(3)有理數有

Ch 1.1 實數 一年____班 座號：____ 姓名：

重點 1：數系 1.數系：

註：自然數(N)又稱為正整數(Z ) ⁺

2.數線：平面上取一點為原點 O，坐標為 0，令一單位長度為 1，規定原點右方為正，左方為負，形成數線，如圖

註：(1)數線三元素為：原點原點原點、方向原點 方向方向、單位長方向 單位長單位長 單位長 (2)數線上的每個點都代表一個實數實數實數實數

重點 2：實數－有理數與無理數 1.有理數：凡是可以表示成分數

m

n 形式的數(m，n 為整數，且 m

≠

⇒有理數包含：



整數(正整數、零、負整數) 分數(真分數、假分數、帶分數) 小數(純小數 、混小數)

或



整數(正整數、零、負整數) 有限小數

循環的無限小數

2.有理數性質：

(1)有理數都可以化成有限小數或循環的無限小數等 (2)有理數的表示法不唯一不唯一不唯一不唯一，如1 2 3

2 = = =4 6 L等。常化簡為最簡分數最簡分數最簡分數最簡分數(分子，分母為整數且互質)

(3)具封閉性封閉性封閉性封閉性：任意兩個有理數作加、減、乘、除(除數不可以為 0)的運算後，仍然為有理數，稱為封閉性封閉性封閉性封閉性 註：兩個整數相加、相減、相乘，得到的結果還是整數，但兩個整數相除不一定是整數

即整數對加、減、乘法具有封閉性，但是除法不具有封閉性 (4)有理數相等：當兩有理數a= c

b d 時，bd ≠ 0，則 ad＝bc

例 2.1：試判斷下列何者是正整數、整數、有理數、無理數、實數，並填入空格中 (A) 2355 (B)－80.0 (C)－3.75 (D) 15

2

8

5 (F)－

7

11 (G)圓周率

π

16 25

解：(1)正整數有：_______ (2)整數有：_________

(3)有理數有：_______________ (4)無理數有：___________

(5)實數有：_________________

例 2.2：設 a，b 皆為整數，則下列哪些敘述是正確的？

(1) a＋b 為整數 (2) a－b 為整數 (3) ab 為整數 (4) b

a為整數 虛數(I)

正整數(Z ) ⁺ 零 負整數(Z ) ⁻

整數( Z ) 分數 小數

有理數(Q) 無理數( Q′)

實數(R)

複數(C)

N

Z Q R

分數 小數

Q′

C

+ I Z

例 2.3：若兩個有理數 99 45，

1 2x+

x 相等，試求整數 x 之值

重點 3：有理數與有限小數、循環小數

1.有理數必可化為有限小數有限小數有限小數(除得盡)或循環有限小數 循環循環循環的無限的無限的無限的無限小數小數小數小數(除不盡)

2.有限小數：最簡分數中，分母只含 2 或 5 的質因數，則此最簡分數可化為有限小數 3.循環的無限小數：重複出現的同一串數字，稱為「循環節循環節循環節」循環節 ，其個數稱為「循環節循環節循環節數循環節數數」 數 4.有限小數或循環小數都可以化為分數，故循環小數為有理數

例 3.1：將下列分數化為有小數？若為循環小數時，指出其循環節？

(1)25

7 (2) 32

5 (3) 48

3 (4) 11 35

例 3.2：若將 7

3化為小數，則小數點以下第 99 位數字為何？

例 3.3：試將下列小數化為最簡分數：

(1) 0.36 (2)

0 . 32

0 . 8 32

3 . 18

重點 4：有理數的稠密性(denseness) 1.有理數的稠密性定義：

任意兩個有理數之間至少有一個有理數存在。即相異兩有理數之間有無限多個有理數，故有理數在數線上是非常 稠密的，稱此性質為有理數在數線上具有稠密性稠密性稠密性稠密性

註：在數線上，兩個整數之間不一定有整數，但它們的中點為有理數有理數有理數有理數最佳代表點 即設 a，b 是兩有理數，且 a＜b，則中點

2 a b+

是介於 a，b 之間的有理數 (因為 a＜

2 a b+

＜b )

⇒任意兩個有理數之間有無限多個有理數無限多個有理數無限多個有理數無限多個有理數。因此有理數在數線上是非常稠密的，稱為有理數在數線上有稠密性稠密性稠密性 稠密性 2.整數的離散性離散性離散性：若 x，y∈Z，x離散性

≠

3.實數的三一律：數線上的數都是實數，比較實數的大小，滿足三一律

⇒若 a，b 皆為實數，則 a＜b、a＝b、a＞b 三種情形，只有一種會發生，稱為三一律

例 4.1：下列哪些數是有理數？

(1)0.75 (2)－0.

5 7

2 (4) 0 (5)－3

例 4.2：試在1 4，3

8之間找出三個有理數，並說明可找到多少個有理數？

重點 5：無理數

1.意義：凡是無法表示成分數 m

n 形式的數(m，n 為整數，且 m

≠

註：常見的無理數有

2

π

2.性質：

(1)數線上不是有理數之點，稱為無理數無理數無理數，故數線上的數(稱為實數，數線又稱實數線)是由有理數、無理數所組成 無理數 (2)設 a，b 為有理數，若 a＋b

2

3.無理數的近似值求法：

(1)電子計算機法 (2)查表法 (3)十分逼近法 (4)直式開方法 4.無理數在數線上的表示法：如右圖

(1)利用平方根的尺規作圖

(2)利用母子相似三角形的比例性質

5.可以利用尺規作圖，將數表示在數線上的數有：

(1)所有的有理數

(2)無理數型如ⁿa ，其中 a＞0，n＝2^k

，

例 5.1：試在數線上畫出

2

2

2

例 5.2：已知 a，b 是有理數，且(2－

2

2

2

例 5.3：利用計算機、直式開方法，求 10 的近似值。(以無條件捨去法求至小數第一位)

例 5.4：下列的敘述哪些是正確的？(多選)

(1)無理數加無理數也是無理數 (2)無理數乘無理數也是無理數

(3)不為零的有理數乘上無理數是無理數 (4)有理數減無理數必是無理數 (5)無理數除以無理數也是無理數

重點6：實數的絕對值

1.定義：實數 x 的絕對值，記為x，讀做 x 的絕對值，定義為x＝





<

−

≥ 0 ,

0 ,

x x

x x

當 當

2.幾何意義：

(1)對任意實數 x，則x≥ 0

(2)若數線上 P 點坐標是 a，則a＝a－0表示 P 點與原點的距離 (3)數線上兩相異點 A(a)，B(b)的距離 AB ＝a－b也是 a 與 b 的距離

3.絕對值的性質：

(1) 0＝0，若 a ≠ 0，則a＞0 (2) a＝－a (3) ab＝ab

(4) b a ＝

b

a ，b ≠ 0 (5) a－b＝





≤

−

≥

−

b a a b

b a b a

當

， 當

，

A B

a b

| a－b |

B A

b a

| a－b |

P

P O

O

例 6.1：試說明下列各式的幾何意義，並求出其 x 之值：

(1) x＝3 (2) x－1＝3

例 6.2：設 a，b 都是實數，若方程式x－a＝b 之解為 x＝－1 或 x＝7，試求 a，b 之值

重點 7：區間的表示法與絕對值不等式

1.意義：設 a，b 為實數，a，b 為端點且 a＜b，規定：

(1)開區間：(a，b)＝{x | a＜x＜b，x∈R}

(2)閉區間：[a，b]＝{x | a ≤ x ≤ b，x∈R}

(3)半閉區間(半開區間)：

[a，b)＝{x | a ≤ x＜b，x∈R}

(a，b]＝{x | a＜x ≤ b，x∈R}

(4)只有一端點 a 之區間表示：

(－∞，a)＝{x | x＜a，x∈R}

(－∞，a]＝{x | x ≤ a，x∈R}

(a，∞)＝{x | x＞a，x∈R}

[a，∞)＝{x | x ≥ a，x∈R}

(－∞，∞)＝{x | x∈R}

2.解的範圍：設 k 是正實數

(1)若x＝k，則 x＝k 或 x＝－k (2)若x≤ k，則 k− ≤ ≤x k (3)若x≥ k，則 x≥k或 x≤ −k

例 7.1：試以區間表示下列各範圍涵蓋的數：

(1) (2) (3) (4)

(5) 92≤ x＜107 (6) x ≥ 2017

a b

[a，b)

°

a b

(a，b]

°

a (- ∞，a)

°

a (- ∞，a]

a [a，∞)

a (a，∞)

°

a b

(a，b)

° °

a b

[a，b]

－1 0 1 2 －2 －1 0 1 2 0 1 2 0 1 2

例 7.2：試求下列各不等式中 x 的範圍，並在數線上標示其解 (1) x－1＜3 (2)x＋3＞2 (3) x－2≥ 3

例 7.3：解不等式2x－1＜3，並在數線上標示其解

例 7.4：某鳳梨酥包裝標示重量為 50g ± 5g，若假設商品實際重量為 x 公克，試求 a，b 滿足x－a≤ b