數學教材
為支持素養學習所需的 解構與重構
單維彰
國立中央大學師資培育中心與數學系
國立彰化師範大學數學系簡報
民國105年10月28日
摘要
「素養」作為12年國教完成後的理想狀態
「課綱」為此願景安排具體路徑
「數學領綱」重置學習內容
以「前導研究」八項議題為綱目
數學素養
Literacy
Numeracy
Mathematical Literacy
知某數.識某文
數學素養— PISA 2011 版
在不同情境脈絡中,個人能辨識、做及運用數學 的能力,以及藉由描述、建模、解釋與預測不同 現象,來瞭解數學在世界上所扮演的角色之能力。
數學素養是連續的,即數學素養愈高的人,愈能善用數學 工具做出有根據的判斷,這也正是具建設性、投入性及反 思能力的公民所需具備的。
臺灣 PISA 國家研究中心 (民100)
數學素養— PISA 2013 版
個人有能力在多樣的情境中去形成、應用與詮譯 數學,這包括了數學化推理與使用數學概念、程 序、事實與工具來描述、解釋與預測現象。
數學素養輔助個人認知到數學在世界上扮演的角色,促成 建設性、積極參與以及能反思的公民所需之周延有據的判 斷與決策。
OECD (2013)
數學素養— 國民素養版
個人的數學能力與態度,使其在學習、生活與職 業生涯的情境脈絡中面臨問題時,能辨識問題與 數學的關聯,從而根據數學知識、運用數學技能、
並藉由適當工具與資訊,去描述、模擬、解釋與 預測各種現象,發揮數學思維方式的特長,做出 理性反思與判斷,並在解決問題的歷程中,能有 效與他人溝通觀點 。
李國偉、黃文璋、楊德清、劉柏宏 (2013)
數學素養的思想原則
數學作為一種語言(支持終身學習)
重視數學中的文化素材
(對學習者)有意義的學習脈絡
實踐「以人為本」的核心內涵
數學作為一種語言
1—4年級:母語的學習
搭配自然語言的日常意義而學習
5—10年級:基礎外語的學習
輔以母語的第二語言學習
以支援終身學習(掃除文盲)為基本原則
11—12年級:專業外語的學習
滿足專業或博雅的需求,不必假扮動機與情境
目標清楚、鷹架完整、講究效率
林福來,李源順,鄭章華,單維彰 (2013)
數學素養的課程架構
知:知道,to know 「是什麼」
行:能做,can do 「做什麼」
除了注意數學課題「是什麼」以外,還要在實用的規 準之下,注意並經常反思,學習某個數學課題要用來
「做什麼」?
關於理解和連結的後設認知、以及對數學價值 的賞識態度。包括「為什麼要這樣」、「為什 麼是這樣」等問題的理解。「識」很難被翻譯 成英文;除了對應基本的 to understand 以外還 有 make sense of(使產生意義)、be aware of
(意識到)和 have an insight into(洞察)的 意思。
審視多年以來「凝為塊狀」的數 學課程,按照素養的精神以及數 學學習的邏輯,予以拆解,然後 以學生為本──而不是以數學為 本──重新建立學習脈絡。
數學課程
為導向素養的解構與重構
國家教育研究院
「十二年國民基本教育領域綱要內容前導研究」
整合型研究
子計畫三(民國102年12月)
十二年國民基本教育數學領域 綱要內容之前導研究
研究主持人:林福來教授(國立臺灣師範大學)
共同主持人:單維彰教授(國立中央大學)
李源順教授(臺北市立大學)
鄭章華助理研究員(國家教育研究院)
十二年國民基本教育課程綱要
國民中小學暨普通型高級中等學校
數 學 領 域
(草案)
中華民國105年2月
一
不確定性與數據處理
五個階段皆有學習表現
d‐I‐1 認識分類的模式,能主動蒐集資料、分類、並做簡單的呈現
與說明。
d‐II‐1 報讀與製作一維表格、二維表格;報讀長條圖與折線圖,並
據以做簡單推論。
d‐III‐2 能從資料或圖表的資料數據,解決關於「可能性」的簡單問
題。
d‐IV‐2 理解機率的意義,能以機率表示不確定性和以樹狀圖分析所
有的可能性,並能應用機率到簡單的日常生活情境解決問題
d‐V‐3 理解事件的不確定性,並能以機率將之量化。理解機率的性
質並能操作其運算,能用以溝通和推論。
每個年級皆有學習內容
1、2年級:分類與計數
3年級:列聯表(新)
4—10年級:各種呈現數據的圖表
6年級開始探討「可能性」
7年級引進計算機作為處理數據的工具
8年級認識相對與累積次數作為客觀機率的基礎
9年級認識古典機率以及描述數據分布的基本統計量
10年級複合事件與一維、二維的數據分析(百分位數)
11年級條件機率
12年級(選修)(離散型)隨機變數的分布
二
數的四則運算
有效位數與運算的概念性理解
全數加法最多為三位加三位 減法最多為三位減三位
乘除最多為二位乘以二位和三位乘以一位 除法為四位除以二位
「億以內的數」規範大數的計算應如
「1600×200」與「60000÷400」之形式
(也就是「有效位數」限於三位或二位以內的原則)
從 7 年級起正式引進計算機(器)
輔助計算為次,輔助學習為要
絕對值與科學記號數字
國中階段:僅為「記號」:
概念理解與溝通表達
高中必修:代數性質與基本運算
高中選修:本身與合成函數的圖形
計算機:具體呈現科學記號
常用對數:自然連結科學記號
(任一正數都是10的次方)
國中實驗作品:指數律
三
直角三角比與比例式
國中階段最劇烈的改變
特別強調「三角比」而非「三角函數」
延伸相似三角形的對應邊比值為常數的概念
在紙上畫相似的三角形即可解決問題
但是,計算機「背誦」了這些特殊的比值
國家教育研究院
「十二年國民基本教育數學領域教材與教學模式研發編輯計畫」
曾明德、鄧家駿《素養導向國民中學數學教 材:直角三角比》
高中:斜率與TAN,極坐標到鈍角三角比
國中實驗作品:三角比
比、比例式、三連比
六年級引進比與比值,做算術層次的推論
七年級寫出比例式,做代數層次操作
刪除繁分數的問題
可解遞移比例,不做三連比概念
八年級藉直角三角形的三邊關係,引進 三連比符號以及具體的擴約操作
九年級正式學習三連比以及三角比
四
論證
專注在小學階段
在「平面幾何」之外
以「推理」代論證
四邊形內角和為360度
三角形不可能有兩鈍角
倚賴教師之專業能力做正確而適當的拿捏
中學以上
要求「觀察」、「臆測」與「親手做」
參考教具
先「觀察」發現規律性,然後數學方法
遞迴關係
數學歸納
二維數據的相關係數
還有很大的增強空間
五
空間概念
國中與國小重複,與高中斷裂
5—10 年級的漸進發展
5 年級使用實體工具測量生活環境裡的互相 垂直的面,推論和觀察互相平行的面,在長 方體上認識線與面的垂直與平行關係
古欣怡、林美曲 《素養導向國民小學數學教 材:正方體與長方體》
9 年級在長方體上理解兩面的垂直與平行關 係,認識兩邊之間的垂直、平行和歪斜關係,
並能辨識與理解線與面的垂直關係
支援3D軟體所需的基礎
透視圖,直覺與美術
示意圖,圖像符號之慣例
視圖,工程的溝通工具
正方體積木堆疊的三視圖
長方體、球、圓柱的截面
旋轉體,薄片的堆積
國小實驗作品:正方體與長方體
六
高中的技術性課題
不在主要脈絡上的特殊技術
線性規劃:必修數乙
代數基本定理與勘根定理:必修選修
轉移矩陣:11A(限二階)
空間向量的外積:11A
信賴區間:刪除(連續型隨機變數)
拉格朗日插值多項式:刪除
有理根檢定:刪除
七
線性代數
從位移向量轉向 位置向量
轉移向量教學的目標
不當作解決平面幾何問題的利器
支持空間向量的學習
線性組合:矩陣乘法與線性代數的基本概念
向量成為將一點「傳送」到另一點的「交通 工具」
線性代數成為計算機科學﹑統計學、圖學的 共同基礎,「數據分析」的最基本工具
八
多項式微積分
多項式教學方向的轉移
從代數「式的運算」轉向函數「變化關係」
聚焦在函數圖形的大域與局部特徵
從二次提升到三次函數
「社會組」概念的轉變
「數學乙」含微積分基礎課程
素養與否,課程未逮
在於是否在「知道」與「能做」之外,還 能帶領學生「識」。而識的媒介與深度,
仍然以實用為依歸,同時要在學生可知與 能做的範圍裡面進行,倘若脫離了實用原 則,變成為數學的學術內容而學習,就不 再符合素養的期待了。
唯有教師,才能「導向素養」
講「人話」
例:兩邊之「差」
緊扣「常識」
例:負即相反,負負便是相反再相反
抓住「需求」
不僅依據學術內容而教學,學過就要經常用
給學生「親手做」的機會
(未必等他自己發現)