“ 一般折線 ” 研究綜述
楊世明 · 張忠輔∗
“一般折線”是 80 年代末開發的四類新 的數學研究課題 (映射數列、 數陣、 絕對值 方程和一般折線) 之一。 事實上, 我國數學家 傅種孫先生 (曾任北京師範大學副校長、 教 務長), 早在 50 年代就對正星形折線進行了 研究
[1]
, 以後又有對箏形、 蝶形性質的研究。1991 年, 楊之提出一般折線研究的課題
[2]
。 由於現代科學的發展, 一方面提出了整 體把握和深入認識“一般折線”的要求, 另一 方面, 科學哲學又使人們確信並動手探索混 亂中的有序 (概率論、 模糊數學、 混沌學說和 分形幾何都是這方面的範例), 組合學與拓樸 學的研究, 則為之提供了必要的工具。 “一般 折線”課題經悠悠十年的“勘探開發”, 就取得 了豐碩的成果, 而且業已探明, 它乃是不斷出 思想、 出方法、 出課題、 出成果的富礦。1. 折線特徵性質的發現
平面上若干條線段順次首尾相接 (每條 線段最多同另外兩條連接, 且端點不在線段 內部), 所構成的圖形, 稱為平面折線 (簡稱折 線), 如附圖 1, 其中線段稱為折線的邊, 線段
的端點稱為頂點。 同一邊上的頂點稱為相鄰 頂點, 同一頂點引出的邊稱為鄰邊。 如果一條 折線每條邊都有兩條鄰邊, 就叫做閉折線 (如 圖 1 中之 (b)(d)), 否則叫做開折線 (如圖 1 中 (a)(c))。
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...
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...
A 1
A 2
A 3 A 4
A 5 A 6
A 1
A 2
A 3 A 4 A 5 A 6 A 7
(a) (b)
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... ...
A
...1
... ...A 2 A 3 A 4 A 5
A 6
A 7 A 1 A 2
A 3
A 4 A 5 A 6
(c) (d)
圖1. 平面折線
顯然, n 邊閉折線有 n 個頂點。 這樣, 就可以對折線進行初步的分類, 並對幾個常 用概念做出明確的界定: 邊不相交的折線稱 為簡單折線 (如圖 1 中 (a)(b)), 簡單閉折線 叫做多邊形 (如圖1中 (b))。 多邊形劃分平面
50
為兩部分, 其中的有限部分叫做內部, 無限部 分叫做外部。 應用歸納法可以證明: n 邊形 內部可用不相交對角線劃分為以其頂點為頂 點的互不重疊的 (n − 2) 個三角形, 從而可 直接推出內角和定理。
文獻
[3]
進一步提出如下課題, 作為“問 題或猜想 21”:1) 折線整體性質的研究: 拓樸與其他結 構特徵; 組合計數問題; 折線複雜性指標; 折 線的拼合與分折問題; 有關度量性質的研究 等。
2) 特殊折線如直角折線、 等角或等邊折 線、 平行多邊閉折線的研究, 具有某種特徵的 折線的折線 (短程折線、 遍歷折線) 的存在和 構造問題。
3) 圓與凸多邊形內接折線 (如星形) 的 研究。
為了弄清折線的特徵性質, 我們不妨仔 細觀察一條折線 (圖 2 所示的折線) A
1
A2
· · · A
9
。 看它的邊 A1
A2
, A2
A3
, A3
A4
和 A4
A5
, 其鄰邊的折向有不同的情況 (如圖 3 所示): A1
A2
的兩鄰邊 A1
A9
和 A2
A3
折向 異側 (A2
A3
之兩鄰邊亦復如此), 而 A3
A4
的 兩條鄰邊 A2
A3
與 A4
A5
折向同測。 兩鄰邊 折向同側的邊叫做單折邊, 折向異側的邊叫 做雙折邊 (如圖3(c) 的 A3
A4
是單折邊; 圖 3(a) 的 A1
A2
是雙折邊)。 在圖 3(a) 與 (b) 中同為雙折邊的 A1
A2
和 A2
A3
, 又有不同 的情況: 如沿 A1
A2
的鄰邊 A1
A9
和 A2
A3
方向, 各加上一個力, 則 A
1
A2
會向右 (逆時 針) 旋轉, 因此, 這樣的邊稱為右旋邊, 類似的 理由稱 A2
A3
那樣的邊為左旋邊。 這種由於在頂點處的拐折而形成的邊的折性, 確是折 線的特徵性質。 這由如下兩條定理即可知曉:
...
.. . .. .. .. . .. .. .. .. .. .. . ..
...
A 1
A 2
A 3 A 4
A 5
A 6 A 7
A 8 A 9
圖
2
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A 9 A 1
A 2 A 3
A 1 A 2
A 3 A 4 A 3
A 4
A 5
A 4
圖
3
定理1: (特徵性質) 閉折線若有雙折邊, 則必有偶數條; 左、 右旋邊各半且相間排列。
我們用“雙標號”法加以證明。
把閉折線 A
1
A2
· · · An
的邊 Ai
Ai+1
(i = 1, 2, . . . , n, An+1
即為 A1
, 下同) 這 樣標號: 如 Ai
為 Ai
Ai+1
的左折點 (即當 沿該邊由 Ai+1
走向 Ai
, 過 Ai
走向鄰邊 時向左拐), 在該邊的 Ai
處標“一”號, 否則 標“十”號 (如圖 4)。 那麼容易看到:(1) 每個頂點處的兩邊上標號相反;
(2) 單折邊兩端標號相反, 雙折邊兩端標號相 同, 其中, 雙減號邊 (−, −) 為左旋邊, 雙 加號邊 (+, +) 為右旋邊。
...
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... ... .
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A 1
.A 2
A 3 A 4
A 5
A 6 A i
A i +1
A i +2 A n−1 A n
+ −
− +
+
−
−
+
+
−
+ −
+
−
−
+ +
−
− +
+
− +
− +
−
圖
4
記 a
i
= Ai
Ai+1
(i = 1, 2, . . . , n), 並 設閉折線有雙折邊, 如果它們僅有一條, 不妨 設為 a1
且 a1
= (+, +) (讀作 “a1
是雙加號 邊, 下同), 則由標號規則及上述的 (1), (2), 閉折線 A1
A2
· · · An
各邊標號依次應為a
1
= (+, +), a2
= (−, +), . . . , an−1
= (−, +), an
= (−, +)但 a
1
= A1
A2
, an
= An
A1
, 可見在頂點 A1
處標了兩個“+”, 這與上述的 (1) 矛盾, 因此, A1
A2
· · · An
至少有兩條雙折邊。考慮兩條“相鄰”雙折邊 a
i
, aj
(i < j):它們之間的邊 a
i+1
, . . . , aj−1
都是單折邊。如果 a
i
= (+, +)。 則按標號規則及上述 (1)(2), 有a
i+1
= (−, +), ai+2
= (−, +), . . . , aj−1
= (−, +)因此 a
j
= (−, −); 如果 ai
= (−, −), 則類 似可知 aj
= (+, +)。 這就證明了“左右旋邊 相間排列”的結論。現在依次考慮 a
1
, a2
, . . . , an
, 設碰到 的第一條雙折邊為 ai
1, 第二條為 ai
2, . . . , 最後一條為 a
i
k (1 ≤ i1
< i2
< · · · < ik
≤ n)。 按上面所證明的, ai
1, ai
2, . . . , ai
k 的標 號是 (+, +)、(−, −) 相間, 從而 ai
1 與 ai
k異號 (因為 a
i
k 與 ai
1 是相鄰的雙折邊), 因 此, k 為偶數, 這就證明了我們的結論。由於有相交邊的閉折線無法區分內外 部, 因此一般也沒有“內角”概念。 但可以考慮 頂角: 在頂點處的劣角 (小於平角的角)。 有 文獻說: “由於每個非簡單多邊形 (即閉折線) 的頂角和總可化為一個或幾個凸多邊形的頂 角和, 因此, 總可 · · · 得到”。 事實並非如 此, 而且一般地有
定理2: 如果閉折線有雙折邊, 則頂角和 不定。
證明: 設 A
1
A2
是折線 A1
A2
· · · An
的一條雙折邊 (如圖 5), 由於
∠
An
A1
A′ 2
<∠
An
A1
A2
<∠
An
A1
A′′ 2
;∠
A′ 2
<∠
A1
A2
A3
<
∠
A1
A′′ 2
A3
。 所以閉折線 A1
A′ 2
A3
· · · An
頂角和 < A
1
A2
A3
· · · An
頂角和 <A
1
A′′ 2
A3
· · · An
頂角和。 可見, A1
A2
· An
的頂角和是不定的。
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A 1
A 2
A 3 A 4
A n A ′
2
A ′′
2
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圖
5
這兩條定理有一系列重要推論, 如奇數 條邊的閉折線至少有一條單折邊; 多邊形為 凸多邊形的充要條件是無雙折邊等等。 且可 一眼看出若干折線的結構特徵, 如圖 6 所示:
(1) 是回形折線, 無雙折邊, (2) 是齒形折線:
單雙折邊相間; (3) 是階形 (開) 折線: 無單 折邊, 而圖 7 畫的閉折線 (a) 是五邊回式星 形, 由單折邊構成, 頂角和為 180
◦
; (b) 是十 邊階式星形, 由雙折邊構成, 頂角和不定。...
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(1)
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(2)
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(3) 圖6
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... ... ...
(a) (b)
圖
7
2. “ 複雜性指標”的探索
當我們說一條 n 邊折線Z
n
“很複雜”的 時候, 我們指的是甚麼呢? 或者說, 我們用 甚麼指標來描述 Zn
的複雜程度呢? 經十餘 年的探索, 我們初步地找到了三個指標: 描述 邊的轉折情況的雙折數、 描述邊間交織情況 的自交數和自相纏繞情況的環數。 以下用 Zn
表示 n 邊閉折線。
(1) Z
n
的雙折邊數 S(n) 叫做它的雙 折數, 以 S0
(n) 表示 S(n) 的最大值。 由 於凸多邊形、 回式星形折線等無雙折邊, 所 以 S(n) = 0, 而階式星形無單折邊, 故 S(n) = n, 因此 0 ≤ S(n) ≤ n, 更具體 地, 關於 S0
(n) 我們有S
0
(n) =
0, n = 3 2, n = 4
n − 1 , n ≥ 5 為奇數 n , n ≥ 6 為偶數
... ..
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...
...
n為偶數 n為奇數
圖8
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n = 5 n = 6 圖9
其中, 圖 7 分別畫出了 n 為奇數和偶數 時 S(n) 達到最大的 Z
n
, 圖 9 是 n = 5 與 n = 6 兩種特殊的 Zn
, 則當 n ≥ 5 時, 可 統一地寫成 S0 (n)
= n −1 2
[1 + (−1)n−1
]。 那 麼, 有如下兩個問題值得深入研究:第一. 設 k 是偶數, 且 0 ≤ k ≤ S
0
(n), 是 否存在閉折線 Zn
, 使其 S(n) = k?第二. 按單雙折邊不同個數及不同排列, Z
n
可分成多少類? 特別地, 設 n 邊形 B
n
有 L
(n)
類, 則 L(n) =?對第一問題的回答是肯定的。
定理3: 對任意偶數 k ∈ [0, S
0
(n)], 存 在閉折線 Zn
, 使其 S(n) = k。略證如下: 設 Z
n
= A1
A2
· · · An
為 凸 n 邊形, (如圖 10), 則 S(n) = 10, 知對 k = 0, 結論正確。 現在依次把頂點 A2
, A4
, . . . , An
(n 為偶數) 或 An−1
(n 為 奇數) 移到對角線 A1
A3
, A3
A5
, . . . , An
A1
(n 為偶數) 或 A
n−2
An
(n 為奇數) 內側的 A′ 2
, A′ 4
, . . . , A′ n
或 A′ n−1
。 所得 折線 A1
A′ 2
A3
· · · An
, A1
A′ 2
A3
A′ 4
A5
· · · An
, . . . , A1
A′ 2
A3
A′ 4
, · · · , An−1
A′ n
(n 為 偶) 或 A1
A′ 2
A3
A′ 4
· · · An
2A′ n−1
An
(n 為奇 數) 的雙折數即分別為 k = 2, 4, . . . , n (n 為偶數) 或 n − 1 (n 為奇數) (即每移一個頂 點 Ak
到對角線 Ak−1
Ak+1
內側的 A′ k
, 就 增加以 A′ k
為共同端點的雙折邊), 證畢。... .
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A 1
A 2
A 3
A 4
A 5 A 6
A ′
4
A ′ 6 A ′
• 2
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A 1
A 2
A 3
A 4
A 5 A 6 A 7
A ′
4
A ′ 6 A ′ 2
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... ... ... ... ... ... ...
圖
10
第二問題的後一半, 就是多邊形的分類 問題。 觀察圖 11 所示的 3-7 邊形, 可以得到 若干資料。 圖中的 d 表示單折邊, s 表雙折 邊, 而一個 n 邊形唯一對應著 2m 個 s 和 k = n − 2m 個 d 組成的環形排列, 因此 L(n) 就等於這種排列的個數。
由圖 11 中看到 L(3) = 1, L(4) = 2, L(5) = 4, L(6) = 8, L(7) = 9。 可見, 只 能作出 L(n) 遞增的猜想。 因此, 第二個問題 離解決尚遠。
(2)Z
n
的邊與邊之間交點個數 θ(n) (頂 點不計, k 條邊交點算 Ck 2
個) 叫做 Zn
的自 交數, 記 θ0
(n) = max θ(n), 則我們已證得θ
0
(n) =
n(n−3)
2
n ≥ 3 為奇數n(n−4)+2
2
n ≥ 4 為偶數=n
2
−3n 2 −14[(−1)
n
+ 1](n − 2) (n ≥ 3) 於是有 0 ≤ 0(n) ≤ θ0
(n); 而多邊形的 θ(n) = 0, 證明上述公式時構造的閉折線使 其 θ(n) = θ0
(n)。 那麼有如下兩個問題:第一. 是否對任何整數 k ∈ (0, θ
0
(n)), 都存 在 Zn
使其 θ(n) = k?第二. 對符合條件的 k : 0 ≤ k ≤ θ
0
(n), 使 得 θ(n) = k 的 Zn
怎樣分類? 共有 多少類?ddd dddd dssd ddddd sddds dsdsd ssdss
n = 3 n = 4 n = 5
dddddd ddssdd dddsds ddsdds dssdss ssddss dsdsss ssssss
m = 0 m = 1 m = 2 m = 3
n = 6
ddddddd sddddds ddsdsdd dsdddsd ssdddss ddsdsss dssdssd sdsdsds sssdsss
m = 0 m = 1 m = 2 m = 3
n = 7
圖
11
n = 5
n = 7
圖
12
通過實際構圖不難知道, 當 n = 3, 4, 6, 8 時, 第一問題的回答是肯定的。 現在, 我 們來看看 n = 5 和 n = 7 的情形 (如圖 12)(圖下面標的是該折線的自交數)。首先, 我們看到若干演化的規律, 使得
具有某一自交數 k 的 Z
n
如果存在, 則具有 另一自交數 k ± 2 的圖形 Zn ′
也存在。 比 如, 上述 θ(5) = 3 的 Z5
存在, 如 A 越過 BC 邊, 則五角星 Z5 ′
, 使 θ(5) = 5。 又如 將 θ(7) = 12 的 Z7
中的 F 點穿過 DE邊, 即得 Z
7 ′
使 θ(7) = 14 等等。 但無論如 何, 演化不出使 θ(5) = 4 和 θ(7) = 13 的 閉折線 Z5
和 Z7
。 我們猜想: 不存在自交數 為 4 的五邊閉折線和自交數為 13 的 7 邊閉折 線。 怎樣證明? 對於哪些 n, 存在著相應的 k ∈ (0, θ0 (n)
), 使得 θ(n) = k 的 Zn
不存在?在圖 13中, 畫出了 Z
n
和 Zn
的三種聯 接方式, 從而有Z
m
Z
n
圖13
定理4: 若存在 Z
m
, Zn
使 θ(m) = k, θ(n) = ℓ, 則存在 Zm+n
, 使 θ(m + n) = k + l, k + l + 1 及 k + l + 2。(3) 我們知道, 沿著 Z
n
的邊行走有兩個 方向, 當我們按一個方向沿周界走遍 Zn
時, 我們實際上圍繞某個中心轉過了 H(n) 圈, 那麼 H(n) 就叫做 Zn
的環數。 計算方法是 (以圖 14 所示的 Z5
為例):1. 給折線選一個環繞方向: A
1
→ A2
→· · · → A
5
→ A1
;2. 在平面上任選一點 O, 作 O;
3. 作向量−−→
OB
i
= ki
−−−→A
i
Ai+1
(ki
> 0, i = 1, 2, . . . , 5, A6
即為 A1
) 交 O 於 Bi
, 則−−−→A
i
Ai+1
即對應於 Bi
; 4. 於是由 A1
(−−→A
5
A1
方向) 出發, 依次走過 A2
, A3
, A4
, A5
, 再回到 A1
, 共轉了 5 次 彎 (轉角依次為 α1
, α2
, . . . , α5
, 稱為折 角)。α 5 A 5 A 1
α 1
α 4 α 3
A 3 A 4
α 2 A 2 B 2
B 4
α 5 α 4 α 3
B 3 α 2
α 1
B 5
B 1
圖
14
這時, 轉過的週數就相當於由 B
5
出發 依次經 B1
、B2
、B3
、B4
再回到 B5
時, 繞 O 點轉過的圈數, 如角度 (以弧度為單位) 選定 逆時針為正, 順時針為負, 則易見折線 Zn
的 環數H(n) = 1 2π|
n
X
i=1
α
i
|命 h(n) = min H(n), H
0
(n) = max H(n), 則由圖 15(因三角形外角和為 2π) 易知h(n) =
1, n = 3 0, n ≥ 4。
對 H
0
(n), 有如下資料:n 3 4 5 6 7 8 9 10 · · · H
0
(n) 1 1 2 2 3 3 4 4 · · ·α 3 A 3
A 1 α 2
A 2 α 1
n = 3
3
X
i =1
α i = 2π
α 3 A 4
A 3 α 4
A 1 α 2
α 1 A 2
n = 4
4
X
i =1
α i = 0
α 3 A 4
A 3 α 4
A 5 α 5
α 2 A 1
A 2 α 1
n = 5
5
X
i =1
α i = 0
圖
15
於是猜想有
定理5: n 邊折線 Z
n
的最大環數 H0
(n) = [n − 12 ] =n
2−3+(−1)
n
4 (n ≥ 3) 略證: 按“折角”定義, −π < α
i
< π, H(n) 要盡可能大, αi
就要同號 (Zn
為單折邊), 因而不妨取 0 < α
i
< π, 0 <P n
i=1
αi
< nπ, 就是 0 < H(n) = 12π
n
X
i=1
α
i
< nπ 2π = n2
∴
H0
(n) < n 2另一方面, 文獻 [3]中證明了 n 邊 c = H(n) 環單折邊閉折線頂角和 σ(n, c) = (n − 2c)π, 由於 m 階 n 邊星形 (即每個頂角內含 m(0 ≤ m ≤ n−3) 個頂點的 n 邊星形), 知 其頂角和 σ(n, c) = (m + 1)π, 當 n 為奇數 時, 星形最小階數 m = 0, 這時 c = H(n) 達到最大 H
0
(n), 就是(0 + 1)π = (n − 2H
0
(w)π,∴
H0
(n) = n 2 −12 (n 為奇數) n 為偶數時 n−1 為奇數, 考慮 (n−1) 邊回 式星形 (截去一頂角即為 n 邊“准”星形, 環 數不數), 按上述討論得
H
0
(n) = n − 1 2 −12 (n 為偶數) 綜合 n 的奇、 偶兩種情形, 即得欲證。
那麼, 類似的問題是: 對任一整數 k ∈ [h(n), H
0
(n)], 是否存在 Zn
, 使 H(n) = k?回答是肯定的。
定理6: 對自然數 n ≥ 3 和任一整數 k : h(n) ≤ k ≤ H
0
(n), 存在閉折線 Zn
, 使 得 H(n) = k。引理: 若存在 Z
n
, 使 H(n) = k, 則對 任何 m ∈ N, 有 Zn+m
使 H(n + m) = k。證: 按圖 16 的方法, 在 Z
n
的 P 處 把它“打開”, 接上一個 m 邊的開折線即得 Zn+m
, 其環數未變。Zn ⇒ Zn
+m
P′(Am+1) P (A1)
Am A2
P
圖16
定理6 的證明: 設整數 k : h(n) ≤ k ≤ H
0
(n), 現取整數 p ≤ H0
(n), 使得k = p
2− 3 + (−1)
p
4 則由定理 5 知, 存在 Zp
, 使得H(p) = p
2− 3 + (−1)
p
4 = k 取 t = n − p, 由引理即知存在 Zn
= Zp+t
, 使 H(n) = H(p + t) = k。這樣一來, 如果一條折線 Z
n
定下來了, 那麼它的雙折數 S(n), 自交數 θ(n) 和環數 H(n) 也就定下來了, 而文獻 [3]曾提出:問題或猜想22: 應進一步探索“自交 數”和單、 雙折邊特性在折線結構上的作用, 能否依此對折線進行一般的分類?
問題或猜想23: 折線還有甚麼結構特 徵? 現在, 作為補充, 我們可以更具體地提 出:
第一. 對於同一條折線 Z
n
來說, S(n), θ(n), H(n) 之間有何關係?第二. 對整數 k, l, m 滿足 k ∈ [0, S
0
(n)], l ∈ [0, θ0
(n)], m ∈ [h(n), H0
(n)], 是否存在 Zn
, 使得 S(n) = k, θ(n) = l, H(n) = m? 若存在 Zn
, 它是否唯一? 在什麼條件下是存在且 唯一的?3. 星形折線研究
除了對折線的一般性質進行探索外, 還 應選取若干類型的特殊折線進行深入研究, 首先被選中的是星形。
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(1) n = 5, c = 2 (2) n = 6, c = 2
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(3) n = 7, c = 2 (4) n = 7, c = 2
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(5) n = 8, c = 2 (6) n = 8, c = 3 圖17
1951 年, 傅種孫在 [1]中研究了正星形 (圖 17) 將圓 n 等分, 作成圖的內接 n 邊 星形, 每邊跨 c 段弧, c 叫邊幅 (不難證明, 0 < c <
n 2
時, c 正好是環數 H(n))。 [1]證 明了: 正 n 角星共有 Za|n
ϕ(a) 個 (ϕ(a) 為 Euler 函數, 表示小於 a 且與 a 互質的數的 個數), 若 n = pα 1
1· · · pα λ
2 (質因數分解式), 則 n 角星共分為 F (n) =Q λ i=1
(αi
+ 1) 類, 其中在 n/a = b 支的一類中, 共有 ϕ(a) 個。例如當 n = 7 時, 獨支的 ϕ(7) = 6 個, 邊幅 c 從 1 到 6 的各 1 個, 但 c = 1 與 c = 6 的相同, c = 2 與 c = 5 的相同, c = 3 與 c = 4 的相同, 故只有 3 個 (c = 1 的是正 7 邊形, 圖 17 中畫出了c = 2, 3兩種情形, 7 支 的 (與 c = 0 的相同) 退化成 7個點。
又如當 n = 6 時有 c = 2 的 2 星形 (如圖 17 中的 (2))。 另外, 星形的頂角為等弦 構成的圓週角, 如弦跨 c 段弧 (以下總認為 0 < c <
n 2
), 則頂角對 d = n − 2c 段弧, d 就是角幅, 則正 n 角星每個頂角為 dπ/n, 於 是邊幅為 c 的正 n 角星頂角和為D
c
= n · dπn = (n − 2c)π (0 < c < n 2)。
我們著重研究“獨支星形”即素星形(二 支以上的叫做合星形)。 邊幅為 c 的 n 邊素 星形存在的充要條件是 (c, n) = 1, 其個數 為 K
n
= ϕ(n)/2。一般星形由凸n邊形的邊或“同類的”對 角線生成。 如圖 18 所示的凸 7 邊形所生成的 星形共有三個: 4 階 7 邊星形 A
1
A2
· · · A7
(即凸 7 邊形本身, 它每個頂角內含 4 個頂點 (如∠
A1
, 中含 A3
, A4
, A5
, A6
等), 故謂 4階), 2 階 7 邊星形 A
1
A3
A5
A7
A2
A4
A6
(點 劃線畫出), 其每個頂角內含 2個頂點和 0階7 邊星形 A1
A4
A7
A3
A6
A2
A5
。 如前所述, 我 們把每個頂角內含 m(0 ≤ m ≤ n − 3) 個 頂點的 n 邊星形稱為 m 階 n 邊星形。(“同 類的”對角線是指“相隔頂點一樣多”的對角 線。) 我們有...
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A
1
A
2
A
3
A4
A
5
A
6
A
7
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圖18
定理7: m 階 n 邊 (0 ≤ m ≤ n − 3) 星形的環數
H(n) = n − m − 1 2
證明: 頂角內含 m 個頂點, 就含有 (m + 1) 條凸n邊形的邊, 那麼在這頂角的每 條邊 (即生成星形的對角線) 之外, 就有 (圖
19)
n−(m+1) 2
條凸多邊形的邊, 因此, 遍歷這m 階 n 邊星形的各邊一次, 也就相當於遍歷 凸n 邊形各邊
n−m−1 2
次,∴
H(n) = n − m + 1 2A 8 A 7
A 1 A 6
A 5
n−(m+1)
2 A 4
條邊
A 2 A 3 m + 1
條邊m
個頂點
圖19
定理8: m 階 n 邊星形的頂角和 D(n, m) = (m + 1)π
證明: 在第 2 節的 (3) 中給出的環數公 式是 H(n) =
2π 1
|P n i=1
αi
|, 由於我們這裡星 形的邊都是單折邊 (稱為單折邊星形或回式 星形), 因此它的頂角的外角的符號相同, 不 妨設為正, 又記相應頂角為 Ai
, 則 Ai
+αi
= π, 於是H(n) = 1 2π|
n
X
i=1
α
i
| = 1 2πn
X
i=1
α
i
= 1 2π
n
X
i=1
(π − A
i
)= 1
2π(nπ − D(n, m))
∴
D(n, m) = [n − 2H(n)]π 又由定理 7, H(n) = (n − m − 1)/2, 代入 上式即得欲證。D(n, m) = (m + 1)π 與星形邊數無 關而僅與階數有關, 說明頂角和是關於星形 邊數的不變量。
為了弄清星形組合特徵並應用代數方法 研究星形問題, [4]中討論了“序號數列的遍歷 性”。
問題: 沿星形所在凸多邊形某一方向將 頂點標號 1, 2, 3, . . . , n, n + 1, n + 2, . . . (如 圖 20, 約定 n + i 與 i 標同一頂點), 然 後從“1”出發, 沿邊前行, 所經頂點依次記作 1 = b
1
< b2
< · · · < bn
, 最後回到 b1
= 1。如圖 20 所示: b
1
= 1, b2
= 3, b3
= 5 (每 次取使 {bi
} 遞增的最小數, 故不取 b2
= 8, b3
= 10), b4
= 7, b5
= 9。 則B
n
= {b1
, b2
, . . . , bn
}叫做序號數列。 顯然, 星形對應的序號數列的 模 n 剩餘是 0, 1, . . . , n−1 的一個排列, (稱 B
n
的這個性質為遍歷性), 反之, 如 Bn
具有 遍歷性, 則順次連接 b1
, b2
, . . . , bn
, 就生成一 個 n 邊星形。 且有...
... .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 6
2
7 3
8 4 9 5
10
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圖 20
定理9: 若 B
n
是公差為 r (r ∈ N) 的 等差數列, 則 Bn
具有遍歷性的充要條件是 (n, r) = 1。這裡 r = H(n) − 1 可叫做生成數, 如 把生成數為 r 的 n 邊星形記為 P
r
(n), 則文 [5]證明了定理10: 正星形 P
r
(n) 的第 i 層上的 交點構成正星形 Pr−i
(n), i = 1, 2, . . . , r,其邊長
a
i
= 2R tanr − i + 1n π cosr + 1 n
1 n (i = 0, 1, . . . , r)
其中 R 是 P
r
(n) 外接圓半徑。* * *
事實上, 近年對折線的某些度量性質也 進行了很多研究, 限於篇幅, 此不贅述。
致謝: 作者衷心感謝審稿者所提出的修 改意見。
參考文獻
1. 傅種孫, 從五角星談起, 「中國數學雜誌」 一 卷二期, 1952 年 2 月。
2. 楊之, 折線基本性質初探, 「中學數學」(湖北), 1991 年 1 月。
3. 楊之, 「初等數學研究的問題與課題」, 湖南教 育出版社 (長沙), 1993 年 5 月第 1 版, 1996 年 3 月第二次印刷。
4. 王方漢, 關於序號數列的遍歷性, 「數學通 訊」(武漢), 1997 年 2 月。
5. 王方漢, 正星形自交點構成的子星形系列,
「數學通報」, 1995 年 12 月。
—楊世明任職於天津市寶坻縣教研室, 張忠 輔任教於蘭州鐵道學院—
