(2)§7-2 變力所作的功 △ 見圖 7-4 所示

Chapter7 功和機械能

§7-1 定力所作的功 W

△ 見圖 7-1 所示，定力所做的功 W 定義為在位移方向的力分量與位 移的乘積，即W ≡(Fcosθ)S =Fv⋅Sv，其中θ表力方向與位移方向之夾 角。因為W = FScosθ ∴cosθ >0時，W 為正，反之為負。

△ 見圖 7-2(a)所示，當力與位移平行，則θ =0^o ⇒W =Fd。

△ 見圖 7-2(b)所示，當力與位移垂直，則θ =90^o ⇒W =0。

△ 由功之定義知，功之 SI 單位為N⋅m=J。

△ 例題 7-1。

§7-2 變力所作的功

△ 見圖 7-4 所示。

由定力所作的功之定義知

∑

∑

=

∴

∆

=

∆

⋅

≈

∆ ∆ → ∆ →

i

i i s i

i i

s i AB i i i i i

i F S F S W F S F S

W

i i

θ

θ lim lim cos

cos 0 0

v v v

v ，若假

設一質點受一力 F(x)之作用，而沿 X 軸方向運動，則Fv_i F x_i iv )

= ( ，

i X Sv_i =∆ _iv

∆ ，cosθ_i =1，見圖 7-5 所示。

則W F x X ^BF x dx

i A i

x i AB

i

∑

∫

=∆lim→ ( ) ( )

0 ，因此可知在F(x)對 x 函數關係圖 中，其面積乃代表力F(x)所作的功，見圖 7-5。同理對於三度空間而 言，力Fv所作的功

∫

∫ ∫

∫

∫

= ^f

i f

i

f i f

i f

i

z z x

x

y x y

r

r x y z

r

AB r F dr F i F j F k dxi dyj dzk F dx Fydy Fzdz

W v v ( v v v) ( v v v)

§常見的力所作的功

△ 彈力F =−KX所作的功:見圖 7-7 所示，

2 2

2

2 1 2

1 2

1

B A

B A B

A B

AB A F dX KXdX KX KX KX

W =

∫

∫

△ 重力m vg所作的功﹔

見圖 7-8 所示，表一重力(定力)m vg對一質量 m 之質點作用，且從 A 沿著任一路徑至 B 點。

∑

∑

=

∴ ∆ → ∆ →

i

i S i

i i S i

AB mg S mg S

W

i i

)]

180 cos(

[ lim

cos lim

0

0 θ ^o θ

∑

−

= ∆ →

i

i

S Si

mg

i

) 180 cos(

lim

0 ^o θ (見圖 7-8(a)之圓) )) (

lim ( lim

0 0

A B i

y i i

y yi mg y mg y y

mg

i i

−

−

=

∆

−

=

∆

−

= _→

∑

∑

或利用積分法求W ^Bmg( j) (dxi dyj dzk)

AB A

v v v

v ⋅ + +

−

=

∫

) ( _{B A}

B A B

A−mgdy=−mg dy=−mg y − y

=

∫ ∫

在以上推導中，我們假設 A→B 路徑其 g 為定值

△ 萬有引力 =− r^∧ r Fv GMmv

2 所作的功:

設有一質點 m，在 M 所建立的重力場中，由 A 點移動至 B 點，見 圖 7-9 所示，

i i

i i

i S i

S i

AB r S

r S GMm

F W

i i

v v v

v ⋅∆ = − ⋅∆

= ^∧

→

∆

→

∆^lim₀

∑

∑

A B

i

r i r r i

r GMm r

GMm

r dr r GMm r

GMm B

i A

−

=

−

=

∆

−

=∆lim→0

∑

∫

設r_A =R_E(地表面)，r_B =R_E +h

則 1]

) / ( 1

[ 1 −

= + + −

=

E E

E E

AB R h R

GMm R

GMm h

R W GMm

時

當 1

...

1 1

1 = −∈+∈2 −∈3 + ∴ ∈〈〈

∈ Q +

RE

− h + ≈

∈∴

−

∈≈

+ 1

) (h/R 1 1 1

1 1

E

R mgh GMmh R

h R

W GMm

E E E

AB ≈ − − =− =−

∴ (1 1) ₂

△例 7-2

§7-4 功-能定理(Work-energy theorem)

△ 若作用在某一物體的力很複雜時;則想利用牛頓第二定律來求得，

該物體在某一位置的速度是相當困難的。因此我們可以改採用功- 能定理來解決這一類的問題。

△ 什麼是功-定理﹔

即外力和對一質點所作的功等於該質點之動能變化量。

△ 功-能定理之證明﹔

[Pf]﹔ dt

dt r d dt

v md r

dt d v md r d F

W ^B

A B

A B

AB A

v v v

v v

v⋅ = ⋅ = ⋅

=

∫ ∫ ∫

2 2

2

2 2 2

2 2

2

2 1 2

| 1 2

1

| ) 2 (

1

| 2 ] 1 2

1 2

[1

) (

) (

A B

B A

B A z y X

B A z y

x

Z y

B

A x

B

A x y z X y z

B A B

A

mV mV

mV

V V V m

V V

V m

dz V dy V dx V m

k dV j dV i dV k V j V i V m

v d v m dt dt v

v m d

−

=

=

+ +

=

+ +

=

+

∫ +

=

+ +

⋅ + +

=

⋅

=

⋅

=

∫

∫

∫

∫

∫

v v v v

v v

v v v v

設動能 ²

2 1mV T ≡

T T T

W_AB = _B − _A =∆

⇒

△ 例題 7-4,7-5,7-6,7-7

§7-5 保守力和位能(Conservative forces and potential energy)

△ 保守力之定義:

若有一力作用於一物體上，並使此物體 由某一位置移動至另一位置，若此力對 該物體所作的功與物體之運動路徑無關

，而僅與物體之初位置y_i和末位置y_f有

關，則此力稱為保守力。換句話說，若

∫

(

∫

例如:彈力Fv =−KXv，其所作的功 ^{2 2} 2 1 2

1

f i

S KX KX

W = − (公式 7-8)，僅與 初，末有關，故彈力為一保守力。

例如:地球之重力Fv_g =mgv，其所作的功W_g =mg(y_i −y_f)(公式 7-9)，

故重力亦為一保守力。

例如:萬有引力 =− r^∧ r Fv GMmv

2 ，其所作的功

i

f r

GMm r

W =GMm− (公式

7-10)，故萬有引力為一保守力。

例如:摩擦力Fv_K

所作的功與運動路徑有關，故摩擦力並非保守力。

△ 位能之定義:

(Ⅰ)由公式 7-8 知 ^{2 2} 2 1 2

1

f i

S KX KX

W IF = − ，若定義彈力位能 ² 2 1KX

U_s = ，則

s s

s

S U U U

W if = i − f =−∆ 。

(Ⅱ)由公式 7-9 知W_gif =mg(y_i −y_f)，若定義地表面上之重力位能為 0，

m

運動路徑

y f

yi

即在高 h 處之U_g =mgh，則W_gif =mgh_i −mgh_f =U_gi −U_gh =−∆U (Ⅲ)由公式 7-10 知

i f

if r

GMm r

W = GMm− ，若定義無窮遠處之位能為 0，即

∞

f →

r 時U_f =0，則某一處之位能

r

U =−GMm，故

U U

U

W_if = _i − _f =−∆ ，故綜合(Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅲ)知保守力所作之功 U

W_c =−∆ 。

§7-6 保守力與位能之關係:

△ 由上節知W_C =−∆U

∴對於一維而言W ^f F X dx U

i

x

C =

∫

∫

−

=

∆

∴ ^f

i

x

x F x dx

U ( )

若選擇X_i為參考點，且X_i =0時U_i =0

∫

−

=

⇒U x ^xF x dx

0 ( ) )

(

§7-7 機械能守能(Conservation of machanical energy)

△ 由 7-4 節知W_if =T_f −T_i (在保守力及非保守力情形) 由 7-5 節知W_if =U_i −U_f (在保守力情形下)

故可知T_f −T_i =U_i −U_f (在保守力情形下) ⇒T_i +U_i =T_f +U_f

△ 由上面推導可知，在保守力作用下，機械能守恆，即E =定值。

dx F dU

dx V V dU F

dt dx dx V dU dt F

a dU V m

dt dU dt

V V d dt m

mV dU dt

d

dt dU dt dT dt

U T d dt

dE

X X

X X

X X

−

=

⇒

= +

⇒

= +

⇒

= +

⋅

⇒

= +

⋅

⇒

= +

⇒

= +

⇒ + =

⇒

=

∴

0

) (

0 0

0 0

2 ) (1

0 ) 0

0 (

2

在一維情形 v v

v v

即若F_X為保守力，則

dx F_X =−dU

對於三維情形

Z k r j U y

r i U

X r k U

F j F i r F

r

Fv V _Xv _yv _Zv v v v

∂

−∂

∂

−∂

∂

−∂

= + +

∂ ⇒

−∂

= ( ) ( ) ( ) ( )

§7-8 機械能守值定律的應用

△ 到目前為止，我們所介紹過的動能僅有移動動能 ² 2 1mV

T = ;所介紹

過的位能有兩種;一為重力位能 mgh 或 r

−GMm，另一為彈力性能

2

2

1KX 。故我們由機械能守值E_i = E_f 知

f f i

i U T U

T + = +

2 2

2 2

2 1 2

1 2

1 2

1

f f

f i

i

i mgh Kx mV mgh KX

mV + + = + +

⇒

△ 例題 7-9，7-10，7-12。

§有非保守力存在時之機械能

△ 由 7-4 功能定理知W_C +W_nC =T_f −T_i 由 7-5 知W_C =U_i −U_f

f f i i

nc T U T U

W + + = +

⇒ (此式稱為廣義之能量守恆)

2 2

2 2

2 1 2

1 2

1 2

1

f f

f i

i i

nc mV mgh KX mV mgh KX

W + + + = + +

⇒

△ 例題 7-13

§7-10 功率(power)

△ 若有一外力作用於一物體，且在∆t時間內對此物體做功W，則定義 平均功率 t

P W

∆

≡ ∆ 。當∆t →0時，平均功率之極限值稱為瞬時功率

(instantaneous power)P，簡稱功率。故功率

dt dW t

P W

t =

∆

≡ ∆

→

∆lim0 ，又因

為dW =Fv⋅dSv，

dt S d F d dt

P= dW = (v⋅ v)

∴ ，當Fv =常數， F V

dt S F d

P v v v

v⋅ = ⋅

=

⇒

△ 功率之 SI 單位為 J/S 或稱為 Watt，但此單位太小，所以我們常用 馬力(horse power)來作為功率之單位。1hp=550ft⋅lb/s=746W。

△ 1 仟瓦一小時(1kwh)=10³w×3600s=3.6×10⁶ws =3.6×10⁶J =1度(家庭 用電常用之單位)。故可知仟瓦一小時為能量之單位，而非功率之 單位。

§7-11(補充)

△ 右圖為一”物體--彈簧”系統的位能圖。

由圖中可知當x〉0時， ^{=− 〈0} dx

F_x dU ，當

〈0

x 時， =− 〉0 dx

F_x dU ，故可知力永遠與

位移方向相反。即質量 m 之物體不管 向左或向右移動，物體皆會受到一向

x=0 方向的力之作用，而 x=0 乃位能為 極小值之位置。綜合以上討論可知，若 U(x)有極小值，則 U(x)極小值處所對應 的位置即為穩定平衡的位置。

△ 右圖為 U(x)對 x 的關係圖，由圖中可知，

當x〉0時， =− 〉0 dx

F_X dU ，且當x〈0時，

〈0

−

= dx

F_X dU ，故可知力永遠與位移方向相

同。即物體不管向右或向左運動，該物體 皆會遠離 x=0 之位置。由以上討論可知，

若 U(x)有極大值，則 U(x)為極大值處所對 應的位置即是不穩定平衡之位置。

m

X=0 X^m

U s

X=0

-X_m X_m

X

0

X U(x)

△ 綜合以上討論我們可找出下圖位能對 x 的關係圖中，那些位置為穩 定平衡位置，不穩定平衡位置，和隨遇平衡位置?

a為隨遇平衡位置 c為穩定平衡位置 e為不穩定平衡位置

a

b

e

d c

f

X U(x)