高雄市明誠中學 高二數學平時測驗 日期：93.04.23 班級
範
圍 2-3 排列(2)+ANS
座號
姓 名 一、填充題(每格 10 分)
1. 某公司在一棟大樓的第二樓與第三樓各有 7 個房間，如果要規畫二樓的 7 個房間中之三 間給甲、乙、丙三個科長當研究室，有 種方法；如果二，三樓同時使用，但 二樓選兩間當研究室，而三樓裡選一間，有 種方法。
答案：210；882 解析：
(1)三個人在 7 個房間中，選 3 間當研究室，有 P73= 7 × 6 × 5 = 210 種選法 (2)c甲、乙兩人選二樓，丙選三樓的選法，有 P × P = 294
d甲、丙兩人選二樓，乙選三樓的選法，有 P × P = 294 e乙、丙兩人選二樓，甲選三樓的選法，有 P × P = 294 所以共有 294 × 3 = 882 種選法
7 2
7 1 7 2
7 1 7 2
7 1
2. 三對夫婦 ， ， ，6 人圍圓桌而坐，
(1) 相鄰，則坐法有 Aa Bb Cc
Aa 種。 (2)Bb不相鄰，則坐法有 種。
答案：(1) 48 (2) 72 解析：
(1) Aa 視為 1 人，與其他 4 人環狀排列，有 5
5！種坐法 ∴ 共有 5
5！．2! = 48 種坐法
(2)A， ， C ， 4 人環狀排列，有a c 4
4！種坐法
4 個空位選 2 個排B， 有 4．3 種坐法（如右圖）
∴ 共有
b 4
4！．4．3 = 72 種坐法
3. 由二年 1 班至 8 班的八個班級中，任選出三個班級代表學校參加合唱比賽，
(1)若選出的三個班級號碼均相連，則其選法有 種。
(2)若選出的三個班級號碼兩兩均不相連，則其選法有 種。
【註】2 與 3 相連，1 與 8 不相連。
答案：(1)6 (2)20 解析：
(1)在 8 個班級中，選 3 個相連號碼的方法
有(1，2，3)，(2，3，4)，(3，4，5)，(5，6，7)，(6，7，8)共 6 種選法 (2)
8 個班級選 3 個，有 5 個空位，可視為 5 個空位的前後共 6 個間隔任取 3 個 ∴ 有
! 3
6
P3
= 20 種
4. 警報器長鳴一次須三秒，短鳴一次須 1 秒，鳴叫之間間隔 2 秒，則 30 秒可作成 種不同的信號。
答案：80 解析：
設長鳴 x 次，短鳴 y 次，則間隔有 x + y − 1 次 3x + y + 2(x + y − 1) = 30 5x + 3y = 32
⇒ ⇒
x 1 4 y 9 4 有
4 4
8 9 1
10
！
！
！
！
！！ + = 10 + 70 = 80 種
5. 二年級甲、乙、丙三班的班長與副班長共六位，
(1)六位排成一列，排列數為 。
(2)六位排成一列，同班二位不相鄰的排列數為 。 (3)六位圍正三角桌而坐，每邊二人，則坐法有 種。
(4)排成前後二列三行，同班二位同行之排列數為 。 答案：(1) 720 (2) 528 (3) 240 (4) 48
解析：
(1) 6 人排一列，共 6 ! = 720 種排法
(2)同班 2 人不相鄰 = (全部) − (有 1 班 2 人相鄰) + (有 2 班 2 人相鄰) − (3 班皆 2 人相鄰)
= 6 ! − P13．2．5 ! + P ．232 2．4 ! − 23．3 !
2 視為 1 人， ↓
選 1
2 人可交換 與剩下 4 人排列 3 班排列 班 每班 2 人可交換
= 720 − 720 + 576 − 48 = 528
(3) 6 人入坐每邊 2 人，1 種坐法經過 2 倍旋轉，坐法有6 ! 2
6 × = 240 種 (4)同班 2 人有前、後 2 種排法，共 23種排法，又 3 班排 3 行，有 種排法
∴ 共 2
！ 3
3．3！= 48 種排法
6. 將「庭院深深深幾許」等七個字全取排成一列，
(1)三個「深」字不完全相鄰，則排法有 種。
(2)三個「深」字完全不相鄰，則排法有 種。
答案：(1) 720 (2) 240 解析：
(1) 三個「深」字不完全相鄰 即 (全)− (三個「深」字完全相鄰) 7 個字去排，共有
! 3
!
7 種排法
把 3 個深字視為 1 個，與其他 4 字排列，有 5！種排法，共有
! 3
!
7 − 5！= 720 種排法 (2)先排「庭」、「院」、「幾」、「許」4 個字，共有 4！種排法
5 個空位選 3 個排「深」字，共
! 3
5
P3
種排法，共有 4！．
! 3
5
P3
= 240 種排法
7. 六對夫婦圍圓桌聊天，試求男女相間且夫婦相鄰的坐法有 種。
答案：240 解析：
設六對夫婦為Aa，Bb， Cc ，Dd，Ee，Ff A，B， C ，D，E， 先入座，其坐法有 5!種 而 a 入座時，只限於
F
A之左右兩間隔之一
當 坐定後，其餘 ， ， ， ， 只有一種坐法 如上圖，故坐法有 5！× 2 = 240 種
a b c d e f
8. 將 6 種不同獎品全部分給甲，乙，丙三人，則 (1)甲至少得一件，有 種分法。
(2)甲得一件，乙得二件，丙得三件，有 種分法。
答案：(1) 665 (2) 60
解析：(1) 36 − 26 = 665 (2) C C C61 52 33× × × = 60 1 1 1
9. 三支相同的原子筆，五支相同的鉛筆，全部分給 10 個小朋友，每人最多一支，共有 種分法；如果八支筆都不相同，則分法有 種。
答案：2520；P108 解析：
(1)本問題如同 3 個 a，5 個 b，2 個×在 10 個不同位置的排列 共有
！
！
！
！ 2 5 3
10 的排法 = 2520 種方法
(2) 8 支筆分給 10 個小朋友中的 8 個人，有 P108 種分法
10.將「pallmall」一字中，所有字母全取而排列之，依下列條件，求其排列數，
(1)所有 均相鄰A 。 (2) 均不相鄰A 。(3)同字母不相鄰 。 答案：(1) 60 種 (2) 60 種 (3) 54 種
解析：
(1) 4 個 相鄰視為一個字母，有A 2 5
！
！ = 60 種 (2)
∨ ∨ ∨ ∨ ∨ p a m a
4
5 4
P ×！ 2 4
！
！ = 60（種）
pama 之排法 A插入「∨」中之排法
(3)即 不相鄰且 a 不相鄰= 不相鄰 − 不相鄰，a 相鄰 A A A
p m
∨
∨
∨
∨
aa
A不相鄰且 a 相鄰有
！ 4
4
P × 3！= 6 種 4
故所求= 60 − 4
4 4
P × 3！= 54（種） ！
11.若 4 個男生，4 個女生圍坐一圓桌用餐，則 (1)某兩個男生不相鄰的坐法有 種。
(2)某兩個男生要相對而坐，且某兩個女生也要相對而坐的方法有 種。
答案：(1) 3600 (2) 144 解析：
(1) (全部) − (兩人相鄰) = 8
! 8 −
7
!
7 × 2 = 3600
(2) 2
!
2 × 6 × 1 × 4！= 144（種）
兩女生的選法 男生先坐
12.「人人為我，我為人人」這 8 個字任意排成一列，其中至少有兩個「人」排在一起的排 法有 種，又相同的字都不相鄰的排法有 種。
答案：390；24 解析：
(1)任意排列數減去四個人都不相鄰的排列數 =
4 2 2
8
！
！
！
！ − 2 2
4
！
！！ ×
! 4
5
P4
= 390
(2)c先將「四個人」陳列，如下圖，然後將「我為我為」分成三組放入圖中打圈的位置 必須使同字不相鄰，其方法只有一種，如下
「我為、我、為」，排入三個打圈的位置的方法數 3！× 2！= 12
○ ○ ○ 人 人 人 人
d「我為我為」分四個字排入
「 ○ ○ ○ ○
人 人 人 人 」或「
」，四個圈的位置方法數 2 ×
○ ○ ○ ○ 人 人 人 人
！
！
！ 2 2
4 = 12 所以有相同的字都不相鄰的排法有 12 + 12 = 24 種
13.由十顆不同珠子，
(1)串一項鍊，方法有幾種？
(2)取 6 顆置於桌面，方法有幾種？
(3)取 6 顆作一環，再放一顆於環心，排法有幾種？
答案：(1) 181440 (2) 25200 (3) 100800 解析：
(1)10
! 10 ×
2
1= 181440 (2) 6
10
P6
= 25200 (3) 10 × 6
9
P6
= 100800
另 9 顆取 6 顆環排 先放中心
14.甲、乙、丙、…、庚 7 人排成一列，求下列排法：
(1)甲、乙、丙不可分開。 (2)甲、乙、丙完全不相鄰。 (3)甲、乙、丙不完全相鄰。
(4)甲不排首位，乙不排第二位，丙不排第三位。 (5)甲在乙左方或甲在丙左方。
答案：(1) 720 (2) 1440 (3) 4320 (4) 3216 (5) 3360 解析：
(1) 甲乙丙 丁戊己庚
將甲乙丙視為一體，與丁戊己庚排列有 5！種方法
再看甲乙丙三人位置可互換有 3！種方法，故共有 5！× 3！= 720 種方法 (2) 丁 戊 己 庚
將甲乙丙排入打「 」的位置，有 P = 5 × 4 × 3 = 60 種方法
再排丁戊己庚有 4！= 24 種方法，故共有 P × 4！= 60 × 24 = 1440 種方法 (3) (全部排法) − (完全相鄰的方法) = 7！− 720 = 4320（種）
(4) 7！− 3．6！+ 3．5！− 4！= 3216 種 (5) 7！×
5 3
5 3
! 3
4 = 3360
（甲乙丙之排法中，甲乙丙，甲丙乙，乙甲丙，丙甲乙，均滿足要求）
15.將 10 種不同顏料塗下列圖形，各有幾種塗法？
答案：(1) 453600 (2) 420 (3) 18900 (4)37800 解析：
(1)
10
8 2
P ×8 = 453600 (2)
9
3 1
10 3 4
×P × = 420 (3)
8
4 1
10 9 4 2
× ×P × = 18900
(4)
8
4 1
10 9 2
4 2
× ×P × × = 37800 種
16.6 本相異的書，分給 4 個兒童，有幾種方法？
(1)任意分配。 (2)甲童沒分到。 (3)甲至少得一本。 (4)甲童恰好得一本。
答案：(1) 4096 (2) 729 (3) 3367 (4) 1458 解析：
(1) 46 = 4096（種）
(2)甲沒有，只能分給其他三人，故有 36 = 729 種
(3)甲至少得一本之方法 = (任分) − (甲沒有) = 46 − 36 = 4096 − 729 = 3367（種）
(4) 6 × 35 = 1458（種）
其餘五本任分給其他三人 6 本書選一本給甲
17.有 6 個球投入 4 個箱子中，求下列投入法各多少種？
(1)球相同，箱子相同，每箱投入球數不限。
(2)球不同，箱子不同，每箱投入球數不限。
(3)球相同，箱子不同，每箱投入球數不限。
(4)球相同，箱子不同，每箱至少投入一球。
(5)球不同，箱子不同，每箱至少投入一球。
答案：(1)9 (2)4096 (3)84 (4)10 (5)1560 解析：
(1)球相同，箱子相同，則箱中投入球數決定其投入法有 (6，0，0，0)，(5，1，0，0)，
(4，2，0，0)，(4，1，1，0)，(3，3，0，0)，(3，2，1，0)，(3，1，1，1)，
(2，2，2，0)，(2，2，1，1)等，共有 9 種投入法
(2)球不同，箱子不同，則每一球均有 4 種不同投入法 ∴ 投入法有 46 = 4096 種 (3)球相同，箱子不同，則由(1)知(6，0，0，0)投入法有
！
！ 3
4 = 4 種
(5，1，0，0)：
！
！ 2
4 = 12，(4，2，0，0)：
！
！ 2
4 = 12，(4，1，1，0)： 12 24 =
！
！
(3，3，0，0)：
！
！
！ 2 2
4 = 6，(3，2，1，0)：4！= 24，(3，1，1，1)：
！
！ 3 4 = 4
(2，2，2，0)：
！
！ 3
4 = 4，(2，2，1，1)： 6 2 2
4 =
！
！
！
故投入法有 4 + 12 + 12 + 12 + 6 + 24 + 4 + 4 + 6 = 84 種
(4)球相同，箱子不同，每箱至少一球的投入法有(3，1，1，1)與(2，2，1，1) 故投入法有
！
！
！
！
！ 2 2
4
34 + = 10 種
(5)球不同，箱子不同，每箱至少一球的投入法 = (全部) − (有一箱沒有球) = 46 − (4 × 36 − 6 × 26 + 4 × 16) = 4096 − 2916 + 384 − 4 = 1560
18.有五對夫婦圍一圓桌環狀而坐，試求下列坐法各多少？
(1)每對夫婦均相對而坐。 (2)男女間隔而坐。 (3)男女間隔而坐且夫婦不相鄰。
答案：(1)384 (2)2880 (3)312 解析：
(1)夫婦相對而坐（如右圖），
方法一：其中一對夫婦Aa先坐， B入座坐法 8 種， 入座坐法 1 種，
坐法 6 種， 坐法 1 種， 坐法 4 種， 坐法 1 種，
b
C c D d
E坐法 2 種， 坐法 1 種，
坐法
e 2!
2 × 8 × 1 × 6 × 1 × 4 × 1 × 2 × 1 = 4！× 24 = 384 種 方法二：
5 5
5! 1 2 5
2
× × = 384
(五男先環狀排列，五妻對面入座，5 對夫妻可互換；但會重複除以 2) (2)男女間隔而坐
5 男生入座坐法 4! 5
5！= 種，再將 5 女生安排於間隔中，坐法有 5！種
∴ 坐法有 4！× 5！= 2880 種
(3)男女間隔且夫婦不相鄰
先讓 5 男A，B，C，D，E入座有 4！種坐法 而每一種男生坐法中，女生入座法均有 13 種，如下圖
cdefg cdefg cdefg
4 種 5 種 4 種
∴ 共有 4！× 13 = 312 種 a b c d e
a e b c d a e b d c a e c b d
a b c d e a b c e d a b d c e a c b d e a c b e d
a b c d e a c d e b a c e d b a d c e b
19.有渡船 3 艘，每艘限載 6 人，試求下列之安全渡法？
(1) 6 人同時渡河。 (2) 7 人同時渡河。 (3) 8 人同時渡河。 (4) 9 人同時渡河。
答案：(1)729 (2)2184 (3)6510 (4)19194 解析：
(1)每船限載 6 人，渡船 3 艘，每人搭乘有 3 種方法
∴ 6 人同時渡河的搭乘方法有 36 = 729 種
(2)7 人渡河，因 7 人不得同乘一船而 7 人同乘一船的方式有 3 種
∴ 7 人渡河搭乘方法有 37 − 3 = 2184 種 (3)8 人渡河，超載的情形有二類
c8 人同搭乘一船方法有 3 種
d8 人中有 7 人同搭乘一船，另一人搭另船，其方法有 × 3 × 2 = 8 × 3 × 2 = 48 種 ∴ 8 人安全渡河方法有 3
7
C7×
8 1
7 1
C C
8 − 3 − 48 = 6510 種 (4)9 人渡河，超載的情形有四類
c9 人同搭乘一船，其搭乘方法有 3 種
d9 人中，8 人同一船，另一人乘另一船，其搭乘方法有 × 3 × 2 = 54 種 e9 人中，7 人同一船，另二人同乘另一船，其搭乘方法有 × 3 × 2 = 216 種 f9 人中，7 人同一船，另二人分開各一船，其搭乘方法有
9 1
8 1
C C
9 2
7 2
C C
9 2 1
7 1 1
2!
C C C
× 3 × 2 × 1= 216 種 故 9 人安全渡河方法有39 −3−54−216−216=19194種
