從牛頓二項式定理開方到牛頓切線法

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數學傳播 34 卷 4 期, pp. 87-90

從牛頓二項式定理開方到牛頓切線法

王曉明 · ^王蕊珂

一 . 問題的提出

在數學中, 再也沒有比開方更加自然的事了, 當人類產生了自然數概念並且規定了四則運算之後, 人們發現, 如果按照乘法性質, 一個數自身相乘的逆行運算是一件不太容易的事情。一個整數自身相乘以後是比較容易找到原來那個整數的, 例如 2 自身相乘 5 次是 32, 從 32 我們也容易找到 2, 但是, 如果是31, 30 呢, 開5次方就不太容易了。自從牛頓發現二項式定理以後, 人們知道開方是依據二項式定理展開的。但是, 畢竟太麻煩。有沒有一個簡單的方式或者公式來開方呢?

二 . 一個意外

設 A = Xⁿ, X = √ⁿ

A, 我們想求 X, 即開方 n 次, 當:

A ÷ X@ⁿ⁻¹ = X. (1)

我們把右下角標打上了 (@) 的 X@ 表示我們預設的那個 X, 把右下角沒有 @ 的 X 視作 A ÷ X@ⁿ⁻¹ 以後得出的商。

有三種情況:

一. 我們取的初始值 X@, 與等式右邊的 X 一致時, 問題就解決了, 例如 32/2⁴ = 2;

二. 我們取的初始值 X@ 偏小, A/X_@ⁿ⁻¹ > X@, 例如 45/2⁴ = 2.8125 > 2。 (1) 式 A/X_@ⁿ⁻¹ = X0, 於是 X@ < X0, X0 − X^@ = E。例如: 2.8125 − 2 = 0.8125 是一個正值, 我們把這個正值分解 E/n 再加回去就可以調節原來取了偏小的初始值, 使之變大; (因為 A 開 n 次方, 就是將 X 自乘 n 次的數值分解 n 次, 所以也就自然而然地想到其誤差 E 也要分解 n 份, 即 E/n)。

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三. 我們取的初始值 X@ 偏大, A/X_@ⁿ⁻¹ < X@, 例如 30/2⁴ = 1.875 < 2, (1) 式 A/X_@ⁿ⁻¹ = X0, 於是 X@ > X0, X0 − X^@ = −E。例如 1.875 − 2 = −0.125, 我們把這個負值 −E 分解 −E/n 再加回去, 就可以調節原來取得偏大的初始值, 使之變小。

四. 於是我們得到:

Xk+1= X^k+ (A/XKⁿ⁻¹− X^k)1

n, (K = 0, 1, 2, 3, 4, . . . .) (2) 五. 我們用 (2) 式來開方。

例如我們開平方, 即 n = 2。 X =√

A, 公式:

Xk+1 = X^k+ (A/XK²⁻¹− X^k)1

2, (3)

設 A = 5。 √

5 介於 2² 至 3² 之間, 我們可以取初始值 2.1, 2.2, 2.3, 2.4, 2.5, 2.6, 2.7, 2.8, 2.9。隨便取一個值輸入, 只取小數第一位, 得出來的都是一樣的, 一般要求取中間值 2.5。

第一步:2.5+(5/2.5−2.5)/2 = 2.2; (用其它值也一樣, 例如 2.8; 2.8+(5/2.8−2.8)/2 = 2.2。

第二部:2.2 + (5/2.2 − 2.2)/2 = 2.23。每一次多取一位數。

第三步:2.23 + (5/2.23 − 2.23)/2 = 2.236。即 2.236 =√ 5。

計算次數與計算精確度成為正比。

開 3 次方也一樣, 即 n = 3, X =√³

A, 公式:

X^k+1 = X^k+ (A/XK² − X^k)1

3. (4)

設 A = 5, 5 介於 1³ 至 2³ 之間, 我們可以取初始值 1.1, 1.2, 1.3, 1.4, 1.5, 1.6, 1.7, 1.8, 1.9, 計算後只取小數第一位, 答案都是一樣。例如取 1.9。

第一步:1.9 + (5/1.9² − 1.9)/3 = 1.7。取其它值也是一樣, 例如取 1.5; 1.5 + (5/1.5² − 1.5)/3 = 1.7。輸入值大於輸出值, 負反饋;

第二步:1.7 + (5/1.7²− 1.7)/3 = 1.71; 輸入值小於輸出值, 正反饋;

第三步:1.71 + (5/1.71²− 1.71)/3 = 1.709; 輸入值大於輸出值, 負反饋;

第四步; 1.709 + (5/1.709²− 1.709)/3 = 1.7099。每一步多取一位數。要多精確都可以。

如果輸入值與輸出值一致:

(3)

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289 開平方, √

289 介於如 10 的平方至 20 平方之間, 我們取 20 為初始值, 於是: 第一步 20 + (289/20 − 20)/2 = 17; 第二步 17 + (289/17 − 17)/2 = 17。說明17是個精確值。

以上方法是作者 1980年發現的, 找到江西師範大學數學系, 一位教授看過之後, 覺得面熟, 將這個公式反推回去, 原來是牛頓切線法。但是, 他不知道是怎麼得出來的。原來這可以用二項式定理推出。

三 . 二項式定理與 (2) 式巧合

設 A = (X ± Y )ⁿ= C₀ⁿXⁿ± C1ⁿXⁿ⁻¹Y + C₂ⁿXⁿ⁻²Y²± · · · ± CⁿⁿYⁿ, (5) (說明: 在大陸二項式表示 Cn^k = n!/(n − k)!k!; 在臺灣 Cⁿ^k = k!/(k − n)!n!, 由於是在臺灣的雜誌發表, 就按照臺灣數學界的標記法)

X 是假定值, Y 是誤差值。

X^k+1 = (X ± Y ) = X^k+ (A/XKⁿ⁻¹− X^k)1

n. (6)

由 (6) 式得:

±Y = (A/X^Kⁿ⁻¹− X^k)1

n. (7)

我們把(5) 式等號右邊按照 (7) 式程序進行:

(一) (7) 式右端第一步是 A/XKⁿ⁻¹, 相當於 (5) 式中的:

(C0ⁿXⁿ± C1ⁿXⁿ⁻¹Y + C2ⁿXⁿ⁻²Y²± · · · ± CⁿⁿYⁿ)/Xⁿ⁻¹

= X ± nY + (C2ⁿXⁿ⁻²Y²± · · · ± CⁿⁿYⁿ)/Xⁿ⁻¹. (8) (二) (7) 式右端第二步是減去 X, 即 A/XKⁿ⁻¹− X^k。

(8) 式右端減去 X 得:

±nY + (C2ⁿXⁿ⁻²Y²± · · · ± CⁿⁿYⁿ)/Xⁿ⁻¹. (9) (三) (7) 式右端第三步是除以 n, 即 (A/XKⁿ⁻¹− X^k)¹n。

(9) 式除以 n 得:

±Y + (C2ⁿXⁿ⁻²Y²± · · · ± CⁿⁿYⁿ)/nXⁿ⁻¹. (10) (10) 式是由 (5) 式得來的, 現在 (7) 式左端只剩下一個 Y , 而 (10) 式卻是多出來一個:

(C₂ⁿXⁿ⁻²Y²± · · · ± CⁿⁿYⁿ)/nXⁿ⁻¹. (11)

(4)

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(11) 式就是我們碰到的誤差。我們在實際計算中把 (11) 式不要了。

當我們取 X 值偏大, A = (X − Y ); 當我們取值偏小是 A = X + Y 。

四 . 為什麼 (2) 式是牛頓切線法

我們把 (2) 式展開:

X^k+1= X^k+ (A/XKⁿ⁻¹− X^k)1

n = X^k− (X^Kⁿ − A)/(nX^Kⁿ⁻¹), 注意: f (x) = XKⁿ − A;

f^′(x) = nXKⁿ⁻¹.

即 X^k+1 = X^k− (f (x)) (f^′(x))

(牛頓切線法, 求 X = √ⁿ

A, A > 0, XKⁿ − A ⇔ X^Kⁿ − A = 0).

開 5 次方例題:

X^k+1= X^k+ (A/XKⁿ⁻¹− X^k)1

n, 即 n = 5, 即 X =√⁵ A, 得:

X^k+1= X^k+ (A/XK⁴ − X^k)1

5. (12)

例如 A = 100:100 介如 2 的 5 次方至 3 的 5 次方之間, 初始值可以取 2.1, 2.2, 2.3, 2.4, 2.5, 2.6, 2.7, 2.8, 2.9. 我們取中間值 2.5. 於是;

2.5 + (100/2.5⁴− 2.5)/5 = 2.51

2.51 + (100/2.51⁴− 2.51)/5 = 2.511. 即 2.511 =√⁵ 100.

—本文作者王曉明為退休數學老師, 王蕊珂目前就讀美國 Ohio Wesleyan University—

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