Topological Spaces
拓樸學簡單來說就是將我們熟悉的實數上的連續函數概念推廣到更一般的狀況 (即所謂 的 Topological Space 拓樸空間), 探討一般抽象的拓樸空間經由連續函數作用後那些性質不 會改變 (或會改變).
在一個集合中知道了那些子集合是 open sets, 我們便可定義在這些集合間的 “連續函 數”. 規定好一個集合的 open sets 有哪些後, 我們便稱這個集合是一個 topological space.
我們將介紹 topological space 及其上的連續函數的定義和基本性質, 然後介紹 subspace 的概念.
1.1. Standard Topology on R
以後我們會知道在實數線上是可以定義許多種的 topology. 這裡我們先回顧大家所熟悉 的一種, 所謂的 standard topology, 以便進一步了解抽象 topology 的意義.
首先我們回顧實數上的連續函數的定義. 這裡我們假設大家對於此定義已非常了解, 就 不再說明此定義的意義了.
Definition 1.1.1. 考慮函數 f :R → R. 若 a ∈ R, 我們稱 f is a continuous function at a (在 a 點連續) 如果對任意的ϵ > 0 皆存在 δ > 0 使得當 |x − a| < δ 時皆滿足 f (x)− f (a) < ϵ.
特別的, 若 f 在R 上的每一點皆連續, 則稱 f is a continuous function on R.
這個大家熟悉的定義, 我們可以將它用集合的方式表達. 其中 |x − a| < δ 可用 x ∈ (a− δ, a + δ) 這個開區間來表示, 而 f (x)− f (a) < ϵ 就可用 f (x) ∈ ( f (a) − ϵ, f (a) + ϵ) 來表示. 所以 Definition 1.1.1 的後面我們可改寫成: 對所有 x ∈ (a − δ, a + δ) 皆滿足 f (x)∈ ( f (a) − ϵ, f (a) + ϵ). 我們甚至可以利用有關函數的 image 以及 inverse image 的寫法 將它寫成集合的形式. 首先我們回顧一下, 函數的 image 以及 inverse image 的定義.
給定一個 function f : X → Y 以及 X 的 subset A, 所謂 A 在 f 的作用之下所得 image 就是收集 A 中的元素代入 f 後所得元素的集合. 我們用 f (A) 來表示, 也就是說 f (A) ={ f (a) | a ∈ A}. 特別的, the image of X under f , 即 f (X) 稱為 f 的 range (值域). 從 1
f (A) 的定義, 我們知道 f (A) 是對應域 Y 的 subset. 這個定義很直接, 很容易讓人理解這個 元素的組成元素. 不過它卻不容易掌握, 主要是很難描繪其元素. 另外要注意的是, 有的同 學可能會誤解 f (a)∈ f (A) 表示 a ∈ A. 其實這在邏輯上是錯誤的, 因為有可能有元素 b < A 但是 f (b)∈ f (A). 關於 f (A) 一個比較好的寫法是, 直接將 f (A) 裡的元素看成是 Y 中的元 素. 也就是考慮 y∈ f (A), 表示存在 a ∈ A 使得 y = f (a). 反之, 若 y ∈ A 且存在 a ∈ A 使得 y = f (a) 依定義就表示 y∈ f (A). 所以 f (A) 有另一個等價的定義是
f (A) ={y ∈ Y | ∃ a ∈ A, y = f (a)}.
這個定義感覺較不自然, 不過反而比較容易讓我們掌握 f (A) 的元素.
接下來, 我們來探討所謂的 inverse image. 簡單來說, 給定一個 function f : X → Y 以 及 Y 的 subset C, 所謂 C 在 f 的作用之下所得 inverse image 就是收集那些經由 f 會落在 C 中的元素所成的集合. 我們用 f−1(C) 來表示, 也就是說 f−1(C) ={x ∈ X : f (x) ∈ C}. 從 f−1(C) 的定義, 我們知道 f−1(C) 是定義域 X 的 subset. 這個 inverse image 的定義已充分 描繪其元素, 所以我們可以直接利用這個定義處理 inverse image 的性質.
利用函數的 image 以及 inverse image 我們得到以下有關連續性的另一寫法.
Proposition 1.1.2. 考慮函數 f :R → R 且設 a ∈ R. 以下敘述是等價的.
(1) f is a continuous function at a (2) ∀ ϵ > 0, ∃ δ > 0 使得 f(
(a− δ, a + δ))
⊆ ( f (a) − ϵ, f (a) + ϵ).
(3) ∀ ϵ > 0, ∃ δ > 0 使得 (a − δ, a + δ) ⊆ f−1(
( f (a)− ϵ, f (a) + ϵ)) .
Question 1.1. 試證明 Proposition 1.1.2. (你看得出來 (2)⇔ (3) 嗎?)
對任意兩相異實數 r, s, 若 r < s, 我們稱集合 (r, s) = {x ∈ R | r < x < s} 為一個 open interval (開區間). 所以 (a− δ, a + δ) 就可以說是一個包含 a 的 open interval, 而 ( f (a)− ϵ, f (a) + ϵ) 就是一個包含 f (a) 的 open interval. 不過要注意 Proposition 1.1.2 (2) 看起來是說一個包含 a 的 open interval 皆可經由 f 傳送到一個包含 f (a) 的 open interval.
不過事實並非如此, 因為在 Proposition 1.1.2 (2) 中, 我們事先任取ϵ 再由這個 ϵ 找出 δ, 這 個順序很重要. 也就是說 ϵ 是關於對應域中一個包含 f (a) 的 open interval, 而 δ 是關於 對應域中一個包含 a 的 open interval. 我們是要先在對應域中任取一個包含 f (a) 的 open interval ( f (a)− ϵ, f (a) + ϵ), 再由它找到定義域中一個包含 a 的 open interval (a − δ, a + δ) 使得 f(
(a− δ, a + δ))
⊆ ( f (a) − ϵ, f (a) + ϵ). 這裡弄清楚了, 我們就可得到以下的結論.
Corollary 1.1.3. 考慮函數 f :R → R 且設 a ∈ R. 以下敘述是等價的.
(1) f is a continuous function at a.
(2) 任取一個包含 f (a) 的 open interval I 皆可找到一個包含 a 的 open interval J 使 得 f (J)⊆ I.
(3) 任取一個包含 f (a) 的 open interval I 皆可找到一個包含 a 的 open interval J 使 得 J ⊆ f−1(I).
Proof. 我們將證明 (1)⇔ (3), 其他的證明就當作習題囉!
(1) ⇒ (3): 假設 f is a continuous function at a. 任取一個包含 f (a) 的 open interval I = (r, s), 由於 f (a) ∈ I, 故 r < f (a) < s. 此時令 ϵ = min{ f (a) − r, s − f (a)}. 由 Proposition 1.1.2 ((1) ⇒ (3)) 知存在 δ > 0 使得 (a − δ, a + δ) ⊆ f−1(
( f (a)− ϵ, f (a) + ϵ))
. 故若令 J = (a− δ, a + δ), 則 J 是一個包含 a 的 open interval 且滿足
J⊆ f−1(
( f (a)− ϵ, f (a) + ϵ))
⊆ f−1(I).
(3)⇒ (1): 我們要證明 Proposition 1.1.2 (3) 成立. 現任取 ϵ > 0, 由於 I = ( f (a)−ϵ, f (a)+ϵ) 是一個包含 f (a) 的 open interval, 故由假設知可找到一個包含 a 的 open interval J = (r, s) 使得 J⊆ f−1(I). 由於 r< a < s, 若令 δ = min{a − r, s − a}, 則可得 δ > 0 且滿足
(a− δ, a + δ) ⊆ J ⊆ f−1(I) = f−1(
( f (a)− ϵ, f (a) + ϵ)) .
Question 1.2. 試利用上面的證明方法證明 Corollary 1.1.3 (1)⇔ (2).
觀察 Proposition 1.1.2 和 Corollary 1.1.3, 其實我們是用到了關於 open interval 一個重 要的特點. 也就是說任取一個包含 a 的 open interval I = (r, s) 我們都可找到一個 γ > 0 使得 (a− γ, a + γ) ⊆ I (令 γ = min{a − r, s − a} 即可). 其實這樣的特點並不是只有 (r, s) 這樣的 open interval 才有. 例如 (2, ∞) = {x ∈ R | x > 2}, (−∞, 2) = {x ∈ R | x < 2} 以及 (−2, 1) ∪ (3, 5) 這些集合都有這樣的性質. 因此我們有以下的定義.
Definition 1.1.4. 假設 S ⊆ R 滿足對所有 a ∈ S 皆存在 γ > 0 使得 (a − γ, a + γ) ⊆ S , 則 稱 S 為一個 open set. 又若 a∈ R 且 S ⊆ R 是一個包含 a 的 open set, 則稱 S 為 a 的一個 open neighborhood.
依照定義R 本身是 open set. 另外空集合 ∅ 也是 open set. 這是因為 ∅ 不包含任何元 素, 所以邏輯上並未違背 open set 的定義. 定 ∅ 為 open set, 不僅在邏輯上是正確的, 它也 使得 open set 在取交集之下能保持封閉性. 這點以後我們會再談到.
很容易看出, 前面所提 (2, ∞), (−∞, 2) 以及 (−2, 1) ∪ (3, 5) 這些集合都是 open set. 事實 上我們有以下之性質.
Proposition 1.1.5. 假設 {Si, i ∈ I} 是以 I 為 index set 的 indexed family 其中每個 Si ⊆ R 為 open set. 則∪
i∈I
Si 亦為 open set.
Proof. 任取 a∈∪
i∈I
Si, 由於存在 k ∈ I 使得 a ∈ Sk 且 Sk 是 open set, 我們可以找到 γ > 0 使得 (a− γ, a + γ) ⊆ Sk. 故得 (a− γ, a + γ) ⊆ Sk ⊆∪
i∈I
Si.
注意 Proposition 1.1.5 中的 index set I 並無任何限制, 也就是說不管是有限多個或 無限多個 open set, 它們的聯集依然是 open set. 甚至不可數多個 open set 的聯集也會
是 open set. 不過這在取交集時就不對了. 例如考慮 index set 為 N, 對所有 n ∈ N 令 Sn = (−1/n, 1/n), 此時 Sn 皆為 open set, 但是∩
n∈N
Sn ={0}, 不是 open set.
Question 1.3. 你能說明 ∩
n∈N
(−1/n, 1/n) = {0} 且不是 open set 嗎?
事實上只有在有限多個 open sets 取交集時可以確認一定會是 open set. 我們有以下的 結果.
Proposition 1.1.6. 假設 S1, . . . , Sn 為 R 的 open set, 則 ∩
1≤i≤n
Si 亦為 open set.
Proof. 任取 a∈ ∩
1≤i≤n
Si, 由於對任意 i∈ {1, . . . , n}, a ∈ Si 且 Si 為 open set, 故存在 γi > 0 使得 (a− γi, a + γi) ⊆ Si. 令 γ = min{γ1, . . . , γn}, 我們有 γ > 0 且對所有 i ∈ {1, . . . , n}, (a− γ, a + γ) ⊆ (a − γi, a + γi)⊆ Si. 故得證 (a− γ, a + γ) ⊆ ∩
1≤i≤n
Si.
或許你會問在上面的證明裡, 如果找不到 a ∈ ∩
1≤i≤n
Si, 亦即 ∩
1≤i≤n
Si =∅ 怎麼辦? 其實 若是找不到 a 前提無法成立, 所以這個論述在邏輯上是成立的. 事實上這也是我們定∅ 為 open set 的原因.
Question 1.4. 任意多個 a 的 open neighborhoods 的聯集仍是 a 的 open neighborhood 嗎? 任意多個 a 的 open neighborhoods 的交集仍是 a 的 open neighborhood 嗎?
由 open set 的概念, 我們馬上可以利用 Proposition 1.1.3 同樣的方法將 Proposition 1.1.2 改寫成以下形式.
Corollary 1.1.7. 考慮函數 f :R → R 且設 a ∈ R. 以下敘述是等價的.
(1) f is a continuous function at a.
(2) 任取一個 f (a) 的 open neighborhood U 皆可找到一個 a 的 open neighborhood V 使得 f (V)⊆ U.
(3) 任取一個 f (a) 的 open neighborhood U 皆可找到一個 a 的 open neighborhood V 使得 V ⊆ f−1(U).
Question 1.5. 試證明 Corollary 1.1.7.
接下來, 我們來探討在整個實數上的連續函數. 若 f :R → R 是連續函數, 依定義這就表 示 f 必須在每一個實數上的點皆連續. 所以對於任意 a∈ R, 由 Corollary 1.1.7 我們知, 必 須要在 f (a) 上任取一個 open neighborhood U 皆可找到一個 a 的 open neighborhood V 使 得 f (V)⊆ U. 不過現在問題來了, 由於 f 並不一定是 one-to-one, 有可能存在 b ∈ R 且 b , a 使得 f (b) = f (a), 也就是說我們不只要找到 a 的一個 open neighborhood 滿足要求, 也要找 到 b 的一個 open neighborhood V′ 使得 f (V′)⊆ U. 事實上這個動作是對任何 f−1({ f (a)}) 上的元素都要檢查的, 因此我們直接考慮 inverse image 比較方便. 我們有以下重要的結果.
Theorem 1.1.8. 考慮函數 f : R → R. 則 f is a continuous function 若且唯若對任意 opens set U ⊆ R 皆使得 f−1(U) 是一個 open set.
Proof. 首先假設 f 是連續函數, 任取一 open set U, 我們要證明 f−1(U) 是 open set. 依 定義就是要證明對任意 x ∈ f−1(U), 皆可找到 γ > 0 使得 (x − γ, x + γ) ⊆ f−1(U). 現由於 x∈ f−1(U), 亦即 f (x)∈ U, 故由 U 是 open 的假設知存在 ϵ > 0 使得 ( f (x)−ϵ, f (x)+ϵ) ⊆ U.
由假設知 f is continuous at x, 故利用 Corollary 1.1.2 我們知存在δ > 0 使得 (x− δ, x + δ) ⊆ f−1(
( f (x)− ϵ, f (x) + ϵ))
⊆ f−1(U).
因此令γ = δ 即得所求.
反之, 假設對任意 opens set U ⊆ R, f−1(U) 是一個 open set, 我們要證明 f 是連續 函數, 即對於任意 x ∈ R 我們要說明 f is continuous at x. 這次我們可以利用 Corollary 1.1.7 來處理. 也就是說任取一個 f (x) 的 open neighborhood U 我們要找到一個 x 的 open neighborhood V 使得 V ⊆ f−1(U). 然而 U 是 open set, 故由假設知 f−1(U) 是一個 open set, 又因為 x ∈ f−1(U) (因 f (x) ∈ U), 故 f−1(U) 是 x 的一個 open neighborhood. 因此令
V = f−1(U) 即為所求.
Question 1.6. 考慮函數 f : R → R. 則 f is a continuous function 是否等價於對任意的 opens set U ⊆ R 皆會使得 f (U) 是一個 open set 呢?
我們可以利用 Theorem 1.1.8 證明 identity map id :R → R 是連續的. 因為任取 R 的 open set U, 我們有 f−1(U) = U 當然是 open set. Theorem 1.1.8 並沒有簡化我們處理一 些實數上特定的函數是否連續的問題, 不過如果沒有牽涉上實數的加減乘除運算問題, 它 有時相當有用. 例如大家熟悉的兩個連續函數的合成仍為連續函數, 就可以很輕鬆的利用 Theorem 1.1.8 證明. 不過要證明兩個連續函數相加仍為連續函數, 那麼 Theorem 1.1.8 就 可能派不上用場了. Theorem 1.1.8 的重要性, 並不在於提供對於連續函數抽象的證明方法, 而是它讓我們了解到, 我們可以推廣這個概念到任意的集合. 一個集合即使沒有加減乘除的 運算, 不過只要在上面給予何謂 open set 的概念, 我們就可以探討它上面的連續函數. 這就 是我們以後要探討的課題.
Question 1.7. 試利用 Theorem 1.1.8 證明常數函數是連續函數以及兩個連續函數的合成 仍為連續函數.
為了以後方便介紹其他的拓樸概念, 最後我們介紹何謂 closed set.
Definition 1.1.9. 假設 S ⊆ R, 如果 S 的補集 Sc =R \ S 是 open set, 則我們稱 S 是 closed set.
例如大家熟悉的閉區間 [−1, 3], 由於它的補集是 (−∞, −1) ∪ (3, ∞) 是 open, 故 [−1, 3] 是 closed set. 這裡要提醒大家, 很多同學以為 closed set 是 open set 的相反, 而誤以為一個集 合若不是 open set 則必是 closed set. 這是錯誤的概念. 事實上 [−1, 3) 就既不是 open 也不
是 closed. 而依定義 R 和 ∅ 就又是 open 也是 closed. 總而言之, 要證明一個集合是 closed, 我們必須依定義證明其補集是 open set 即可.
Question 1.8. 整數所成的集合Z 是否為 closed set?
Question 1.9. 假設 {Si, i ∈ I} 是以 I 為 index set 的 indexed family 其中每個 Si ⊆ R 是 closed set.
(1) 證明∩
i∈I
Si 為 closed set.
(2) 證明當 I 是一個 finite set 時,∪
i∈I
Si 為 closed set.
———————————– 15 September, 2017
