整數的基本性質

Chapter 1

整數的基本性質

的 , 整性, 整數的基本性質 . 整數的性質 ,

, .

1.1. 數 數

整數 數 , 數數的 . 的 整 整數

的 a∈ Z, 2a a + a. n∈ N

n a 的 na. (−n)a n −a . 0a

0, 的 m∈ Z, ma . 的 的

, .

ma m∈ Z 的數 a 的 數 (multiple). b a 的

數, a b 的 數 (divisor). a| b.

a 的 數 的 aZ . aZ 的 ma 的

m∈ Z. 的 aZ = {ma | m ∈ Z} . b∈ aZ b a

的 數 ( a b 的 數) 的 .

數 數的 性質. a, b, c∈ Z. b a 的 數 c b

的 數, r, s∈ Z b = ra c = sb. 的

c = sb = s(ra) = (sr)a.

sr∈ Z, c a 的 數. 的, 整數的

. , 的性質.

b, c a 的 數. r, s∈ Z b = ra c = sa.

m, n∈ Z,

mb + nc = m(ra) + n(sa) = (mr + ns)a.

mb + nc a 的 數.

Question 1.1. a∈ Z, b, c∈ aZ m, n∈ Z mb + nc∈ aZ.

1

2 1. 整數的基本性質

整數的 的性質, 1. 1 的整

數 a a ( 1· a = a), . 的 1 的整數 性質的.

a 0 的整數 x x· a = a x 1.

Question 1.2. 的 a̸= 0 ? a̸= 0 x x· a = a

x = 1.

1 性, x, y∈ Z x· y = 1, x = 1, y = 1 x =−1,y = −1.

Question 1.3. 的性質 .

1 的 性. b a 的 數 a b 的 數, b = a

b =−a. r, s∈ Z b = ra a = sb,

a = sb = s(ra) = (sr)a.

a = 0, b = ra = 0 = a , a̸= 0, 1 的性質 r = 1 r =−1,

b = a b =−a. 的 性質 的數 .

Lemma 1.1.1. a, b, c∈ Z. .

(1) a| b b| c a| c.

(2) a| b a| c m, n∈ Z a| mb + nc.

(3) a| b b| a a =±b.

數的 整數的 性質 性質.

Lemma 1.1.2. a, b, m∈ Z m̸= 0. a| b ma| mb.

Proof. a| b, n∈ Z b = na. m mb = mna =

n(ma), ma| mb.

, ma| mb, n∈ Z mb = n(ma), m(b− na) = 0. m̸= 0

的 b− na = 0. a| b. 

整數 a, b 數 , a, b 的 數,

數 , 的 數, 數 .

的 .

Corollary 1.1.3. d| a d| b, a| b (a/d)| (b/d).

Proof. d| a a/d 整數, b/d 整數,

(a/d)| (b/d). d̸= 0, Lemma 1.1.2 d(a/d)| d(b/d) ( a| b)

(a/d)| (b/d). 本 . 

1.1. 數 數 3

Corollary 1.1.3 d| a d| b 的 d a b 的 數,

a, b 的 common divisor ( 數). Corollary 1.1.3 整數 數

數 .

整數 的 數 數 的 .

.

Definition 1.1.4. a, b∈ Z 0.

(1) c∈ Z, c| a, c | b, c a, b 的 common divisor ( 數).

(2) d∈ N a, b 的 數 的, d a, b 的 greatest common divisor (

數), gcd(a, b) .

. 的 本 . Definition

1.1.4 數 數 . 數的 性: 1

整 的整數, a, b∈ Z 數 ( 1 ).

數的 性, 整數的 “well-ordering principle” 性質 .

principle 的整數的 S, S ( 數

S 的數), S 的整數 ( min S ). 整數的

S ( 數 S 的數), 的

整數 ( max S ). 的 整數 ,

整數的 性質 的 數. 性質 的

數 . 數 的 (0 的 數),

的 數.

數的 性. a̸= 0 , a 的 數 |a|, a, b 的 數 的 ( |a| ). well-ordering principle a, b 的

數 .

的 a, b 的 數 1. ( gcd(a, b) = 1), a b

±1 的 數, a, b 質 (relatively prime).

Exercise 1.1. a, b, c, d∈ Z 0, 整 的性質.

( Lemma 1.1.1, Lemma 1.1.2 ).

(1) a| b c| d, ac| bd. (Lemma 1.1.2 & Lemma 1.1.1(1)) (2) a| b, n∈ N aⁿ| bⁿ. ( (1) 數 ) (3) c| a + b c| a, c| b. (Lemma 1.1.1(2))

(4) a̸= 1 a− 1 | b − 1 a− 1 | bc − 1, a− 1 | c − 1. ( (3)) (5) m, n∈ N a > 1, a^m− 1 | a^m+n− 1, a^m− 1 | aⁿ− 1. ( (4)) Exercise 1.2. a∈ Z, 3| a³− a.

—————————– March 02, 2018