平行四邊形的大家族
李碩彥
摘要: 平行四邊形算不算是特殊的梯形? 長方形算不算是平行四邊形? 這都是常聽到的辯 論。 本文從平行四邊形的特性加以探討, 結果支持肯定的一方。 同時還介紹許多美妙的四邊 形, 都和平行四邊形有密切的關係。 它們構成一個五代同堂的大家族。
平行四邊形有六個特性: 兩組對邊平行、 兩組對邊相等、 兩組對角相等。 通常, 一個四邊形 只要滿足六者之二就足以確定是平行四邊形。 問題是有哪些例外? 以下我們將兩個特性的組合 歸為七類:
(1) 兩組對邊平行 (2) 兩組對邊相等 (3) 兩組對角相等 (4) 一組對邊平行且相等
(5) 一組對邊平行, 一組對角相等 (6) 一組對邊平行, 另一組對邊相等 (7) 一組對邊相等, 一組對角相等
組合 (1)∼(5) 都是等價的, 都是平行四邊形的充要條件。 滿足組合 (6) 的, 可以是平行四 邊形, 也可以是等腰梯形 (Isosceles trapezoid)。 最有趣的組合是 (7), 可惜書本從不討論它。
為了深入探討 (6) 和 (7), 我們首先引入一些簡單的數學符號:
• 用 ABCD 代表一個平面上的四邊形, 四個頂點 A、B、C、D 按順時針排列。
• 用 |P Q| 代表任意兩點 P 、Q 之間的距離。
• 用 ∠ 這個符號來表示張角。
31
32 數學傳播 35 卷 3 期 民 100 年 9 月
• 若 ∠B + ∠C = π, 亦即 ∠B 和 ∠C 互補, 則 AD 和 BC 這兩個對邊平行 (那時, ABCD就會是個梯形)。
一般性的四邊形擁有五個自由度, 可以用五個參數來表達它: |AB|、 ∠B、 |BC|、 ∠C、 |CD|。
每限定一個特性, 就會削減一個自由度。 比如說, 若限定一組對邊平行, 就是梯形, 只剩四個 自由度。 有一組對邊相等的叫作 「等對邊形」(Side quad), 有一組對角相等的叫作 「等對角 形」(Angle quad), 也都只剩四個自由度。 滿足 (6) 或 (7) 的四邊形只有三個自由度, 可以用
|AB|、∠B、|BC| 三個參數來表達它。 因為我們不關注四邊形的大小, 所以將 |BC| 設定為單 位長。 剩下的兩個參數當作平面座標: x = ∠B, y = |AB|。 兩個參數值的範圍是 0 < x < π, y > 0。 如此一來, (6) 和 (7) 可以改寫為:
(6a) |AD| = |BC| = 1, ∠B + ∠C = π, ∠B = x, |AB| = y (7a) |AD| = |BC| = 1, ∠B = ∠D = x, |AB| = y
任意給定範圍之內的參數值, 我們想找出滿足 (6a) 或 (7a) 的四邊形 ABCD。 當然, 平行四 邊形始終是一個解, 問題是要找出其他的解。
先考慮 (6a)。 如果除了平行四邊形還有解的話, 很明顯的就只可以是等腰梯形 (Isosceles trapezoid)。 當 x > π/2 時, 這確實是另一個解。 當我們減小 x 直到 x = π/2 時, 平行四邊 形和等腰梯形這兩個解就重合成為長方形。 之後, 我們繼續減小 x, 就會又得到兩個解。 所以長 方形是平行四邊形和等腰梯形之間的邊界形狀。 當 y < 2 的時候, 我們進一步減小 x 直至遇到 了 y = 2 cos x 這條曲線。 那時等腰梯形那個解會退化成為等腰三角形, 因為 C、D 兩點重合。
更進一步減小 x 以至於 y < 2 cos x, 等腰梯形這個解會蛻變為一個 「自相交的四邊形」, 而不 再是真正的四邊形。
當 y = 2 cos x 時, 平行四邊形這個解有一條對角線和一個邊等長, 我們將它取名為 「對 角線等邊平行四邊形」(Isosceles parallelogram), 它可以用一對相等的等腰三角形來拼成。 和 長方形一樣, 它也只有兩個自由度。 以上的結論都歸結於圖 1。
接下來我們探討 (7a)。 因為 x 和 y 的值已經固定了 A、B、C 三點的相對位置, 我們只需 要找 D 點的位置。 用 ABCD′ 代表平行四邊形那個解。 我們可以不失一般性而假設 A、C、D′ 三點共圓的順序是依照順時針方向。
圖 1: 有一組對邊平行而另一組對邊相等的四邊形可以表達為滿足 (6a) 的四邊形 ABCD。 平 行四邊形是一個解。 當 x 6= π/2 而 y > 2 cos x 的時候, 還有另一個解, 就是等腰梯形。
在 (7a) 的假設之下, 我們作以下的分析:
(A) 一個可能的 D 點就是 D′。
(B) 因為 ∠AD′C = ∠ADC(= ∠B), 所以 D 點與 A、C、D′ 共圓。 另者, AD′ = AD = 1。
• 若 y = cos x, 也就是說共圓的直徑是 1 的時候, 唯一的 D 點就是 D′。 那時候 ABCD′ 會有一條對角線垂直於一組對邊, 所以我們將它取名為 「對角線垂直平行四 邊形」(Orthodiagonal parallelogram)。
• 若 y 6= cos x, 有唯一個不同於 D′ 的 D 點與 A、C、D′ 共圓而且滿足 AD′ = AD。
如圖 2 或圖 3 所示。 問題就是要確定 ABCD 是個真正的四邊形。 如果是的話, 就叫 它做 「歪等對角邊形」(Asymmetric angle-side quad)。
• 以下, 我們就假設: y 6= cos x, D 6= D′。
(C) D 點只能在 CD′A 弧線上, 所以 |AC| < 1。 將餘弦定理用於三角形 ABC 之上, 就發 現這個不等式等價於 y < 2 cos x。
• 臨界情況是 y = 2 cos x。 那時, D 點與 C 重合, 所以 ABCD 退化成三角形。 相應 地, ABCD′ 會變成對角線等邊平行四邊形。
• 當 y > 2 cos x 時, D 點落在 AC 弧線上, 所以 ABCD 變成 「自相交的四邊形」, 不 是真正的四邊形。
34 數學傳播 35 卷 3 期 民 100 年 9 月
• 以下, 我們就假設: D 6= D′, cos x 6= y < 2 cos x。
要想確定 ABCD 是個真正的四邊形, 還需要確定 ∠DAB 和 ∠BCD 都不是平角, 否則 ABCD 會退化成三角形。 在圓上畫一條直徑 AE 作為輔助線, 它將 D′ 和 D 分隔於兩側。 有 兩個情形需要分別考慮。
圖 2: ABCD′ 是一個平行四邊形, ABCD 是滿足 (7a) 的四邊形, D 6= D′, 而且 cos x <
y < 2 cos x。 輔助線 AE 是圓的直徑。 在此情況下, A、C、D、E、D′ 諸點按順時針方向排列在 圓上, 我們將 ABCD 取名為 「對角線等邊平行四邊形」。 它可以是凹的, 也可以是凸的。
第一種情形: cos x < y。 如圖 2 所示, ∠CAB = ∠ACD′ 為銳角, 所以 A、C、D、E、D′ 諸點 按順時針方向排列在圓上。 我們觀察到 ∠DAB < ∠D′AB < π, 所以 ∠DAB 不會是平角。
同時:
• 只有在 |CD′| = |AD| 的時候 ∠BCD 才會是平角, 也就是 y = 1 的時候。 那時, ABCD 退化成三角形, 而 ABCD′ 則是菱形。
• 當 1 < y < 2 cos x 時, ABCD 是凹的歪等對角邊形。
• 當 cos x < y < 1 (而且 y < 2 cos x) 時, ABCD 是凸的歪等對角邊形。
第二種情形: y < cos x。 如圖3所示, ∠CAB = ∠ACD′ 是鈍角, 所以 A、C、D′、 E、D 諸點 按順時針方向排列在圓上。 我們觀察到:
• 因為 y 6= 1, 所以 |CD| 6= |AD′|, 因此 ∠DAB 不會是平角。
• ∠BCD < ∠BCD′ < π, 因此 ∠BCD 也不會是平角。
這樣, ABCD 就確實是四邊形, 一個凸的歪等對角邊形。
圖 3: ABCD′ 是一個平行四邊形, ABCD 是滿足 (7a) 的四邊形, D 6= D′, 而且 y <
cos x。 輔助線 AE 是圓的直徑。 在此情況下, A、C、D′、E、D 諸點按順時針方向排列在圓上, ABCD只可以是一個凸的歪等對角邊形。
圖 4: 有一組對邊相等和一組對角相等的四邊形可以表達為滿足 (7a) 的四邊形 ABCD。 平行 四邊形是一個解。 有些時候會有另一個解, 叫做 「歪等對角邊形」 。 當 1 < y < 2 cos x 時, 歪 等對角邊形是凹的。 當 cos x 6= y < 1 而且 y < 2 cos x 時, 歪等對角邊形是凸的。
36 數學傳播 35 卷 3 期 民 100 年 9 月
圖 4 總結上述兩種情形的探討。 當 y = 1 和 y = 2 cos x 同時成立的時候, ABCD′ 會 變成鑽石形 (Diamond), 由一對相同的正三角形所拼成。
圖 5 展示平行四邊形的大家族, 每一個成員都是四邊形。 族長是一般性的四邊形, 它的形 狀大小共有五個自由度。 每限定一個特性, 就會削減一個自由度。 族譜中的輩分就是自由度, 每 一個箭頭都是從父母指向子女。 血緣關係都由對邊平行、 對邊相等、 對角相等這三種特性所衍 生而出, 不包括諸如 「兩個鄰角相等」 的另類特性。
圖 5: 平行四邊形的大家族五代同堂, 每一個成員都是四邊形。 族長是一般性的四邊形, 它的形 狀大小共有五個自由度。 每限定一個特性, 就會削減一個自由度。 族譜中的輩分就是自由度, 每 一個箭頭都是從父母指向子女。 血緣關係皆由對邊平行、 對邊相等、 對角相等這三種特性所衍 生而出。
構成家族中的第二代的是梯形、 等對邊形、 等對角形, 都只有四個自由度。 屬於第三代的, 都受限於兩個特性。 它們包括平行四邊形、 等腰梯形、 以及一凹一凸的歪等對角邊形雙胞胎。
底下的兩輩, 就都是特殊的平行四邊形。 第四代包括長方形、 菱形、 對角線等邊平行四邊 形、 對角線垂直平行四邊形, 在以上都出現過。 第五代中已出現的是鑽石形, 它唯一的自由度就
是它的大小。 正方形既隸屬長方形又隸屬菱形, 所以也被放進族譜裏的第五代。 同時隸屬對角線 垂直平行四邊形和對角線等邊平行四邊形的是 「對角線等邊垂直平行四邊形」(Isosceles ortho- diagonal parallelogram), 它可以用一對相等的等腰直角三角形來拼成。 平行四邊形的大家族 就此齊全, 五代同堂。
家族中知名度較高的成員, 諸如正方形、 長方形、 平行四邊形、 菱形、 梯形、 等腰梯形, 也 常出現於其他關於四邊形的分類之中 [1-3]。
常有人辯論: 平行四邊形算不算是特殊的梯形? 長方形算不算是平行四邊形? 通過平行 四邊形家譜的探討, 我們的回答絕對是肯定的。
後記: 以下是半個世紀前的一個小故事。 寫本文的動機之一, 就是要將這個故事的數學部 分說的更完整。
平行四邊形有六個特性: 兩組對邊平行、 兩組對邊相等、 兩組對角相等。 通常, 一個 四邊形滿足六者之二就足以確定是平行四邊形。 但是等腰梯形是明顯的例外。
“如果還有其他例外的話, 那就只能是一組對邊相等和一組對角相等,” 1963年底, 省 立台北建國中學高一 24班課堂上王景雲老師宣佈:
“我教了十幾年的數學, 翻遍群書都找不到一個定理說有這兩個特性就是平行四邊形, 可是又找不出反例。 今天這堂課大家就來探討這個問題, 想出答案的, 就到黑板上來 講解。”
許多同學陸續上台, 有的試圖證明那個書上都遺漏的定理, 有的試舉反例, 可惜都被 老師一一擊退。 全班陷入深思, 有些則竊竊私語。 大獲全勝的王老師耐心地等待著下 一個勇士。
我躊躇再三, 終於舉手說: “凹的四邊形有反例。”
老師一聽: “凹的! 快上來畫給我看。”
於是, 一個小小的反例就解釋了為什麼書上少了一個 「定理」, 同學們都很興奮。 王景 雲則望著我, 一語不發。 正好下課鈴響了, 他逕自離去, 留下一個我看不懂的眼神。
事隔近半個世紀, 是時候將這個數學故事說完全了。
參考文獻
1. “An extended classification of quadrilaterals,”
http://mysite.mweb.co.za/residents/profmd/quadclassify.pdf.
38 數學傳播 35 卷 3 期 民 100 年 9 月
2. “Quadrilateral-wikipedia,” http://en.wikipedia.org/wiki/Quadrilateral.
3. De Villiers, M., Some Adventures in Euclidean Geometry. University of Durban- Westville, 1996.
—本文作者任教香港中文大學—
中央研究院數學研究所
2011 年10月份學術會議 2011 許振榮教授紀念講座
日 期 : 2011年10月17日 (星期一) ∼ 2011年10月18日 (星期二) 地 點 : 臺北市大安區羅斯福路四段1號 天文數學館6樓
報 名 : 網路報名
詳細情形請查詢中研院數學所網頁 http://www.math.sinica.edu.tw
陳省身院士百歲紀念學術研討會
日 期 : 2011年10月19日 (星期三) ∼ 2011年10月21日 (星期五) 地 點 : 臺北市大安區羅斯福路四段1號 天文數學館1樓
報 名 : 網路報名
本研討會第三天下午 (10 月 21 日) 將有二場中文演講, 分別由滕楚蓮教授與李國 偉教授演說。 李國偉教授的演講摘要如下:
標題 一一 陳省身與中央研究院
1947 年 7 月中央研究院數學研究所在上海正式成立。 名義上姜立夫是所長, 然而 實際工作均由陳省身代理, 因此數學所可說是由陳省身一手建立。 1948 年陳省身 當選為中央研究院第一屆院士, 然而年底旋即赴美。 本報告將講述陳省身與中央研 究院的關係與貢獻, 兼及陳省身數次返台對台灣數學界的影響。
詳細情形請查詢中研院數學所網頁 http://www.math.sinica.edu.tw
