數學素養

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(1)

數學教材

為支持素養學習所需的 解構與重構

單維彰

國立中央大學師資培育中心與數學系

國立彰化師範大學數學系簡報

民國105年10月28日

(2)

摘要

 「素養」作為12年國教完成後的理想狀態

 「課綱」為此願景安排具體路徑

 「數學領綱」重置學習內容

 以「前導研究」八項議題為綱目

(3)

數學素養

Literacy

Numeracy

Mathematical Literacy

知某數.識某文

(4)

數學素養— PISA 2011 版

在不同情境脈絡中,個人能辨識、做及運用數學 的能力,以及藉由描述、建模、解釋與預測不同 現象,來瞭解數學在世界上所扮演的角色之能力。

數學素養是連續的,即數學素養愈高的人,愈能善用數學 工具做出有根據的判斷,這也正是具建設性、投入性及反 思能力的公民所需具備的。

臺灣 PISA 國家研究中心 (民100)

(5)

數學素養— PISA 2013 版

個人有能力在多樣的情境中去形成、應用與詮譯 數學,這包括了數學化推理與使用數學概念、程 序、事實與工具來描述、解釋與預測現象。

數學素養輔助個人認知到數學在世界上扮演的角色,促成 建設性、積極參與以及能反思的公民所需之周延有據的判 斷與決策。

OECD (2013)

(6)

數學素養— 國民素養版

個人的數學能力與態度,使其在學習、生活與職 業生涯的情境脈絡中面臨問題時,能辨識問題與 數學的關聯,從而根據數學知識、運用數學技能、

並藉由適當工具與資訊,去描述、模擬、解釋與 預測各種現象,發揮數學思維方式的特長,做出 理性反思與判斷,並在解決問題的歷程中,能有 效與他人溝通觀點 。

李國偉、黃文璋、楊德清、劉柏宏 (2013)

(7)

數學素養的思想原則

 數學作為一種語言(支持終身學習)

 重視數學中的文化素材

(對學習者)有意義的學習脈絡

 實踐「以人為本」的核心內涵

(8)

數學作為一種語言

1—4年級:母語的學習

搭配自然語言的日常意義而學習

5—10年級:基礎外語的學習

輔以母語的第二語言學習

以支援終身學習(掃除文盲)為基本原則

11—12年級:專業外語的學習

滿足專業或博雅的需求,不必假扮動機與情境

目標清楚、鷹架完整、講究效率

(9)

林福來,李源順,鄭章華,單維彰 (2013)

數學素養的課程架構

(10)

 知:知道,to  know   「是什麼」

 行:能做,can  do 「做什麼」

除了注意數學課題「是什麼」以外,還要在實用的規 準之下,注意並經常反思,學習某個數學課題要用來

「做什麼」?

(11)

關於理解和連結的後設認知、以及對數學價值 的賞識態度。包括「為什麼要這樣」、「為什 麼是這樣」等問題的理解。「識」很難被翻譯 成英文;除了對應基本的 to understand 以外還 有 make sense of(使產生意義)、be aware of

(意識到)和 have an insight into(洞察)的 意思。

(12)

審視多年以來「凝為塊狀」的數 學課程,按照素養的精神以及數 學學習的邏輯,予以拆解,然後 以學生為本──而不是以數學為 本──重新建立學習脈絡。

數學課程

為導向素養的

解構與重構

(13)

國家教育研究院

「十二年國民基本教育領域綱要內容前導研究」

整合型研究

子計畫三(民國102年12月)

十二年國民基本教育數學領域 綱要內容之前導研究

研究主持人:林福來教授(國立臺灣師範大學)

共同主持人:單維彰教授(國立中央大學)

李源順教授(臺北市立大學)

鄭章華助理研究員(國家教育研究院)

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十二年國民基本教育課程綱要

國民中小學暨普通型高級中等學校

數 學 領 域

(草案)

中華民國105年2月

(15)
(16)

不確定性與數據處理

(17)

五個階段皆有學習表現

d‐I‐1 認識分類的模式,能主動蒐集資料、分類、並做簡單的呈現

與說明。

d‐II‐1 報讀與製作一維表格、二維表格;報讀長條圖與折線圖,並

據以做簡單推論。

d‐III‐2 能從資料或圖表的資料數據,解決關於「可能性」的簡單問

題。

d‐IV‐2 理解機率的意義,能以機率表示不確定性和以樹狀圖分析所

有的可能性,並能應用機率到簡單的日常生活情境解決問題

d‐V‐3 理解事件的不確定性,並能以機率將之量化。理解機率的性

質並能操作其運算,能用以溝通和推論。

(18)

每個年級皆有學習內容

1、2年級:分類與計數

3年級:列聯表(新)

4—10年級:各種呈現數據的圖表

6年級開始探討「可能性」

7年級引進計算機作為處理數據的工具

8年級認識相對與累積次數作為客觀機率的基礎

9年級認識古典機率以及描述數據分布的基本統計量

10年級複合事件與一維、二維的數據分析(百分位數)

11年級條件機率

12年級(選修)(離散型)隨機變數的分布

(19)

數的四則運算

(20)

有效位數與運算的概念性理解

全數加法最多為三位加三位 減法最多為三位減三位

乘除最多為二位乘以二位和三位乘以一位 除法為四位除以二位

 「億以內的數」規範大數的計算應如

「1600×200」與「60000÷400」之形式

(也就是「有效位數」限於三位或二位以內的原則)

從 7 年級起正式引進計算機(器)

輔助計算為次,輔助學習為要

(21)

絕對值與科學記號數字

 國中階段:僅為「記號」:

概念理解與溝通表達

 高中必修:代數性質與基本運算

 高中選修:本身與合成函數的圖形

 計算機:具體呈現科學記號

 常用對數:自然連結科學記號

(任一正數都是10的次方)

(22)

國中實驗作品:指數律

(23)

直角三角比與比例式

(24)

國中階段最劇烈的改變

 特別強調「三角比」而非「三角函數」

 延伸相似三角形的對應邊比值為常數的概念

在紙上畫相似的三角形即可解決問題

 但是,計算機「背誦」了這些特殊的比值

國家教育研究院

「十二年國民基本教育數學領域教材與教學模式研發編輯計畫」

曾明德、鄧家駿《素養導向國民中學數學教 材:直角三角比》

 高中:斜率與TAN,極坐標到鈍角三角比

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國中實驗作品:三角比

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比、比例式、三連比

六年級引進比與比值,做算術層次的推論

七年級寫出比例式,做代數層次操作

刪除繁分數的問題

可解遞移比例,不做三連比概念

八年級藉直角三角形的三邊關係,引進 三連比符號以及具體的擴約操作

九年級正式學習三連比以及三角比

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論證

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專注在小學階段

 在「平面幾何」之外

 以「推理」代論證

四邊形內角和為360度

三角形不可能有兩鈍角

 倚賴教師之專業能力做正確而適當的拿捏

(29)

中學以上

 要求「觀察」、「臆測」與「親手做」

 參考教具

 先「觀察」發現規律性,然後數學方法

遞迴關係

數學歸納

二維數據的相關係數

 還有很大的增強空間

(30)

空間概念

(31)

國中與國小重複,與高中斷裂

 5—10 年級的漸進發展

 5 年級使用實體工具測量生活環境裡的互相 垂直的面,推論和觀察互相平行的面,在長 方體上認識線與面的垂直與平行關係

古欣怡、林美曲 《素養導向國民小學數學教 材:正方體與長方體》

 9 年級在長方體上理解兩面的垂直與平行關 係,認識兩邊之間的垂直、平行和歪斜關係,

並能辨識與理解線與面的垂直關係

(32)

支援3D軟體所需的基礎

 透視圖,直覺與美術

 示意圖,圖像符號之慣例

 視圖,工程的溝通工具

 正方體積木堆疊的三視圖

 長方體、球、圓柱的截面

 旋轉體,薄片的堆積

(33)

國小實驗作品:正方體與長方體

(34)
(35)

高中的技術性課題

(36)

不在主要脈絡上的特殊技術

 線性規劃:必修數乙

 代數基本定理與勘根定理:必修選修

 轉移矩陣:11A(限二階)

 空間向量的外積:11A

 信賴區間:刪除(連續型隨機變數)

 拉格朗日插值多項式:刪除

 有理根檢定:刪除

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線性代數

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從位移向量轉向 位置向量

 轉移向量教學的目標

不當作解決平面幾何問題的利器

支持空間向量的學習

 線性組合:矩陣乘法與線性代數的基本概念

 向量成為將一點「傳送」到另一點的「交通 工具」

線性代數成為計算機科學﹑統計學、圖學的 共同基礎,「數據分析」的最基本工具

(39)

多項式微積分

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多項式教學方向的轉移

 從代數「式的運算」轉向函數「變化關係」

 聚焦在函數圖形的大域與局部特徵

 從二次提升到三次函數

 「社會組」概念的轉變

 「數學乙」含微積分基礎課程

(41)

素養與否,課程未逮

在於是否在「知道」與「能做」之外,還 能帶領學生「識」。而識的媒介與深度,

仍然以實用為依歸,同時要在學生可知與 能做的範圍裡面進行,倘若脫離了實用原 則,變成為數學的學術內容而學習,就不 再符合素養的期待了。

(42)

唯有教師,才能「導向素養」

 講「人話」

例:兩邊之「差」

 緊扣「常識」

例:負即相反,負負便是相反再相反

 抓住「需求」

不僅依據學術內容而教學,學過就要經常用

 給學生「親手做」的機會

(未必等他自己發現)

(43)

請指教

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