1 實數

1 實數

這一課想要說明實數究竟「是」什麼？數學課本通常寫著「實數分為有理數和無理數」。作為 陳述語句，這句話當然是對的，但是作為敘事語句，特別是教學上的敘事，它卻有邏輯語病：

因為它假設讀者已經知道什麼是「實數」，但其實讀者（學生）此時並不知道什麼是實數。就 好像「人分為（生理上的）女人和男人」這句話只有在讀者已經知道什麼是「人」的前提下才 有意義。如果數學課本反過來寫「有理數和無理數合稱為實數」，那就好像說「女人和男人合 稱為人」，亦無不可，但是它的前提就得假設讀者已經知道什麼是有理數？什麼是無理數？

我相信讀者此時的狀態是：「有理數這東西我明白，但無理數是什麼？」¹。大家都會人云 亦云地說：「不是有理數的，就是無理數」。問題就在這裡：不是有理數的「什麼東西」才是 無理數呢？例如「人」當然不是有理數，難道「人」就是無理數嗎？這個觀念當然是荒唐的。

正確的觀念是「不是有理數的實數，就是無理數」。所以真正要釐清的問題是：實數「是」什 麼？

實數是測量所得的數

我們在國中一年級認識了數線，現在該進一步了解它了。數線觀念要從一條直線（兩端皆可無 限延伸），和一條線段開始，如下圖。那一條線段的長度不是重點，可長可短，重點是它一經 選定，就得固定下來不能改變。那條固定的線段稱為單位線段，它的長度稱為單位長。

在直線上任取一點，作為數線的參考點，又稱為原點（Origin），通常記作 O（Origin 的第一個 字母）。然後選擇一個方向，作為數線的正向，在正向的那一端畫上箭頭標記；如果是水平數 線，則正向通常在原點的右側，如下圖。

在數線上任取一點，如下圖的

P，用單位線段去「度量」

² 線段 OP，可得到線段 OP 的長為單位 線段的「倍數」³，記作|OP|，此倍數|OP|即為正實數。所以關於實數的最基本概念便是「實數 是測量所得的數」。

1 這個句型套用羅大佑〈戀曲 1980〉的歌詞：「愛情這東西我明白，但永遠是什麼？」。

2 此「度量」為動詞，語音是「度良」。本文的「度量」與「測量」為同義詞。

3 「倍數」其實需要嚴謹的數學定義，請同學現在就以生活中的經驗來理解吧。

古代的東方和西方文明，都區分了「度量」的數與「點數」⁴ 的數。「點數」用在可以一個 一個區隔的對象，例如幾個人？一天有幾次車班？鞦韆盪了幾回？東方和西方都稱「點數」的 結果為數（number），因此古代所謂的「數」都是整數。相對地，「度量」用在無法一個一個 區隔的對象，例如有多長？有多重？有多久？有多熱？西方稱「度量」的結果為量（quantity），

古中文的說法之一則為度。徐光啟5 在《幾何原本》序裡寫著：

幾何原本者，度數之宗。⁶

意思是說《幾何原本》這部書，可同時作為「點數」和「度量」方 法的基礎。可見古代的「數」演化為今天的整數，「量」演化為今 天的實數；「數」與「量」以前是兩種觀念，如今整合在一起了。

可以用整數來「點數」的對象，稱為離散量。需要用實數來

「度量」的對象，稱為連續量。

[隨堂練習 1]

請為離散量、連續量各舉兩個例子；必須有別於前面課文已經舉過 的「點數」和「度量」例子。

實數即數線上所有點的坐標

在數線上，當點

P 在原點的正向那一側時，規定它在數線上的坐標

為實數|OP|；否則它的坐標為|OP|的相反數，亦即 |OP|。以前面

的

P 點為例，若線段 OP 是單位線段的三倍長，則

|OP| 3，故

P 點坐標為 3，我們也可以在數

線上標記實數 3。另取一點 Q，使它在原點的正向之反側，且線段 OQ 是 ¹

7 條單位線段的 5 倍 長，則| | ⁵

OQ 7，而

Q 點坐標為

⁵

7。如下圖。

所以實數說來也很簡單，就是將一條直線裝配成數線之後，線上所有點的坐標。數線就是 根據數學觀念所造的一把「尺」，我們用這把尺來度量天下的連續量。

在「數線」這把尺上，從

O 開始（包含它）向左、向右每隔一單位長所標示的點，稱為整

數點，我們知道整數點的坐標是 , 2, 1,0, 1, 2, 。要特別說明的是：正整數點的坐標是實數 裡的正整數，而不是「點數」離散量的正整數。小學老師曾經要我們做一種功課，讓我們重溫 一次童年的美好回憶吧。

4 此「點數」為動詞，語音是「點鼠」。

5 徐光啟（1562-1633）是明朝萬曆年間的進士，中國第一批天主教徒。他與利瑪竇神父合作翻譯的《幾何原本》

（前六卷）出版於西元1607 年，是西方數學進入中文世界的第一部書。

6 碑文照片由作者攝於上海市徐家匯的「徐光啟紀念館」。

[隨堂練習 2]

(1) 以公分為單位，用尺量出前面「單位線段」的長度。(2) 用直尺畫一條 2 公分長的線段。

做第 (1) 小題時，有沒有疑惑：該準到小數點下第幾位？做第 (2) 小題時，會不會擔心：線 段的兩端點「真的」對準直尺的刻度0 和 2 嗎？妳／你敢保證畫出來的線段長度真的是 2.000…

公分嗎？妳／你或許不記得了，只要小朋友測量出「接近」的答案，小學老師就打勾了，因為

「測量必有誤差」。這就是整數2 和實數 2 的差別：用整數 2 來「點數」離散量的時候，是沒 有誤差的，但是用實數2 來「度量」連續量的時候，卻永遠無法避免誤差。

符號

a

以及

n

我們以後常有機會說「n 是正整數」還有「a 或 a」這樣的句型，數學是一種愛用符號來簡化 文字的語言，所以我們正式介紹以下兩種符號：

⚫

a 讀作「正負 a」，它是「a 或

a」句型所對應的數學語言；

⚫

n

讀作「n 屬於 N」，它是「n 是正整數」句型所對應的數學語言；同理n m, 是「n、

m 都是正整數」對應的數學語言。符號

表示正整數，它來自自然數（Natural number）的 首字母；在這本書裡，自然數和正整數是同義詞。⁷

[隨堂練習 3]

(1) 請將「a 或 a的絕對值都等於 (2) 請問「若n m, 則

n m

」這句話

a 的絕對值」用數學符號寫出來。

對不對？簡述理由。

數線上的有理點

當數線上一點

X 與原點的距離

|OX|為 ¹

m 條單位線段的

n 倍長，X 的坐標（也就是它所對應的實

數）就是 ⁿ

m或 ⁿ

m，其中

n 和 m 當然都是正整數。在這種情況下，我們說 X 是有理點。另外規

定原點也是有理點，它的坐標是0。用數學符號語言來寫，就是：

數線上的有理點坐標為 ⁿ

m或0，其中m n, 。 當數線上一點

X 的坐標是 x 時，記作

X x( )。

因為整數點就是m 1的情形，所以整數點也都是有理點。當m 2，也就是用¹

2單位長畫

出來的有理點，稱為二分點。同理，用¹

3單位長、¹

4單位長畫出來的有理點，分別稱為三分點、

四分點，依此類推。下圖示範三分點和四分點。

7 有些書把自然數定義成正整數或零，但是本書不採此定義。

因為實數就是數線上的點坐標，所以 ⁿ

m和 0 當然也都是實數。這些特殊的有理點坐標，

稱為有理數。顯然有些有理數所對應的點是重疊的，例如 ² 2、³

3、⁴

4 所對的有理點都跟 1 所對 的整數點重疊。在此情況下，我們就說這些數彼此相等，也就是 ^{2 3 4} 1

2 3 4 。

讀到這裡，同學或許有一個疑問：有理數不就是以前學過的「分數」嗎？簡單地說，「有 理數」與「分數」真的差不多可以當作同義詞，同學們不妨將「有理數」當作學名，「分數」

當作俗稱。如果一定要挑出它們的差異，只能說整數 1、0、1、2 等，一般而言並不被認為是 分數，但它們都是有理數。

數線不全是有理點

如果數線上的所有點都是有理點，或者說如果所有實數都是有理數，那麼就根本不會出現有理 數這個觀念。哲學的辯證論說得好：「每一個概念，都是因為與它相對之概念的存在而存在的。」

數線上不全是有理點，所以才有必要定義有理點。最著名的「非有理點」例子就是 ( 2)

P

。 讓我們先確認數線上真的有

P

( 2)這個點。

如右圖，在數線上，過點A(1)作垂線，在其上 取點

B 使得 AB 線段長等於單位長，則 OAB 是

一個等腰直角三角形，兩股長皆為1；根據畢氏 定理，斜邊

OB 長為 2 。以 O 為圓心，OB 為

半徑畫圓，交數線的正側於

P 點。則 | OP

| 2， 所以點

P 的坐標是 2 ，記作 ( 2) P

。

同學們肯定早就「聽說」 2 不是有理數，可能也看過所位的「證明」。可是，請試試看以 下「不掉書袋」的論述，也許會有不同的感受。首先，很明顯地1 2 2 ，故已經確定 2 不 是整數。如果 ⁿ

m是最簡正有理數，意思是說m n, 且

m、n 互質。所謂互質就是沒有共同的質

因數。重點是：如果

m、n 互質，則 m 、

²

n 依然互質，

^{2 8} 例如 2、3 互質，它們的平方 4、9 也 互質，同樣地，1697、1200 互質，它們的平方 1697²、1200²也互質。可見如果ⁿ

m是最簡正有 理數，

2 2

n

m 依然是最簡有理數。既然是最簡有理數，當然不能約分。既然不能約分，更不能約分 為2。結論是：「所有最簡正有理數的平方都不等於 2」，也就是說「所有最簡正有理數都不等 於 2 」。因為有理數都可以約分成最簡有理數，所以可推論「所有有理數都不等於 2 」，這 當然就是說「 2 不是有理數」。換句話說，

P

( 2)不是有理點。

8 這是因為「平方」並不會增加新的質因數。例如1200 2 3 5^{4 2}，它有三個不同的質因數2、3、5。作了平方 之後1200² 2 3 5^{8 2 4}，不同的質因數還是只有 2、3、5，只是次方的指數都變成兩倍。由此可見，如果 m、n 本來就沒有共同的質因數，則m²、n²還是沒有共同的質因數。換句話說，如果m、n 互質，則 m²、n²也互質。

同樣的理由，我們可以論述 3、 5、 7 、…、 p 、… 都不是有理數，其中 p 是質數。

因此

p 在數線上的對應點，都不是有理點。

無理數是「揀剩的」

由前節論述可知，數線上不全是有理點。數線上的點，扣除有理點之後，都稱為無理點。無理 點的坐標也是實數，而這些數就是從實數揀出有理數之後，剩下的數。它們就稱為無理數。

無理數當中，既沒有 0 也沒有 1，沒有我們熟悉的整數和分數。在國中畢業時，我們唯一 認識的一族無理數就是平方根 a 其中 a 不是「完全平方數」。此外，我們還認識一個特殊的 無理數：圓周率 。它的定義是

圓周長 直徑

它的近似值是3.14 或 3.1416，而它是一個無理數。這個事實，還沒有人能用中學程度的數學知 識解釋清楚，所以學生都是被「告知」的。

實數成為一個完整的算術體系，意思是說：兩個實數加、減、乘、除的結果，都仍然是實 數。⁹ 這個事實，其實哲學成分大於數學成分，我們不再加以論述。有趣的是，有理數也自成一 個算術的體系，意思是說：兩個有理數加、減、乘、除的結果，都仍然是有理數。這個事實不 難論述，請讀者自行練習。相對地，因為無理數是從實數中扣除有理數的「剩數」，所以它們 並不成為算術體系，也就是說兩個無理數加、減、乘、除的結果，未必還是無理數，也未必不 是。這個事實並不重要，同學們稍予留意即可。

9 這句話內含一個約定：兩個實數的加、減、乘、除都是「合法」的算式，所以不必贅述「除數」不等於 0；除數 為0 的除式本來就不合法，已經被排除了。

作業 1

班級座號＿＿＿＿＿＿＿＿ 姓名＿＿＿＿＿＿＿＿

1. 如果 p、q 是有理數，試論述 p q 也是有理數。

2. 如果 u 是無理數，則1 u能肯定是有理數還是無理數嗎？為什麼？

3. 如果 u、v 是無理數，試論述u v 未必是無理數。

4. 數學界慣用 （Quotient 的首字母）表示「有理數」。請用 和 這些符號寫出「p 是有 理數」和「p、q 都是有理數」這兩個句子。

科技工具

同學們在課堂上應該學過計算機（手持式電算器）的操作，也學到了數 字的科學記號。本文附帶一則計算機「科學記號模式」的教學影片，網 址如下，或掃描右邊的二維條碼。若有需要，請跟隨網頁的指引，學習 先備的計算機操作法。

http://shann.idv.tw/video/210831.html