1. X 和 Y 為取值在 {0, 1} 的隨機變數。已知 P(X = 0, Y = 0) = 1

(1)

微乙小考五 (2019/5/30)

1. X 和 Y 為取值在 {0, 1} 的隨機變數。已知 P(X = 0, Y = 0) = 1

12 ， P(X = 0, Y = 1) = 1

6 ， P(X = 1, Y = 0) = 1

4 ， P(X = 1, Y = 1) = 1 2 。

(a) (2 分) 求 P(X = 0)， P(X = 1)， P(Y = 0) 和 P(Y = 1)。

(b) (2 分) 判斷 X 和 Y 是否獨立。

(c) (3 分) 求 Var(X)， Var(Y ) 和 Var(X + Y )。

sol: (a) P (X = 0) = P (X = 0, Y = 0) + P (X = 0, Y = 1) = 1 12 + 1

6 = 1

4 , 以此類推 P (X = 1) = 1

4 + 1 2 = 3

4 , P (Y = 0) = 1 12 + 1

4 = 1

3 , P (Y = 1) = 1 6 + 1

2 = 2 3 , (b) P (X = 0, Y = 0) = P (X = 0) · P (Y = 0) 且 P (X = 0, Y = 1) = P (X = 0) · P (Y = 1)且

P (X = 1, Y = 0) = P (X = 1) · P (Y = 0) 且 P (X = 1, Y = 1) = P (X = 1) · P (Y = 1), 所以X和Y互相獨立 (c) E(X) = 0 · 1

4 + 1 · 3 4 = 3

4 且E(X

²

) = 0

²

· 1

4 + 1

²

· 3 4 = 3

4 因此 V ar(X) = (E(X))

²

− E(X)

²

) = 3

16 , 以此類推 V ar(Y ) = (E(Y ))

²

− E(Y )

²

) = 2 9 因X.Y 互相獨立 V ar(X + Y ) = V ar(X) + V ar(Y ) = 59

144 2. 據稱沒有特定政黨偏好的選民(中間選民)占選舉人口的 20%。呆完威儀黨決定進行一個尋找中間選民的民調。

(a) (2 分) 求訪問10人中有2位中間選民的機率。

(b) (2 分) 定義隨機變數 W 為「 W = k 表示連續訪問 k 人才首次遇到中間選民」。求 P(W = k)， k ∈ N。

(c) (3 分) 求 E(W )。

sol: (a) C

₂¹⁰

(0.2)

²

(0.8)

⁸

(b) P (W = k) = (0.2)(0.8)

^k−1

(c) E(W ) = Σ

^∞_k=1

kP (W = k) = Σ

^∞_k=1

k(p)(q)

^k−1

= pΣ

^∞_k=1

k(q)

^k−1

= p

(1 − q)

²

= 1

p = 5 = np 小提示: Σ

^∞k=1

k(q)

^k−1

= d(Σ

^∞_k=1

(q)

^k

)

dk = d(

_1−q¹

)

dk = 1 (1 − q)

²

3. (承上題) 總共有 1,000 人接受民調。 X

i

表示訪問第 i 人的結果： X

i

= 0 代表他不是中間選民； X

i

= 1 代表他是中間選民。假設 X

i

彼此獨立。令 ¯ X = 1

1000

X

i=1

X

i

。

(a) (2 分) 求 E( ¯ X) 和 Var( ¯ X)。

(b) (2 分) 完成 Chebyshev 不等式： P(|X − E(X)| ≥ ) ≤ A， A = ?

(c) (2 分) 利用 Chebyshev 不等式，估計 1,000 人中，中間選民少於 150 人的機率。

sol: (a) 在符合 X ∼ B(n, p, q)且X

i

互相獨立的狀況下 E( ¯ X) = E(X) = p = 0.2 V ar( ¯ X) = V ar(X) n = pq

n = 0.00016 (b) P (|X − E(X)| ≥ ε) ≤ V ar(X)

ε

²

這邊沒有定義X，所以不用算出來。

(c) P (X

1

+ ... + X

1000

≤ 150) = P ( X

1

+ ... + X

1000

1000 ≤ 0.15)

= P ( ¯ X − 0.2 ≤ −0.05) ≤ P (| ¯ X − E( ¯ X)|) ≥ 0.05)

= V ar( ¯ X)

0.05

²

= pq

1000(0.05)

²

= 0.16 2.5

1

1. X 和 Y 為取值在 {0, 1} 的隨機變數。已知 P(X = 0, Y = 0) = 1