G @BH{X Cole-Cole plot

(1)

附錄：

一、以圓方程式擬合阻抗之 Cole-Cole plot 圖(以 KDP 晶體 175℃為例) 1．以最小平方誤差，計算圓方程式(x−a)² +(y−b)² =c²中的參數a、

b、c。

W:=data[[i,1]]*2*Pi;

R:=data[[i,2]];

X:=data[[i,3]];

k:=0.0001;

m1=Table[{k*R,k*X},{i,1,400}];

m2=Table[{k*R,k*X},{i,401,801,5}];

m3=Join[m1,m2];

f:=c^2-(m3[[i,1]]-a)^2;

y:=(m3[[i,2]]-b)^2;

s=Sum[(f-y)^2,{i,1,480}];

eq1=D[s,a];

eq2=D[s,b];

eq3=D[s,c];

NSolve[{eq1ã0,eq2ã0,eq3ã0},{a,b,c}]

{{cØ0.` +0.` Â,aØ213.9517 -69.4213 Â,bØ192.2193 +196.8974 Â}, {cØ0.` +0.` Â,aØ213.9517 +69.4213 Â,bØ192.2193 -196.8974 Â}, {cØ0.` +0.` Â,aØ113.5433 +260.8472 Â,bØ186.6889 +49.7884Â}, {cØ0.` +0.` Â,aØ113.5433 -260.8472 Â,bØ186.6889 -49.7884Â},

{cØ0.`,aØ188.3889,bØ114.4867},{cØ244.5361,aØ245.4172,bØ-5.5546}, {cØ-244.53613,aØ245.4172,bØ-5.5546}}

取最後一組值代入。

2．找出參數a、b、c後，以圓方程式畫圖與原始數據的阻抗

Cole-Cole plot 圖比照。計算出與實部軸交點當作直流電阻。

(2)

a=245.417;

b=-5.55469;

c=244.536;

f[x_,y_]:=(x-a)^2+(y-b)^2-c^2

<<Graphics`ImplicitPlot`

g2=ImplicitPlot[f[x,y]ã0,{x,0,500},PlotStyleØRGBColor[1,0,0]];

R:=data[[i,2]];

X:=data[[i,3]];

k:=0.001;

m1=Table[{k*R,k*X},{i,1,400}];

m2=Table[{k*R,k*X},{i,401,801,5}];

m3=Join[m1,m2];

g1=ListPlot[m3,AspectRatioØ1]

Show[g1,g2]

取最後一組值代入畫圖與原始數據比照，黑色為原始數據圖紅色為擬合線。

100 200 300 400 500

-200 -100 100 200

(3)

擬合出的圓心位置依幾何關係，符合sin(απ/2)=-b/c，可得到α 值。下列二圖是 KDP 與 ADP 兩晶體在不同溫度時的α值的分布。

160 180 200

Temperature(℃ ) 0.00

0.05 0.10 0.15

α

KDP

110 120 130 140 150

Temperature(℃ ) 0.00

0.05 0.10 0.15

α

ADP

απ/2

R X

(4)

二、以 Williams-Watt form 的 electric modulus 擬合M ′′實驗曲線程式 1．首先找到曲線的 peak 資料代入，計算最小平方誤差值，以找尋最

佳β值與γ 值。

f:=Exp[-(g*t)^b];

g:=t^(b-1);

a:=Mpp

g^b*b*NIntegrate[Sin[W*t]*f*g,{t,0,¶},MethodØOscillatory,PrecisionGoalØ12,Ac curacyGoalØ12];

data1=Table[data[[i]],{i,1,108,2}];

data4=Join[data1,data2,data3];

Rp=data[[108,2]];

Wp=data[[108,1]]*2*Pi;

b=0.95;

Mp=Wp*Rp;

W:=data4[[i,1]]*2*Pi;

R:=data4[[i,2]];

Label[on]

;g=Wp

;M:=(1/Mp)*W*R

;ap=

g^b*b*NIntegrate[Sin[Wp*t]*f*g,{t,0,¶},MethodØOscillatory,PrecisionGoalØ12,A ccuracyGoalØ12];

;Mpp=(1/ap)

;k2=Sum[(a-M)^2,{i,1,90}]

;k1=1;x=1

;While[k1>k2, k1=k2;

x=x+0.01;

g=Wp*x;

ap=

g^b*b*NIntegrate[Sin[Wp*t]*f*g,{t,0,¶},MethodØOscillatory,PrecisionGoalØ12,A ccuracyGoalØ12];

Mpp=(1/ap);

k2=Sum[(a-M)^2,{i,1,90}];]

;Print[b," ",(x-0.01)," ",k1]

;b=b-0.01

;If[b¥0.79,Goto[on]]

(5)

0.95 1.06 0.0183312 0.94 1.06 0.012294 0.93 1.07 0.00821554 0.92 1.07 0.00627712

^0.91 ^1.07 ^0.00681995

0.9 1.08 0.00976687 0.89 1.08 0.0149179 0.88 1.08 0.0228698

0.87 1.09 0.0332102

最佳β值與γ 值為 0.92、1.07

2．將找到的最佳β值與γ 值代入畫圖與原M ′′實驗曲線比對

R:=data[[i,2]];

Wp=data[[108,1]]*2*Pi;

Xp=data[[108,2]];

Mp=Wp*Xp;

M:=(1/Mp)*W*R;

m1=Table[{Log[10,W],M},{i,1,801}];

p1=ListPlot[m1,PlotRangeØ{{3,8},{0,1.1}}]

data3=Join[data1,data2];

W0:=data3[[i,1]]*2*Pi;

b=0.92;g=Wp*1.07;

f:=Exp[-(g*t)^b];

g:=t^(b-1);

ap=g^b*b*NIntegrate[Sin[Wp*t]*f*g,{t,0,¶},MethodØOscillatory,PrecisionGoalØ1 2,AccuracyGoalØ12];

MMp=1/ap;

a:=MMp*g^b*b*NIntegrate[Sin[W0*t]*f*g,{t,0,¶},MethodØOscillatory,PrecisionG oalØ12,AccuracyGoalØ12];

mp=Table[{Log[10,W0],a},{i,1,120}];

p2=ListPlot[mp,PlotStyle->RGBColor[1,0,0]]

Show[p1,p2]

(6)

3．實例操作 (以 KDP 晶體 175℃為例)

(1) 找到 peak 的資料 Wp=data[[108,1]]，Rp=data[[108,2]]，

指定數據點數目(因為 801 點太多了) data1,data2,data3。

(2) β值變動，則會計算出γ 值與最小平方誤差值。

(3) 選取最小平方誤差值的β值與γ 值來，利用公式計算出M ′′值。

(4) 畫圖比照

1.0E+2 1.0E+3 1.0E+4 1.0E+5 1.0E+6 1.0E+7

Frequency(Hz)

0.0 0.5 1.0 1.5

M"/ M" max

β=0.80 β=0.86 β=0.89 β=0.90 β=0.92 β=0.92 β=0.88 β=0.86 β=0.83 β=0.85 1 150℃

2 160℃

3 165℃

4 170℃

5 175℃

6 179℃

7 180℃

8 182℃

9 184℃

10 186℃

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

KDP

1.0E+2 1.0E+3 1.0E+4 1.0E+5 1.0E+6 1.0E+7

Frequency(Hz)

0.00 0.05 0.10 0.15

M"-M

" fit

KDP

1 150℃

2 160℃

3 170℃

4 175℃

5 177℃

6 180℃

7 182℃

6 7 1 5

(7)

1.0E+2 1.0E+3 1.0E+4 1.0E+5 1.0E+6 1.0E+7

Frequency(Hz)

0.0 0.5 1.0 1.5

M"/ M" max

1 105℃

2 110℃

3 115℃

4 120℃

5 125℃

6 128℃

7 130℃

β=0.92 β=0.94 β=0.91 β=0.86 β=0.84 β=0.81 β=0.80

1 2 3 4 5 6 7

ADP

1.0E+2 1.0E+3 1.0E+4 1.0E+5 1.0E+6 1.0E+7

Temperature(Hz)

0.00 0.05 0.10 0.15 0.20

M"-M

" fit

ADP

1 2 3 4

1 105℃

2 110℃

3 115℃

4 120℃

(8)

三、以 Jonscher’s law 擬合導電係數與頻率關係曲線

1．將原始資料載入，利用 mathmatica 的 NonlinearFit 功能，調整參數σ₀、n、A，再畫圖與原始數據圖比照。

R:=data[[i,2]];

X:=data[[i,3]];

d=0.06;A=0.044;

Sm:=(d/A)*R/(R^2+X^2);

m1=Table[{Log[10,W],Sm},{i,1,801}];

p1=ListPlot[m1,PlotRangeØ{{3,8},{0,2*10^-5}}]

<<Statistics`NonlinearFit`

vals=NonlinearFit[m1,a

(1+Gamma[2-n]*Cos[n*Pi/2]*(10^x/b)^n),x,{{a,10^-6},{n,0.67},{b,10^4}},Accurac yGoalØ12,PrecisionGoalØ12,MaxIterationsØ800]

g1=Plot[vals,{x,3,8},PlotRangeØ{0,2*10^-5},PlotStyleØ{RGBColor[1,0,0]}];

Show[p1,g1];

以 KDP 晶體 175℃為例，代入參數擬合曲線，畫圖比照。黑色為原始數據圖紅色為擬合曲線。

^2.49468^×¹⁰⁻^{6 H}¹⁺^6.89365^×¹⁰⁻^{7 H}¹⁰^xL0.95651L 其中 10 ^x = ω

4 5 6 7 8

5×10^-6 0.00001 0.000015 0.00002