 平 行於縱軸。AB = x, BD = y, a, b, c 等等為 已知數量, 而 m 及 n 為整數。 則

規則1: 若 ax^m/n = y, 則

an

m+nx^(m+n)/m = 面積ABD。

在圖 1 中, 牛頓要求水平軸之上, 曲線 y = ax^m/n之下, 向右直到 x 點之間的面積。

根據牛頓, 這個面積是 _m+n^an x^(m+n)/n。 譬如 說, 我們取直線 y = x (圖 2), 則 a = m = n = 1,

y = ax

D

y

A x B

圖

¹

D

y = x

x

A x B

圖

²

此公式給出面積 (1/2)x², 這可由三角形面 積=1/2(底) × (高) 簡單地驗證。 同樣地, 在 y = x² 之下介於原點與 x 點的面積是

x²⁺¹/(2 + 1) = x³/3

牛頓還有一個規則 2, “如果 y 的值是 由許多項所組成, 則面積也是用每一項所得 出的面積再求和而得。”舉個例, 他說在曲線 y = x² + x^3/2 之下的面積是

1

3x³+2 5x⁵²

這就是牛頓的工具: 二項式定理及 曲線下求面積。 這些工具在他遭遇數學及物 理問題時無往而不利。 下面我們要來看牛 頓如何應用這些工具帶給古老的問題: π

的值的估計, 一個全新的面貌。 阿基米德 (Archimede) 和維也特等人愈來愈精確地決 定了 π, 在 1670 年左右, 牛頓挾帶著他美妙 的新工具, 對這古老的死敵下達了攻擊令。

牛頓計算的 π 的近似值

牛頓顯然精通解析幾何的概念, 這由下 面的工作即可看出。 他取一個半圓, 圓心在 C(1/2, 0), 半徑為 r = 1/2, 如下圖。

y

y =√

x−x²= x¹2(1−x)¹² D

B C E

A (1/4, 0) (1/2, 0) (1, 0) x

他知道圓的方程是

(x − 1/2)²+ (y − 0)² = (1 2)², 即 x² − x + y² = 0 解出 y 得

y =√

x − x² =√ x√

1 − x

= x^1/2(1 − x)^1/2

為什麼他選這個特別的半圓呢? 你也許 覺得奇怪, 但請你看到最後就明白了!

由二項式展開的公式 y = x^1/2(1 − x)^1/2

= x^1/2(1 −1 2x − 1

8x²− 1

16x³ − 5 128x⁴

− 7

256x⁵− · · ·)

= x^1/2− 1

2x^3/2− 1

8x^5/2− 1 16x^7/2

− 5

128x^9/2− 7

256x^2/11− · · ·

現在, 牛頓的天才顯現了出來。 他令 B 代表點 (1/4,0), (請見上圖), 並畫出 BD 垂 直於半圓的直徑 AE。 然後他以兩種不同的 方式計算陰影部分 ABD 的面積:

1. 用流數法

由流數法, 這裡曲線下由原點到 x = 1/4 點的面積是

2

3x³² − 1 2(2

5x⁵²) − 1 8(2

7x⁷²)

− 1 16(2

9x⁹²) − · · ·

= 2

3x³² − 1

5x⁵² − 1

28x⁷² − 1 72x⁹²

− 5

704x¹¹² − · · · 在 x = 1/4 所取的值。 由於

(1

4)^3/2= (

s

8, (1

4)^5/2= (

s

4)⁵ = 1

32 等等 因此計算後的數值大為簡化, 取其前九項便 得

1 12 − 1

160 − 1

3584 − 1 36864

− 5

1441792 − · · · − 429 163208757248

= 0.07677310678

2. 用幾何方法

另方面, 牛頓從純幾何的觀點看這問題。

首先他決定直角三角形 △DBC 的面積。 注 意, BC 的長度是 1/4, 而 CD 為半徑, 其長 為 r = 1/2。 直接應用畢氏定理, 得出

BD =

s

(1

2)²− (1 4)² =

s

√3 4 因此

△DBC 的面積

= 1

2BC × BD

= 1 2(1

4)(

√3 4 ) =

√3 32

然後牛頓需要扇形 ACD 的面積。 他注 意到 △DBC 中 BC 的長度為斜邊 CD 之 半, 因此這是一個 30^◦ -60^◦-90^◦ 的直角三角 形,

∠

扇形面積 = 1

3半圓面積 = 1 3(1

2πr²)

= 1 3[1

2π(1

2)²] = π 24 上式中, π 這個數出現了。

由幾何方法, 陰影部分的面積等於 ABD的面積 = 扇形的面積

−△DBC的面積

= π 24−

√3 32

這個結果跟前面由流數法得到的結果互相比 較, 便得

0.07677310678 ≈ π 24 −

√3 32, 於是解出 π 的近似值為

π ≈ 24(0.07677310678 +

√3 32)

= 3.141592668 · · ·

這估計值令人驚奇的一點是, 只用了二 項式展開的幾個項, 就求出 π 正確到七位 小數, 而我們剛才所得的估計值跟 π 的真 值差別不到 0.00000014。 比起維也特及魯道 夫 (Rudolph) 可怕的計算這是一項很大的 進展。 這個技巧唯一真正的困難是需要對√

3 作一準確的估計。 但是, 我們已經看過了, 牛 頓的二項式定理可以輕易地計算平方根。 簡 而言之, 這個結果明白地展示了他的新穎的 數學發現在處理古老問題時非常有效, 而且 是成功的。 (取材自: Dunham: Jounney throuth genius, Wiley, 1990)

—本文作者任教於清華大學數學系—