✐
✐
“C44N44” — 2020/12/2 — 19:50 — page 34 — #1
✐
✐
✐
✐
✐
✐ 數學傳播 44 卷 4 期, pp. 34-37
無理數到底有多無理
張鎮華
1. 幕起 — 被扔進海裡的英雄
現在我們都知道實數分為有理數與無理數兩類, 但這不是人們一開始就知道的。 例如, 古 希臘畢氏學派的學者, 把數與線段長度視為一體的兩面, 他們認為任意兩線段的長度總是可以 公度, 也就是, 其比是兩個正整數之比, 用現代的說法, 他們心中的數都是有理數, 是兩個整數 的比。
但是想不到, 學派中竟然出現 「叛徒」 (可能是 Metapontum 的 Hippasus), 論述了正方 形的對角線長與邊長不可公度, 正五邊形的對角線長與邊長也一樣不可公度。 這實在是一個驚 天動地的大叛逆, 難怪他要因此被扔進海中處死。
不過人類是聰明的, 如果原來我們只知道有理數, 但卻發現了一個有理數講不通的現象, 那 就接受現象, 用現象描述一個嶄新的事情。 就好像牛頓發現蘋果從樹上往下掉落在地面, 他其實 是看不到地球用 「力」 把蘋果拉下來, 但是既然有蘋果落地的現象, 就把這個現象叫做 「地心引 力」 所產生的現象; 地心本未用 「力」, 引力不過是蘋果落地現象的描述。
類似的手段, 有理數之中本來並沒有平方等於 2 的數, 不過聰明如 Dedekind 之輩, 就用 兩邊包抄的方法, 將有理數分為兩類, 一類是非正的有理數及平方小於 2 的正有理數, 另一類 是平方大於 2 的正有理數, 於是就 「想像」 在大於與小於之間有一個等於, 用此創造出一種平 方等於 2 的新數出來。
這樣的精神在複數也再次發生。 本來只知道實數, 在實數中找不到平方等於 -1 的數, 但是 解方程式時卻經常有平方為負的方程式, 那就乾脆發明一種新的數, 它的平方就是 -1。
2. √
2 是無理數 — 開跑了
證明 √
2 是無理數, 長久以來都是台灣髙一數學的敎學內容, 用來訓練反證法。 一般常見 的證明如下證法一, 這個證明的精神最早由亞里斯多德 (Aristotle, 西元前 384∼322 年) 在 他的書 Analytica Priora 中提到, 後來歐基理德 (Euclid, 約西元前 300 年) 仔細寫為 《幾 何原本》 第 X 卷第 117 命題。 以上的說明取自 wiki 「Square root of 2」 網頁 https://
en.wikipedia.org/wiki/Square_root_of_2。 但是根據我手邊的 《幾何原本》 版本 [1], 第 X 卷只到第 115 命題就停止。 比較像的反而是第 297 頁的命題 9, 唯其敘述等同於 「有理
34
✐
✐
“C44N44” — 2020/12/2 — 19:50 — page 35 — #2
✐
✐
✐
✐
✐
✐ 無理數到底有多無理 35
數的平方等於一個平方數比一個平方數」, 也就是 「不等於一個平方數比一個平方數的數不是有 理數」, 而其證明相對簡略, 比較像下面的證法三。
證法一: 假設 √
2 是有理數, 則存在正整數 a 與 b 使得 √
2 = a/b, 不妨假設 a 與 b 互質。
首先 a2 = 2b2。 因為 a2 是偶數, 所以 a 也是偶數 (要不然, 如果 a 是奇數 2k + 1, 則其平方 a2 = (2k + 1)2 = 4k2+ 4k + 1 = 2 (2k2 + 2k) + 1 是奇數, 矛盾), 也就是存在正整數 c 使得 a = 2c。 所以 (2c)2 = 2b2, 也就是 b2 = 2c2。 同理 b 也是偶數, 就存在正整數 d 使得 b = 2d, 因此 a 與 b 有公因數 2, 這與原來假設它們互質矛盾。 所以 √
2 不是有理數。 另外一種類似當年證明√
2 不可公度的無窮下降法, 說明如下。
證法二: 假設√
2 是有理數, 則存在正整數 a 與 b 使得√
2 = a/b, 不妨假設 a 是能取到的最 小可能正整數。 因為 1 <√
2 < 2, 所以 b < a < 2b。 由於
√2 =
√2(√ 2 − 1)
√2 − 1 = 2 −√
√ 2
2 − 1 = 2 − a/b
a/b − 1 = 2b − a a − b , 我們再次將 √
2 寫成兩個整數相除, 但其分子 2b − a < a, 這與原來假設 a 是最小可能矛盾。
所以 √
2 不是有理數。
最後我們要用 「算術基本定理」 為基礎, 證明 √
2 是無理數如下。
證法三: 假設 √
2 是有理數, 則存在正整數 a 與 b 使得√
2 = a/b, 透過平方有 a2 = 2b2, 其 中 a2 和 b2 的質因數分解中 2 的次方都是偶數, 因而 2b2 的質因數分解中 2 的次方會是奇數, 也就是 a2 與 2b2 的質因數分解中 2 的次方不相同, 這與質因數分解的唯一性矛盾。 所以 √
2
不是有理數。
最後這個證明之所以能夠這麼簡便, 是因為它用到一個看似直觀, 但是證明也要費點功夫 的質因數分解的唯一性。 這個證法的威力是, 可以類似證明如下的一些與指數、 對數有關的數是 無理數, 這是因為 √
2 其實是 2 的 1/2 次方。
• √ 3、 √
5、 更一般來說當正整數 n 不是平方數時的 √ n 。
• √3 4、√5
6、 更一般來說當正整數 n 不是 m 次方數時的 m√ n 。
• log 2、log 3、 更一般來說當正整數 n 不是 10 的次方時的 log n 。
3. e 是無理數 — 加速前進
e 這個數的由來始於 Euler 計算指數函數的微分, 也就是, 當 a 是正數時 (ax)′ = lim
h→0
ax+h− ax
h = axlim
h→0
ah− 1 h .
✐
✐
“C44N44” — 2020/12/2 — 19:50 — page 36 — #3
✐
✐
✐
✐
✐
✐ 36 數學傳播 44 卷4 期 民 109 年 12 月
其中的 lim
h→0
ah− 1
h 是一個只與 a 有關的常數, 我們就定義 e 是使得此數為 1 的 a。 用一個簡 單的估計, 那就是 eh− 1
h ≈ 1, 也就是 eh − 1 ≈ h, 或是 e ≈ (1 + h)1/h, 如果將連續的量 1/h 視為離散的正整數 n, 那應該定義 e = lim
n→∞
1 + 1
n
n
。
類似前述的推導微分公式 (ex)′ = ex, 再用以推導 (ln x)′ = 1/x, 對現在有些追求 「嚴格 證明」 的人來說可能覺得不完美, 所以有些微積分課本會反過來, 用積分定義自然對數
ln x = Z x
1
1 tdt.
再用微積分基本定理求得 (ex)′ = ex。 這種看似完美的推導, 其借助的是要花費大力氣才能證 明的微積分基本定理。 雖然說, 數學到後來, 當你知道所有結果之後, 如何推導都無礙; 可是我 覺得, 對於一個初學的人, 知道歷史的原意, 更能感受其美。
不管如何, 接下來要證明 e 是無理數, 就要用到其無窮級數的展開式:
e = 1 0!+ 1
1!+ 1 2! + 1
3! + 1 4! + · · ·
假設 e 是有理數, 則存在正整數 a 與 b, 使得 e = a/b。 將上式兩邊乘上 b!, 得到 b!a
b = b!
0! + b!
1! + b!
2!+ · · · + b!
b! + 1
b + 1 + 1
(b + 1)(b + 2) + · · · , 其中前面的一些數都是整數, 但是後面的一段卻滿足
0 < 1
b + 1 + 1
(b + 1)(b + 2)+ · · · < 1
b + 1 + 1
(b + 1)2 + · · · = 1 b ≤ 1, 因此得到整數等於整數加上一個介於 0 與 1 之間的小數, 矛盾。 所以 e 是無理數。
4. 圓周率是無理數 — 起飛了
圓周率 π 是大家很熟悉的一個數學常數, 但是要證明它是無理數卻比上面的論述都要難, 這裡採用 Niven 的證明方法。
假設 π 是有理數, 則存在正整數 a 與 b 使得 π = a/b。 對於正整數 n, 考慮多項式函數 f (x) = xn(a − bx)n/n! = bnxn(π − x)n/n!。 先證明一個性質。
性質: 對於任意非負整數 m, f(m)(0) 與 f(m)(π) 都是整數, 其中 f(m)(x) 是 f 在 x 的 m 次 導數。
✐
✐
“C44N44” — 2020/12/2 — 19:50 — page 37 — #4
✐
✐
✐
✐
✐
✐ 無理數到底有多無理 37
證明: 首先, 因為 f (x) = (cnxn+ cn+1xn+1+ · · · + c2nx2n)/n!, 其中各個 ci 都是整數。 所 以, 當 m < n 時, f(m)(0) = 0; 而當 m ≥ n 時, f(m)(x) 常數項中的 m! 抵消 n!, 所以 f(m)(0) 是整數。
另一方面, 因為 f (π−x) = f(x), 所以 (−1)(m)f(m)(π−x) = f(m)(x), 遂有 f(m)(π) =
(−1)mf(m)(0) 也是整數。
接著, 對 Rπ
0 f (x) sin xdx 做多次部分積分, 也就是對於偶數的 m, 計算 Z π
0
f(m)(x) sin xdx = Z π
0
f(m)(x)(− cos x)′dx
= −f(m)(x) cos x
π 0 +
Z π 0
f(m+1)(x) cos xdx
= 整數 + Z π
0
f(m+1)(x)(sin x)′dx
= 整數 + f(m+1)(x) sin x
π 0 −
Z π 0
f(m+2)(x) sin xdx
= 整數 − Z π
0
f(m+2)(x) sin xdx.
利用這個結果 n + 1 次, 再加上 f(2n+2)(x) = 0, 就得到 Rπ
0 f (x) sin xdx 為整數。
另一方面, 當 0 < x < π 時, 0 < f (x) sin x ≤ (aπ)n/n!, 其中最右式當 n 趨近於 ∞ 時趨近於 0, 所以當 n 夠大時, Rπ
0 f (x) sin xdx 是介於 0 與 1 之間的小數, 矛盾。 所以 π 是 無理數。
5. 幕落 — 打不完的蚊子
證明一個數是無理數並不一件容易的事, 事實上, 還有很多數我們猜想它們是無理數, 但 都還不會證明, 例如 : π + e、 π − e、 或是更一般不為零的整數組合 mπ + ne、 πe、 π/e、 2e、 πe、 π√2、 ln π、 Catalan 常數 P∞
n=0(−1)n/(2n + 1)2、 以及 Euler-Mascheroni及常數 γ = lim
n→∞
− ln n +
n
X
k=1
1 k
= Z ∞
1
− 1 x + 1
|x|
dx.
參考文獻
1. 藍紀正、 朱恩寬譯, 梁宗巨、 張毓新、 徐伯謙校訂。 歐幾里得 幾何原本。 九章出版社, 中華民國 81 年 8 月一版。
2. 蔡聰明。 無理數的證明。 數學傳播季刊, 23(1), 12-23, 1999。
—本文作者為臺灣大學數學系名譽教授—
