初等物理數學 2012 修訂版
國立中興大學物理系教授 林中一編撰
Chap. 1 Ordinary Differential Equations and Its Applications to Physical Systems
一個方程式包含了一個未知函數 y(x)及其導函數，就是一個「常 微分方程式」 (ordinary differential equation, ODE)。出現在方程式中 最高次微分的數目稱為該方程式的「階數(order)」，所以一個 n 階 ODE 的一般形式為
F(x, y, y’, y”, …, y[n]) = 0 其中 F 為一個 n+1 變數的任意函數。例如 1. x2y"(x)−3x(y'(x))5+4y(x)=sin(x) 為 2 階 ODE, 2. y'(x)=3x2−4x+5 為 1 階 ODE，
3. g'(x)+2[g(x)]2 =x8−1 亦為 1 階 ODE，
4. y'"(x)=16e−2x, 為 3 階 ODE。
二階 ODE 是物理裡最重要的 ODE 因為牛頓第二運動定律 F=ma 即是 二階 ODE。有別於 ODE，我們也會遇到所謂的「偏微分方程式(partial differential equation, PDE)」是含有偏微分項的方程式。例如
) , ) ( , ( ) , (
2 2
t x t u
t x u x
t x
u +
∂
= ∂
∂
∂
PDE 的問題留待大二的物理數學再討論。
什麼是一個 n 階 ODE 的解呢？一個 n 階 ODE 的解就是「任何一 個在某個 interval 內，至少其 n 階導函數存在，且可滿足該方程式的 函數」。例如 y’-2y = 6 的一個解為 y(x) = exp(2x)-3, for all x, 因為其 1 階導函數對 all x 都存在，且將之代入原式得
6 6 ) 2 exp(
2 ) 2 exp(
2
] 3 ) 2 [exp(
2 ] 3 ) 2 [exp(
= +
−
=
−
−
−
x x
x dx x
d
要注意的是，如果不需滿足特定的條件，一個 ODE 的解不只一個。
一個 ODE「所有的解」所形成的集合稱為該 ODE 的「通解(general solution)」。如果通解裡所有的未定常數都被決定的話，該解稱為原 ODE 的一個「特解(particular solution)」，通解裡的未定常數可由所謂 的「初始條件」定出（見後面的「等速運動」）
例如 y’(x) = 3x2 - 4x 的通解為
y(x) = x3 – 2x + C, 其中 C 是一個任意常數。
完整解出一個 ODE 就是將他的「通解」找出來。一般來說 n 階 ODE 必包含 n 個任意常數。
例如 解 y”(x) = 12 x + 8，先將原式兩邊對 x 積分得
∫
∫
+ +
= +
=
=
1 2
2 2
8 6 ) 8 12
( x dx x x C
dx dy
dx dx y d
上式兩邊再對 x 積分得
2 1 2 3 1
2 8 ) 2 4
6 ( )
(x x x C dx x x C x C
y
dy dxdx
dy
+ + +
= +
+
=
⇒
=
∫
∫
∫
，不過這個例題是特別簡單的，通常的 ODE 沒這麼好解，是不能靠單 純的積分就可以解出的。
§ 1 階可分離(separable) ODE： ( ) ( ) ( ) y q x dx p
x dy =
這種特殊形式的 ODE 稱為 separable 就是因為可以將 y 的項與 x 的項分開列在等號的兩邊 such that
∫
∫
=⇒
=
⇒
=
dx x y p
q dx dy x y p
q x dy
y q x dx p
x dy
) ) (
) ( ) (
( ) (
) ( ) ) (
(
上式只要兩端的積分可以做出就可得到一個 y(x)的代數方程式，再 將 y(x)解出即可。形式簡單但「不可分離」的 ODE 很多，例如
y dx x
dy = + 就不可分離。以下的例子都是 separable 的 case.
Ex.
) (
cos )
cos(
) 1 2 ( )
sin(
) 1 2 ( ) ) sin(
sin(
) 1 2 (
2 1
2 x C y x x C
x y
dx x dy
y dx
x dy y y
x dx dy
+
−
−
=
⇒ + +
=
−
+
=
⇒ +
= + ⇒
=
−
∫ ∫
＊ 一維等加速運動
令 x(t)為位置，由加速度的定義得等加速運動 dt a
x
d22 = = constant （1-1）
i) 推導瞬時速度 v(t) = v0 + a t。 由（1-1）
C at t v
dt a adt dv
adt dv
a dtv x d dt d dt
d dt
x d
+
=
⇒
=
=
⇒
=
⇒
=
=
=
∫ ∫ ∫
) (
)
2 (
2
（1-2）
得到「通解」。令「初始條件」為 v(0)= v0，代入（1-2）可定出 C
＝
v0， 所以可導出v(t) = v0 + a t （1-3）
其實，（1-2）式中的未定常數 C 也可以由「在積分時訂出積分上、下 限」得到。因為在已知「初始條件」為 v(0)= v0 ，（1-2）中的積分就 可以「對應的」標上積分上、下限：
at v t v
at v t v adt dv
t t v
v
+
=
⇒
=
−
⇒
=
∫
∫
0
0 0
) (
) (
) (
0
上式的積分不再有未定常數因為是「定積分」。所以「初始條件」的 使用是可以在積分時直接在積分上、下限用上，如此可省卻去解未定 常數所花的功夫。
ii) 推導位移 0 0 2 2 ) 1
(t x v t at x
x= − = +
Δ 。
（1-3）兩端對 t 積分，若初始條件為 x(t)=x0, 則
dt at v dx
at v dtx t d v
) (
) (
0 0
+
=
⇒
+
=
=
2 . ) 1
(
) (
2 0
0
0 0
) (
0
at t v x t x
dt at v dx
v t x
x
+
=
−
⇒
+
=
⇒
∫ ∫
（1-4）
ii) 推導 v2 =v02+2aΔx
).
( 2
) ( ) 2(
1
0 2
0 2
0 2
0 2 2
2
0 0
x x a v v
x x a v v adx
vdv
adx vdv dx a
vdv dt a dx dx dv
dt a a dv dt
x d
x
x v
v
− +
=
⇒
−
=
−
⇒
=
⇒
=
⇒
=
⇒
=
⇒
=
⇒
=
∫
∫
（1-5）
（1-6）中我們用 chain rule
dt dx dx dv
dv =dt ，若令初始位置 x0 = 0,可得 ax
v
v2 = 02+2 。
＊ 考慮空氣阻力的問題
ex. 1 若有一質量 m 的車子在水平面以等速 v0移動時忽然熄火，之後 在空氣阻力Fv =−bvv, b>0 的作用之下滑行，若令熄火的時刻為 t = 0,(a) 試求熄火後的速 v(t), 車子停止前滑行若干時間？(b)車子停止前滑行 距離多少？
解：(a) 本題的受力非定力所以「不是等加速運動」！要注意此處空 氣阻力中的「負號」表示阻力始終與速度反向。由牛頓第二定律，令
iˆ為＋x 方向單位向量
dt bv x md
i dt bv
i x md
v dt b
x md F
−
=
⇒
−
=
⇒
−
=
=
2 2
2 2
2 2
ˆ ˆ v v v
⎟⎠
⎜ ⎞
⎝
= ⎛ −
⇒
= −
⎟⎟⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⇒ ⎛
= −
− ⇒
=
⇒
= −
⇒
−
=
⇒
∫ ∫
m t v b
t v
m t b v
t v
m t v b
m dt b v
dv
m dt b v bv dv dt
mdv
t v v t
v
v
t
exp )
( ) ln (
ln
0 0
) ) (
(
0 0
0
可以看到在與速度一次方成比例且反向的阻力之下，速度是隨時間以
「指數衰減」方式減速，由於 exp 函數永遠不為零所以需時無窮久 才停得下來（因為速度越慢時阻力也越小）。注意，可以分析 b/m 的 因次為「時間分之一」(你要自己 check 一下,不然就請來上課！)，所 以常將這個量定義為
τ
≡1 m
b ，此處的常數τ 具有時間的單位。所以可
將結果表為
⎟⎠
⎜ ⎞
⎝
= ⎛ −
τ v t
t
v( ) 0exp (1-5a)
由 於τ 是 由 系 統 的 常 數 訂 出 ， 所 以 稱τ 為 本 系 統 的 「 特 徵 時 間 (characteristic time)」，視為本系統「時間的標準」。即，所謂「短時間」
t 表示t<<τ，而所謂「長時間」t 表示t>>τ 。往後我們都會看到處理 的系統中有許多特有的常數，而這些常數可以湊出具有長度單位或能 量單位等等的量，那麼這些量就成為該系統的「特徵長度 characteristic length」、「特徵能量 characteristic energy」…等，作為對應物理量的標 準。本題還可以湊出些什麼「特徵量」？mv0是不是本系統的「特徵 動量」？那麼「特徵長度」…etc. 呢？請來上課！
τ 還有另一層重要的物理意義：就是阻力開始有顯著效力的時間尺 度。亦即作用時間t≈τ時阻力的效果就不能在忽略了，由上式看到當 時間t ~τ時速度就因阻力而衰減至初速度的1/e=0.368倍，這是絕對不 能忽略的影響。我們可以從他的定義來看
b
≡m τ
由於 b 表現的是阻力的強度，所以對固定的質量 m，若 b 值越大（阻 力越強），在越短的時間阻力就會有明顯的效果。反之，b 值越小（無 阻力表b→0⇒τ →∞）就要等很久才看得出效果。質量 m 也扮演重要 的角色，因為當固定 b 時質量大的物體因慣性較大，所以阻力要作用 比較久才能顯著的影響運動的狀態。
(b) 我們可以方便的令初始位置 x(0)=0
⎥⎦
⎢ ⎤
⎣
⎡ ⎟
⎠
⎜ ⎞
⎝
− ⎛ −
=
⇒
⎟⎠
⎜ ⎞
⎝
= ⎛ −
⇒
⎟⎠
⎜ ⎞
⎝
= ⎛ −
⎟⇒
⎠
⎜ ⎞
⎝
= ⎛ −
=
∫
∫
τ τ
τ
τ τ
v t t x
t dt v
dx
t dt v
t dx v
t dt v dx
t x
exp 1 )
(
exp
exp exp
) (
0 0 0 0
0 0
可以看到以 t = 0 代入，即可還原初始條件 x(0)=0，但是當t→∞時
b v mv x(∞)= 0τ = 0
這是個有限值！我們如何想像一個一直在移動的物體走了無窮久居 然不能走無窮遠？這是因為雖然車子仍在移動但是「指數衰減」使得 速度很快的就降到接近 0 的速度，亦即大部分的時間車子都是以趨近 於 0 的速度在移動，所以當然可能走不了多遠的。
娛樂一下：若阻力為F =−βv2如何？注意β的單位不同於 b.
ex. 3 考慮空氣阻力的自由落體運動
一質量 m 的物體自靜止自由落下，若有空氣阻力Fv =−bvv, b>0 的作用 求速度隨時間的函數，需時多久才能達到終端速度？
解：令向下為＋y，令 jˆ為+y 方向單位向量，
τ
≡1 m
b
mg dt bv
y md
j mg j dt bv
j y md g m v dt b
y md F
+
−
=
⇒
+
−
=
⇒ +
−
=
=
2 2
2 2
2 2
ˆ ˆ ˆ
v v v
v
當達到終端速度 vT時受力為零，所以 gτ b
vT =mg = 。
∫
∫
− + =⇒
=
− +
⇒ +
−
=
⇒
+
−
=
⇒
+
−
=
t t
v
dt v g
dt dv v g
g dv v dt dv
v g dt
y d
mg dt bv
y md
0 )
(
0 2
2 2 2
τ τ
τ τ
令 τ τ
du dv v g
u=− + ⇒ =− 帶入上式得
⎥⎦
⎢ ⎤
⎣
⎡ ⎟
⎠
⎜ ⎞
⎝
− ⎛ −
⎥=
⎦
⎢ ⎤
⎣
⎡ ⎟
⎠
⎜ ⎞
⎝
− ⎛ −
=
⎟⇒
⎠
⎜ ⎞
⎝
= ⎛ −
−
⇒
= −
⎟⎟
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎝
⇒ ⎛ −
− =
∫
− +τ τ τ
τ τ
τ τ
τ τ
v t g t
t v g
v
t g
g v u t
du
T v g
g
exp 1 exp
1 exp
1
ln
可以看出要當t→∞時 v 才會等於 vT,所以看來如果空氣阻力只與速度 一次方有關時終端速度只是個「理想目標」是永遠達不到的！但是我 們也不必如此悲觀，因為只要當t=5τ時，exp(-5) = 6.74×10−3, i.e.,
T
T v
v
v(5τ)= (1−6.74×10−3)≈0.993 而
vT
v(10τ)=0.999955
基本上已經在測量誤差之內，所以由測量的觀點來看，終端速度很快 就能達到只是要看系統的「特徵時間」τ 有多長而已。
我們也可以看一看自由落下「很短」的時間內的行為。如前面討論過 的「很短」的時間 t 表示 <<1
τ
t ，所以
τ τ
τ τ
t t
t
t ⎟ −⋅ ⋅⋅≈ −
⎠
⎜ ⎞
⎝ +⎛
−
− =
1 1
) exp(
2
，thus
t gt t g
t g g
t
v ⎥= =
⎦
⎢ ⎤
⎣
⎡ ⎟
⎠
⎜ ⎞
⎝⎛ −
−
⎥≈
⎦
⎢ ⎤
⎣
⎡ ⎟
⎠
⎜ ⎞
⎝
− ⎛ −
=
<<
ττ τ τ
τ τ
τ) 1 exp 1 1
(
這與無阻力的自由落體相同。這可以理解，因為阻力隨著速度增大而 增加，所以在落下的最初因為速度還很小所以阻力也非常小，以致像 是個單純的自由落體。
娛樂一下：算出位置 y(t)並討論「短時間」行為y(t<<τ).
§ 線性 ODE
一個 n 階 ODE， F(x, y, y’,…, y[n])=0，若方程式裡所有 y[n]的項最多 只有一次式，就稱為所謂 n 階「線性」ODE (nth order linear ODE)。線 性 ODE 必為以下形式：
0 ) ( '
) ( ....
) ( )
(x y[ ]+a −1 x y[ −1]+ +a1 x y+a0y+q x =
an n n n
換言之，像 y” + yy’- x =0 或 y’” + 3x y” – y2 -3 = 0 就都不是線性 ODE。
＊ 1 階線性 ODE 的一般形式為
) ( )
(x y q x dx p
dy+ =
上式中若 q(x)＝0 則稱為「齊次(homogeneous)」線性 ODE，若q(x)≠0 則稱為「非齊次（nonhomogeneous）」ODE。不論齊次與否 1 階線性 ODE 必定有解。
1 階齊次線性 ODE 必是 separable:
⎟⎠
⎜ ⎞
⎝⎛−
=
=
⇒
+
−
=
⇒
−
=
⇒
−
=
∫
∫
∫ +
− C p x dx
e x y
C dx x p y
dx x y p
dy
y x dx p
dy
C dx x
p exp ( )
) (
) ( )
ln(
) ( ) (
) (
但是，1 階非齊次線性 ODE 就不是 separable 了，相關的細節留到 大二物理數學討論。
§ 2 階線性 ODE
2 階線性 ODE 的標準形式為
) ( ) ( ) ( ' ) ( ) (
" x a1 x y x a0y x g x
y + + =
若 g(x) =0 稱為「齊次」ODE，g(x)≠0則為「非齊次」ODE。在這裡 我們將只討論「常係數」2 階線性 ODE：
) ( ) ( ) ( ' ) (
" x by x cy x g x
y + + = ， b, c 為常數。 (1-11)
（A） 齊次線性 ODE
0 ) ( ) ( ' ) (
" x +by x +cy x =
y (1-12)
定理 若 y = u(x) 與 y = v(x) 皆為（1-12）式之解，則線性組合
) ( )
( 2
1u x c v x
c
y= + ， c1, c2為常數 也必是（1-12）的解。
Pf. 因為 u(x)、v(x)皆為解所以代入（1-12）
) 2 ( 0
) ( ) ( ' ) (
"
) 1 ( 0
) ( ) ( ' ) (
"
a x
cv x bv x v
a x
cu x bu x u
= +
+
= +
+
2 1 ( 2) )
1
(a ×c + a ×c 得
0 ) (
) (
)
( 1 2 1 2 1 2
2
2 + + cu+c v +c cu+c v =
dx b d v c u dx c
d
表示y=c1u(x)+c2v(x)亦滿足（1-12）式，所以為解。
例如 ODE y” = y，可證明 y = exp(x) 與 y = exp(-x) 皆為解，所以
) exp(
) exp( 2
1 x c x
c
y= + − 亦為一解。
＊ y"(x)+by'(x)+cy(x)=0 （1-12）求解
我們可以觀察，要滿足（1-12）式的函數必須是其 2 次微分、一次微 分、與其自己都具有「相同的長相」，這樣才有可能加起來後等於 0！
那麼看來好像只有「指數函數 exp」才有機會，所以我們可以假設
（1-12）式的解為 y(x)=exp(nx) n 為某一常數 將上式代入（1-12）得
( )
) 13 1 ( 0
0 ) exp(
)
0 ) exp(
) exp(
) exp(
2 2 2
−
= + +
⇒
= +
+
⇒
= +
+
c nb n
nx c
nb n
nx c
nx nb
nx n
（1-13）式稱為原 ODE（1-12）的「特徵方程式（characteristic equation）」
或「輔助方程式（auxiliary equation）」。（1-13）解出
2
2 4 c b n −b± −
= （1-14）
case 1. b2 – 4c > 0, 表示特徵方程式（1-13）式有 2 個不同的實數根，
n1與 n2 (分別對應（1-14）中的「＋」號與「─」號。
) exp(
) exp(
)
(x c1 n1x c2 n2x
y = +
即為（1-12）「通解」（因為包含 2 個未定常數）。
Case 2. b2 – 4c = 0, 表示特徵方程式（1-13）式有實數重根 n = -b/2，
所以只得一個解y(x)=exp(−bx/2)，那麼要怎麼找第二個解以組成通
解？我們可以很直接的證明 )
exp( 2 )
( bx
x x
y = − 也是一個解,代回（1-12）
2 0 2 2
2
2 2 2
2
) 2 / exp(
)) 2 / exp(
( ))
2 / exp(
(
) 2 / ( )
2 / ( 2
) 2 / ( )
2 / ( ) 2 / ( )
2 / ( )
2 / ( 2 2 2
⎥⎦ =
⎢⎣ ⎤
⎡ − +
⎪⎭ +
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧ ⎟+
⎠
⎜ ⎞
⎝ + ⎛ −
⎟⎠
⎜ ⎞
⎝
= ⎛ −
⎥⎦+
⎢⎣ ⎤
⎡− +
⎟ +
⎠
⎜ ⎞
⎝ + ⎛ −
⎟⎠
⎜ ⎞
⎝
=⎛ −
− +
− +
−
−
−
−
−
−
−
−
bx bx
bx bx
bx bx
bx
e b b xe
b c b b
cxe e
bxe b b e
b xe
bx cx
bx dx x
b d bx
dx x d
所以通解為
2 ) exp(
2 ) exp(
)
( 1 2 bx
x c bx c
x
y = − + −
第二個解基本上是憑經驗找到的。
Case 3. b2 – 4c < 0, （1-13）有 2 個不同的複根，對應±號寫為α±iβ， 其中
( )
( )
).
cos(
) (
, , sin cos
) (
, , )
(
, , )
(
2 , 4
2
2 1
2 1
) ( 2 ) ( 1
2
φ β
β β
β α
α α
β β
α
β α β
α
+
=
+
=
+
=
+
=
= −
= −
−
− +
x Ae
x y
or x c
x c
e x y
or e
c e c e x y
or e
c e
c x y
c i b
b
x x
x i x i x
x i x
i
ex. 1 solve y” – y’ – 6y =0
sol. 可得特徵方程式 n2 – n - 6 = 0 ⇒n1 =3, n2 =−2.所以
).
2 exp(
) 3 exp(
)
(x c1 x c2 x
y = + −
ex. 2 solve y"+2 3y'+3y=0⇒特徵方程式n2+2 3n+3=0解出 2 3
12 12 3
2 ± − =−
= −
n 重根，所以
).
3 exp(
) (
)
(x c1 c2x x
y = + −
ex. 3 solve y’’ – 6y’ +13y = 0,特徵方程式 n2 – 6n + 13 = 0
).
2 sin 2
cos ( ) (
. 2 , 3
2 2 3
52 36 6
2 1
3 c x c x
e x y
i n
x +
=
⇒
=
=
⇒
±
− =
= ±
β α
ex. 4 簡諧振子 simple harmonic oscillator
考慮一質量 m 的質點繫於一彈力常數 k > 0 的彈簧在光滑水平面上做 直線運動。求位置 x(t)。
解 列出運動方程式
0
0 2 2
2
2 2
2
2 =− ⇒ + = ⇒ + x=
dt x x d
m k dt
x kx d
dt x
md ω
其中角頻率
m
≡ k
ω 。所以特徵方程式為
).
cos(
) (
), exp(
) exp(
) (
0
2 1
2 2
ϕ ω
ω ω
ω ω
+
=
− +
=
±
=
⇒
= +
t A t x
or t i c
t i c t x
i n n
最後的解裡包含了 2 個未定常數 A 與ϕ必須由初始條件定之。令初始 條件為
0 )
0 ( , ) 0 (
0
0 = =
=
=
dt t
v dx x
x 可得
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
−
=
=
=
=
=
0 sin )
0 (
, cos )
0 (
0 0
ϕ ω ϕ dt A
v dx
A x x
t
由於 A 與ω皆不能是 0 所以sinϕ =0⇒ϕ =0，也就定出 A=x0, 得
).
( )
cos(
) (
) sin(
) ( ) cos(
) (
2 0
2
0 0
t x t
dt x t dv a
t dt x
t dx v t x
t x
ω ω
ω
ω ω
ω
−
=
−
=
=
⇒
−
=
=
⇒
=
以上的討論其實牽涉到一個很重要但是我們並還沒有真的說清楚的 事，就是在解 2 階 ODE 的「通解」時我們以需要 2 個未定常數做為
「通解」的「標準」。但事實上這「2 個未定常數」只是表面的形象，
我們需要的是 2 個「線性獨立」解的線性組合來表示「通解」。以下 就「線性獨立」函數來說明。
定義 1. 一個 m 個函數的集合 {fi(x), i= 1..m} 裡的函數稱為在某個 interval I 內為「線性相依 linear dependent」，如果存在不全為 0 的係 數 ci使得
∑
=
=
m
i i if x c
1
0 )
( , for all x∈I.換言之，那些「線性相依」的函數 間必定可以用某幾個函數的線性組合來表示另一個函數；所以稱為
「相依」。
定義 2. 一個 m 個函數的集合 {fi(x), i= 1..m}裡的函數如果在某個 interval I 內 「 不 是 線 性 相 依 」， 就 稱 為 為 「 線 性 獨 立 linear independent」。換言之，如果
∑
=
=
m
i i if x c
1
0 )
( for all x∈I，那麼唯一的選 擇是「所有的 ci = 0」.
例如 f(x) = 3x2, g(x) = x 是「線性獨立」在x∈(−∞,∞)。因為如果令
) , ( 0
6 , 0 3
0 ) ( ) (
2 1 2 2 1 2
1 ∈ −∞ ∞
⎪⎩
⎪⎨
⎧
= +
⇒
=
⇒ +
=
+ for x
c x 對x微分 c
and x
c x c x
g c x f c
對 any x≠0, say,x=1代回上面聯立方程式得 0 0
6
0 3
2 1 2
1 2
1 ⇒ = =
⎩⎨
⎧
= +
=
+ c c
c c
c
c 是唯一的解，所以 f(x)、g(x)線性獨立！
定義 3. Wroskian (紀念波蘭哲學家,數學,物理學家,律師,...H. Wronski, 1778-1853)
若一個 m 個函數的集合 {fi(x), i= 1..m, x∈I}，all fi(x)都至少 m-1 次 可微分，則定義 Wronskian of {fi=1..m}為
).
( ),
,...
; (
...
...
...
' ...
...
' '
...
...
det 1
] 1 [ ] 1 [ 2 ] 1 [ 1
2 1
2 1
x W or f f x W
f f
f
f f
f
f f
f
m
m m m
m
m m
=
≡
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
⋅
⋅
−
−
−
定理 1. If {fi(x), i= 1..m, x∈I}為「線性相依」then W（x ;f1,....fm）=0 for 所有x∈I. Or, if 即使有「一個」x∈I使得 W（x ;f1,....fm）≠0,then {fi=1..m}
「線性獨立」
Pf. If {fi(x), i= 1..m, x∈I}為「線性相依」，則對所有x∈I將係數 c1f1 + c2f2 + c3f3 +... + cmfm = 0 ⇒c1,c2,c3,..., cm不全為 0 將上式及上式對 x 做一次微分，二次微分，....，m-1 次微分可得共 m 個連立方程式
c1f1 + c2f2 +... + cmfm = 0 c1f1’+ c2f2’+... ...+ cmfm’ = 0
.
c1f1[m-1]+ c2f2[m-1]+...+ cmfm[m-1] = 0
c1,c2,c3,..., cm看為未知數，則要有不全為 0 的解（trivial solution 自 明解）那麼 c1,c2,c3,..., cm在連立方程式裡的「係數」，即 f1 , f2 ,.. ,fm
及 fi的一階、二階、...到 m-1 階導函數所形成矩陣的行列式必須為 0，
對所有x∈I。即得證
0 ) ,...
; (
...
...
...
' ...
...
' '
...
...
det 1
] 1 [ ] 1 [ 2 ] 1 [ 1
2 1
2 1
=
≡
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
⋅
⋅
−
−
−
m
m m m
m
m m
f f x W
f f
f
f f
f
f f
f
，對所有x∈I
要注意，本定理「反之不亦然」！也就是說本定理只說{fi=1..m}「線性 相依」則 W(x)=0，但是「不表示」若 W(x∈I)=0 則 implies{fi=1..m}「線 性相依」！舉例說明，若
f(x) = x2, g(x) = x|x|＝
⎪⎩
⎪⎨
⎧
<
−
>
0 ,
0 ,
2 2
x x
x x
對 x > 0, 0 2 2
2 2
=
= x x
x
W x , 又對 x < 0 0 2 2
2 2
− =
= −
x x
x W x
但是 x2與 x|x| 顯然線性獨立，因為 x2無法用 x|x|的倍數表示。或我 們可以用嚴格的方法證明：若設 c1x2 + c2 x |x| = 0 for all x, 選 x =1 與 -1 分別代入得
0 0 0
2 1 2
1 2
1 ⇒ = =
⎩⎨
⎧
=
−
=
+ c c
c c
c
c ⇒線性獨立。
所以針對前面「2 階齊次常係數 ODE」解的幾種 case，我們可以舉例 ex. 1. f1 = exp(m1x), f2 = exp(m2x) for all x but m1≠m2
0 ] ) exp[(
) (
) exp(
) exp(
) exp(
) exp(
2 1 1
2 2
2 1 1
2
1 = − + ≠
= m m m m x
x m m
x m m
x m x
W m
所以「線性獨立」。
Ex. 2. f1 = exp(mx), f2 = x exp(mx) for all x. 由
0 ) 2 exp(
) 2 exp(
) 1
( ) exp(
) 1 ( ) exp(
) exp(
) exp(
) exp(
) 1 ( ) exp(
) exp(
) exp(
≠
=
− + + =
=
⇒
+
= +
=
mx mx
mx mx mx
mx mx
m
mx x
W mx
mx mx
mx mx
mx mx
dxx d
所以「線性獨立」。
Ex. 3. f1 = cos(x), f2 = sin(x), f3 = x, for all x
. ,
0
) ( sin ) ( cos
)]
sin(
) )[cos(
sin(
)]
cos(
) )[sin(
cos(
0 ) sin(
) cos(
1 ) cos(
) sin(
) sin(
) cos(
2 2
x nonzero any
for x
x x x x
x x x x
x x x x
x x
x x
x x x
W
≠
=
+
=
+ +
−
−
=
−
−
−
=
所以{ cos(x), sin(x), x} 為「線性獨立」。
＊ Ex. 5. 阻泥振盪(damped oscillation)
現有一質量 m 的質點繫於一彈力常數 k 的彈簧，在水平面上做直線 振盪，然受阻力Fv =−bvv。這樣的系統即為阻泥振盪。運動方程式：
1 0
0
2 2
2 2 2 2 2
= + +
⇒
= + +
⇒
−
−
=
−
−
=
dt x dx dt
x d
mx k dt dx m b dt
x d
dtx b d kx bv dt kx
x md
τ ω
如前 m
k m
b ≡
≡ ω
τ ,
1 為無阻泥簡諧振盪之自然頻率。上式之輔助方程式
(
2 2)
2 2 2 2
4 1 2 1
4 1 1 1 2 1 1 0
τ τ ω
τ ω τ τ ω
−
±
−
=
⎟⎟⇒
⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛− ± −
=
⇒
= + +
n n
n n
ω與τ 的值使得 n 有三種可能：
⎪⎪
⎩
⎪⎪⎨
⎧
>
=
<
damped 兩個實根，稱為over
damped 重根，稱為critical
damped 兩個複根，稱為under
: 4 1 . 3
, :
4 1 . 2
, :
4 1 . 1
2 2
2 2
2 2
τ ω
τ ω
τ ω
3 種 case 分開討論：為了避免太冗長的符號表示，我們考慮一個簡諧 振 子 質 量 m = 1 kg, 繫 在 一 條 k = 4 N/m 的 彈 簧 的 一 端
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ = =2 s−1 m
ω k ，在不同阻泥強度 b 的影響之下振盪。並假設 t＝0 時
振子靜止於距平衡點 1 m 處然後開始振盪，即 x(0) = 1 and v(0) = 0.
(1) under damped, 1<4ω2τ2. 選 b = 2
1 s
b m m
s
N⋅ / ⇒τ = =2 ，4ω2τ2 =64
( )
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧ ⎥
⎦
⎢ ⎤
⎣
⎡ +
⎥+
⎦
⎢ ⎤
⎣
⎡ +
⎟⎠
⎜ ⎞
⎝
− ⎛ −
=
⇒
⎥⎦
⎢ ⎤
⎣
⎡ +
⎟⎠
⎜ ⎞
⎝
= ⎛ −
⇒
±
−
=
−
±
−
=
ϕ ϕ
ϕ τ
τ ω
t t t
t A v
t t A
t x
i i
n
4 sin 63 4 63
cos 63 exp 4
) 4 (
4 cos 63 exp 4
) (
4 63 4
1 1 4
2 1
1 2 2
其中常數A, ϕ由初始條件定之。若選 x(0) = 1m 及 v(0) = 0, 即在 t = 0 質點自最大振幅 1m 開始運動，可得
( )
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
− +
=
=
=
0 sin 63 4 cos
) 0 (
1 cos )
0 (
ϕ ϕ
ϕ v A
A x
可解得，由於 A≠0 所以
) 14 1 ( 63
tan 1 4
cos 63 exp 4
63 ) 8 (
63 8
8 sin 1 8 , cos 63
63 tan 1
1 1
a t t
t x
A
⎥ −
⎦
⎢ ⎤
⎣
⎡ ⎟
⎠
⎜ ⎞
⎝ + ⎛ −
⎟⎠
⎜ ⎞
⎝
= ⎛ −
⎪⎪
⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
⇒
= −
=
⎟⇒
⎠
⎜ ⎞
⎝
= ⎛ −
−
− ϕ ϕ
ϕ
由上式看出 under damped 振盪時的位置 x(t)為一個 cos 的振盪項乘上 一個指數衰減項，是一個隨著時間持續振盪但是振幅以指數衰減的方 式很快會減到幾乎量不到的振盪行為。做 x-t 圖
Fig. 1 Under-damped 簡諧振盪 withω= s2 −1，阻泥係數 b=
2
1 N⋅s/m。 初始條件 x(0) = 1m 及 v(0) = 0
可見振幅隨著時間減小，但是仍可看到「振盪」行為。由（1-14a）
中的 cos 項，可得相鄰兩次通過原點的時間T1/2是相同的
63 4 4
63
2 / 1 2
/ 1
π ⇒ = π
⎟⎟ =
⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ T T
但是我們不能說「振盪週期」T =2T1/2，因為振幅的衰減使得 under damped 振盪根本不是週期運動。
(2) critical damped 1=4ω2τ2, n 得一重根。自然頻率保持 ω= s2 −1,但選
阻泥係數 b = 4 s
b m m
s
N 4
/ ⇒ = =1
⋅ τ
( ) ( ) ( )
( )
tt B A t
v
t Bt
A t Bt
t A
t x n
2 exp )]
1 2 ( 2 [ ) (
2 exp ) (
2 exp 2
exp )
( 2 2
1
−
− +
−
=
⇒
− +
=
− +
−
=
⇒
−
− =
= τ
看得出 critical damped case 因為阻力已經太強，使得「振盪」的行為 都消失了。若選相同的初始條件 x(0) = 1m 及 v(0) = 0, 可解出
(
1 2) ( )
exp 2 0 (1 14 )) 2 (
0 2
) 0 (
1 )
0
( x t t t b
B B
A v
A
x ⇒ = + − > −
⎭⎬
⎫
=
⇒
=
−
=
=
=
做 x – t 圖
Fig. 2 Critical-damped 簡諧振盪 withω= s2 −1，阻泥係數 b=4N⋅s/m。 初始條件 x(0) = 1m 及 v(0) = 0.阻力太強，連原點都回不去。
(3) over damped, 1>4ω2τ2, n 得 2 實根。自然頻率保持 ω= s2 −1,但選阻
泥係數 b = 8 s
b m m
s
N 8
/ ⇒ = =1
⋅ τ ,
4 4ω2τ2 =1.
( )
( )
[ ] [ ( ) ]
( ) ( [ )
t]
B( ) ( [ )
t]
A t v
t B
t A
t x n
3 2 4 exp 3 2 4 3
2 4 exp 3 2 4 )
(
3 2 4 exp 3
2 4 exp )
(
0 3 2 2 4
1 3 4 4
1 2 1
1 2 2
−
−
−
− + +
− +
−
=
⇒
−
− +
+
−
=
⇒
<
±
−
⎟⎟=
⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛− ±
=
−
±
−
= ω τ
τ
若選 x(0) = x0及 v(0) = 0,可得
( ) ( )
[ ]
exp[
( 4 2 3)]
(1 14 )3 1 2 ) 1 3 2 4 ( 3 exp 1 2 ) 1 (
3 1 2 , 1 3 1 2 1 0
3 2 4 3
2 4 )
0 (
1 )
0 (
c t
t t
x
B A
B A
v
B A x
−
−
⎟ −
⎠
⎜ ⎞
⎝⎛ − + +
⎟ −
⎠
⎜ ⎞
⎝⎛ +
=
⇒
−
= +
=
⎩ ⇒
⎨⎧
=
−
− + +
−
=
= +
=
由（1-14c）可看出，over-damped case 一樣沒有振盪現象。做 x – t 圖
Fig. 3 Over-damped 簡諧振盪 withω= s2 −1，阻泥係數 b = 8N⋅s/m。初始條件 x(0) = 1m 及 v(0) = 0.阻力比 critical-damped 更強，原點更回不去。
將三種阻泥振盪，相同ω= s2 −1與初始條件 x(0)=1m、v(0)=0,但是阻泥係數分 別為 b=
2
1 N⋅s/m，b = 4N⋅s/m及b = 8N⋅s/m畫在一起比較（Fig. 4）
Fig. 4 相同自然頻率、初始條件的三種阻泥振盪的比較。
可以看出和 critical-damped 和 over-damped case 因為阻泥太強，都連 原點都回不去。但 over-damped 的圖線在 critical-damped 之上，i.e.,over- damped 的衰減較慢，這是因為 over-damped case 的阻力相對較強造
成 同 一 時 刻 的 速 度 變 得 較 慢 （ 曲 線 的 斜 率 較 小 ）， 這 也 使 得 over-damped 的振子逼近原點所需的時間更長。
（B）2 階常係數非齊次線性 ODE
c b x
g cy by
y"+ '+ = ( )≠0, , 為 constants. （1-15）
定義： 對應於「非齊次」ODE（1-15）的「齊次」ODE
c b cy by
y"+ '+ =0, , 為 constants. （1-16）
稱為（1-15）的「complementary equation 補充方程式」
定理： 令 y1(x)與 y2(x)為補充方程式y"+by'+cy=0在 interval I 的兩個 線 性 獨 立 解 ， 又 令 yp(x) 為 「 任 何 一 個 」 滿 足 非 齊 次 ODE
0 ) ( '
"+by+cy =g x ≠
y 的「特解」，則非齊次 ODE y"+by'+cy =g(x)≠0的「通 解」為 y(x) = c1y1(x) + c2y2(x) + yp(x)
pf. 為了方便我們定義一個「算符 operator」
. . . . ) ( 0 0
) ˆ(
ˆ ˆ ,
2 2
2 2 2
2 2
2 1 1 2
1 2
1
2 2 1 1
2 2
2 2 2 2
d e q x g
dx cy bdy dx
y cy d
dx bdy dx
y c d dx cy
bdy dx
y c d
y y c y c L
dx cy bdy dx
y y d dx c b d dx y d L
that such dx c
b d dx L d
p p p
p
+ +
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ + +
⎟⎟+
⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛ + +
⎟⎟+
⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛ + +
=
+ +
⇒
+ +
⎟⎟ =
⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛ + +
=
+ +
≡
所以要得非齊次 ODE 之通解，就先解「齊次部分」的「補充 ODE」
的通解，再配合一個非齊次 ODE 的特解即可。解「補充 ODE（齊次）」
的通解，是有固定程序的，但是非齊次 ODE 的特解有時要做一些「聰 明的猜測」。
Ex. y"−4y'+4y=9exp(−x)
Sol. 先解齊次部分 y"−4y'+4y=0，由輔助方程式 n2 – 4n + 4 = (n - 2)2 = 0
得重根 n = 2 所以齊次部分的通解為 yh = c1 exp(2x) + c2 x exp(2x).
由 g(x) = 9 exp(-x) 可以猜測 yp 應該也具有相同的形式，可以證明 yp = exp(-x) 就是一個特解：代回原式
) exp(
9 ) exp(
4 ) exp(
4 )
2 exp(
2
x x
dx x x d
dx
d − − − + − = − 。 得證。
所以原 ODE 的通解為 y(x) = c1 exp(2x) + c2 x exp(2x) + exp(-x).
＊ 特解 yp 的解法
特解 yp 的解法大致有兩種，在這裡我們只介紹一種，剩下的你們大 二物理數學會教。「未定係數法 method of undetermined coefficient」或
「聰明猜測法 method of educated guessing」:按照原 ODE 裡的 g(x) 的 長相去猜。
Ex. 1. y"−4y =8x2−2x
Sol. 由於 g(x) 是多項式的形式，而左邊又有 y 的 1 次項，所以猜測 yp = a x2 + bx + c
代回原式
x x
c a bx ax
c bx ax
a c bx ax c
bx dx ax
d
2 8
) 4 2 ( 4 4
4 4 4
2 ) (
4 ) (
2 2
2 2
2 2 2
−
=
− +
−
−
=
−
−
−
= + +
− + +
比較兩邊係數得方程組
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−
=
⇒
= +
=
⇒
−
=
−
−
=
⇒
=
−
1 0
4 2
2 / 1 2
4
2 8
4
c c
a
b b
a a
所以得特解 1
2 2 2+1 −
−
= x x
yp 。再解齊次部分 y"− y4 =0，由輔助方程式 n2 - 4 = (n + 2)(n - 2)＝0
n = 2, or -2, 所以齊次部分的通解為 c1 exp(2x) + c2 exp(-2x)，所以原 ODE 通解為
y(x) = c1 exp(2x) + c2 exp(-2x) 1 2 2 2+1 −
− x x .
Ex. 2. y"+2y'−3y=4exp(2x)
解： 先解齊次部分，由 n2+2n−3=0⇒n=1, −3，所以齊次部分通解 yh =c1exp(x)+c2exp(−3x)
猜 yp = k exp(2x) 代入原式得
5 4 4
5
) 2 exp(
4 ) 2 exp(
3 ) 2 exp(
4 ) 2 exp(
4
=
⇒
=
⇒
=
− +
k k
x x
k x k
x k
所以原式通解為
) 2 5exp(
) 4 3 exp(
) exp(
)
(x c1 x c2 x x
y = + − +
這裡要注意的是，我們看到「非齊次右邊的 g(x)」，exp(2x)，沒有與
「齊次部分的通解」，exp(x)與 exp(-3x)，重複，這樣 yp 就可以按照 g(x)的樣子去猜，不然如果重複，表示 g(x)就是「齊次部分」的解，
代回去會得到 0，而不是非 0 的g( x)。 Ex. 3. y"+2y'−3y =4exp(x)
解： 齊次部分：
) exp(
) 3 exp(
1 , 3 0
3 2
2 1
2
x c x c
y
n n
n
h = − +
⇒
−
=
⇒
=
− +
注意，此處「齊次部分」的解與 g(x)重複，所以 yp 不可以再猜 k exp(x)。依照前面的經驗，我們猜
) exp(
) exp(
2
"
) exp(
) exp(
'
) exp(
x Ax x A y
x Ax x A y
x Ax y
p p p
+
=
⇒
+
=
⇒
=
代回原式得 4Aexp=4exp(x)⇒ A=1⇒ yp =xexp(x).
ex. 4. y"−3y'−4y =−4x−3cos(2x)
解： 齊次部分⇒n2−3n−4=0⇒n=−1, 4
) 4 exp(
)
exp( 2
1 x c x
c
yh = − +
與 g(x)沒有重複，所以猜 yp =ax+b+hcos(2x)+ksin(2x)
此處因為 cos 的微分得 sin 所以除了 cos 還要加 sin。yp代回原式得
⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪
⎨
⎧
+ +
−
=
⇒
=
=
⇒
= +
=
⇒
=
−
= −
⇒
= +
=
⇒
−
=
⇒
−
−
= +
−
− + +
−
−
).
2 25sin(
) 9 2 25cos(
6 4 3
25 , 6
50 3 9
6 8
3 0 4
8 6
4 0 3
3 4
1 4
4
) 2 cos(
3 4 ) 2 cos(
) 6 8 ( ) 2 sin(
) 8 6 ( ) 3 4 ( 4
x x
x y
h k
k h
k h k
h
b a
b
a a
x x
x k
h x k
h a b ax
p
以下表列 g(x)與可能的 yp
g(x) yp
n nx c x
c
c0 + 1 +....+ d0+d1x+....+dnxn
c exp(ax) d exp (ax)
(
c0+c1x+....+cnxn)
exp(ax)(
d0+d1x+....+dnxn)
exp(ax)( )
⎭⎬
⎫
⎩⎨ + ⎧ +
+ cos( )
) .... sin(
1
0 bx
x bx c x
c
c n n
( )
(
0 1 ........)
cos(sin( ))1 0
bx x
e x
e e
bx x
d x
d d
n n
n n
+ + +
+ +
+ +
( )
⎭⎬
⎫
⎩⎨ + ⎧
+
+ cos( )
) ) sin(
exp(
1 ....
0 bx
ax bx x
c x
c
c n n
( )
(
0 1 ........)
cos(sin( ))1 0
bx e
x e x
e e
bx e
x d x
d d
ax n n
ax n n
+ + +
+ +
+ +
非齊次 ODE 裡如果 g(x)是多項的組合，亦即
∑
= + += ( ) ( ) ( ) ...
ˆy g x g1 x g2 x
L i
則可以考慮單項的 ODE Lˆy= gi(x) 對應特解
pi
y 使得原式的特解為
∑
∑
∑
∑
= = == y , Lˆ y Lˆy g(x) g(x)
yp p p p i
i i
i Q
Ex. 5. y"+9y =−exp(−4x)+x2cos(3x)
解： 可以看出「齊次部分」的解與 g(x)沒有重複，所以可以照著 g(x) 去猜，但是由於 g(x)裡的 exp(-4x) 與 x2cos(3x) 線性獨立，所以可
