AC 2 −−− csbsass ))()(( )1)(2)(4(7 AC 2

高雄市明誠中學 高一數學平時測驗 日期：97.05.28 班級

範

圍 2-5 正、餘弦定

座號

姓 名 一、選擇題( 每題 10 分)

1. △ABC 中，

BC

= 3，∠B = 75°，∠C = 45°，則AB= (A) 1 (B) 2 (C) 3−1 (D) 2 (E) 6− 2

【解答】(D)

【詳解】

∠A = 180° −∠B −∠C = 60° ，由正弦定理，

A BC C

AB sin sin =

∴ 2

60 sin

3 45

sin ⇒ =

= °

° AB

AB

2. 在△ABC 中，已知 AC= 10，AB= 8，∠ A= 135°，則△ABC 的面積為 (A) 20 2 (B) 40 2 (C) 80 2 (D) 20 3 (E) 40 3

【解答】(A)

【詳解】

△ABC 面積 = 2

1．AB．

AC ．sinA =

2

1．8．10．sin135° = 20 2 3. △ABC 中， BC= 3，CA = 5，AB= 6，則△ABC 的內切圓面積 =

(A) 5π (B) 2

7

π (C)

5

6

π (D)

7 8π

(E) 3 4

π

【解答】(D)

【詳解】

(1) △ABC = △OAB + △OBC + △OCA = cr ar br 2 +1 2 + 1 2

1 =

2

1

r(a + b + c) =

2

1

r(2s) = r．s

(2) （海龍Heron公式）

∵ s = 2

+ +b c

a = 7，∴ △ABC =

s

(

s

−

a

)(

s

−

b

)(

s

−

c

)= 7(4)(2)(1) = r．7⇒

r =

7

2 2 (3)∴ △ABC內切圓面積= πr² =

7 8

π

4. (複選)圓內切四邊形 ABCD 中，AB=AD= 2，∠C = 60°，∠D = 105°，下列何者正確？

(A)BD = 2 3 (B)此圓半徑= 2 (C) AC = 6 − 2 (D) ∠ACB = 30° (E) ∠CAD = 45°

【解答】(A)(B)(D)(E)

【詳解】

(A) 餘弦定理BD=

AB

² +

AD

² −2

AB

．

AD

． cos120°= 4+4+4 = 2 3 (B) 正弦定理 R =

A BD

sin

2 =

2 3 2

3 2

．

= 2

(C) 正弦定理

° 30 sin

2 =

° 105 sin

AC

⇒

AC

= 2 1 2 ．

4 2

6+ = 6 + 2

二、填充題(每題 10 分)

1. 圓內接四邊形ABCD中，AB= 12， BC = 5， AC = 13，∠BAD = 60°，則：

(1)BD= 。 (2)AD= 。

【解答】(1) 2

3 13 (2)

2 12 + 3 5

【詳解】

(1)在△ABD中，由正弦定理知，

° 60 sin

BD =

∠ADB sin

12 ，在△ABC中，

∠ACB sin

12 =

° 90 sin

13

∵ ∠ADB = ∠ACB ∴

° 60 sin

BD =

° 90 sin

13 ⇒ BD= 2

3 13

(2)設AD= x，在△ABD中，BD² =AB² +AD² −2AB．ADcos60°

⇒ 4

507=144 + x² − 12x ⇒x² − 12x + 4

69=0⇒x = 2

3 5 12±

（負不合），故AD= 2

3 5 12+

2. ∠ B = 45°，∠ C = 60°，a = 2(1+ 3 )，求△ABC的面積 。

【解答】2(3+ 3 )

【詳解】

由正弦定理知：

° +

75 sin

) 3 1 (

2 =

° 45 sin

b ⇒

4 2 6

) 3 1 ( 2

+

+ =

2 2

b b

= 4

∴ △ABC 之面積=

⇒

2

1× 4 × 2(1 + 3 ) × sin60° = 2(3 + 3 )

3. 設△ABC中，∠ A的分角線交 BC 於D，已知AB= 3， AC = 5，

A = 120°，則

∠ AD的長為 。

【解答】 8 15

由△ABC =△ABD +△ACD ⇒ 2

1．3．t．sin60° + 2

1．5．t．sin60° = 2

1．3．5．sin120°

8t = 15

t =

⇒ ⇒

8 15

4. 設圓內接四邊形ABCD中，∠ CAD = 30°，∠ACB = 45°，CD = 2，試求：

(1)AB之長 = 。 (2)劣弧CD^︵ 的弧長 = 。

【解答】(1) 2 2 (2) 3 2π

【詳解】

(1)設∠ ADC = θ，∠ ABC = π − θ 在△ACD 中，

θ AC

sin =

° 30 sin

2 ……..①

在△ABC 中，

° 45 sin

AB =

sin(180 )

AC

° − θ =

θ AC

sin …….② 由①②，

° 30 sin

2 =

° 45 sin

AB

⇒ AB=

°

° 30 sin

45 sin

2 = 2 2 (2)△ACD 之外接圓半徑 2R =

° 30 sin

2 ⇒

R =

²

2 sin 30°= 2，

又∠ CAD = 30°，則劣弧CD^︵之圓心角為 30° × 2 =60°，劣弧 ︵之長 =

CD 60

2 2 360

° × π×

° =

3 2π

5. △ABC中， AC= 4， BC = 5，∠A = 60°，則AB之長為 。

【解答】2 + 13

【詳解】

由餘弦定理知 cos60° =

AB AB

4 2

25

16 ²

．

．

−

+ ⇒ 4AB=

AB

²− 9

⇒

AB

²− 4AB− 9 = 0⇒ AB=

1 2

36 16 4

． +

± =

2 13 2

4± = 2± 13（負不合）

∴ AB= 2 + 13

6. △ABC中，AB= 3， BC = 7，CA = 5，則

(1)∠A = 。 (2)設M為 BC 中點，則AM= 。

2

【解答】(1) 120° (2) 19

【詳解】

(1)由餘弦定理cosA =

bc a c b

2

2 2

2+ −

= 2 5 3 7 3 5^{2 2 2}

．

．

−

+ = −

2

1，∴ ∠A = 120°

(2)設AM = x，∠AMB =

θ

，則∠AMC = 180° −

θ

，且cos(180° −

θ ) = − cos θ

∴

2 2 7

3 2) (7 ^{2 2}

2

．x．

x

+ −

= −

2 2 7

5 2) (7 ^{2 2}

2

．x．

x

+ −

⇒ 2x² = 2

19 ⇒ x = ± 2

19 （負不合）

7. △ABC中，∠A = 45°，∠B = 60°，BC = 2，則(1)AB= 。 (2) AC = 。

【解答】(1) 3+1 (2) 6

【詳解】

(1)∠C = 180° − 45° − 60° = 75°

由正弦定理 A a sin =

C c

sin ⇒

° 45 sin

2 =

° 75 sin

c ⇒ c = 3 + 1

(2)由正弦定理 A a sin =

B b

sin ⇒

° 45 sin

2 =

° 60 sin

b ⇒ b = 6

8. △ABC中，∠B = 55°，∠C = 65°， BC = 10，則△ABC之外接圓半徑R = 。

【解答】 3 3 10

【詳解】

∠A = 180° −∠B −∠C = 60°

由 C

c B b A a

sin sin

sin = = = 2R ⇒

° 60 sin

10 = 2R ⇒

R =

3 3

=10 3 10

9. △ABC中，若(b + c)：(c + a)：(a + b) = 7：8：9，則sinB之值為 。

【解答】5 4

【詳解】

設

b + c = 7k，c + a = 8k，a + b = 9k a + b + c = 12k a = 5k，b = 4k，c = 3k

∴ cosB =

⇒ ⇒

5 3 2

2 2

2 + − =

ca b a

c

⇒

5 sinB= 4

10.設△ABC的外接圓半徑為 10，而 ︵： ： = 4：5：3，則三角形的面積為

AB

BC^︵ ︵

CA 。

【解答】25(3+ 3 )

【詳解】

： ： = 4：5：3，設△ABC 的外接圓圓心 O

AB

︵ BC^︵ ︵

CA

⇒

5 360 150 12

3 360 90 12

4 360 120 12

AOB BOC COA

⎧∠ = × ° =

⎪⎪

⎪∠ = × ° =

⎨⎪

⎪∠ = × ° =

⎪⎩

°

°

°

△ABC =△AOB +△BOC +△AOC

=

⇒

1 1 1

10 10 sin150 10 10 sin 90 10 10 sin120

2× × × ° + × × ×2 ° + × × ×2 °= 25(3 + 3 ) 11.△ABC之三邊長為 8，10，12，則

(1)△ABC之面積為 。 (2)△ABC之外接圓半徑為 。 (3)△ABC最大邊上之中線長為 。

【解答】(1) 15 7 (2) 7

7

16 (3) 46

【詳解】

(1) （海龍Heron公式） s = 2

1(8 + 10 + 12) = 15，由海龍公式△= 15．3．5．7= 15 7 (2)由△=

R abc

4 ⇒ 15 7= R 4

12 10

8× × ⇒

R =

7 15240 =

7 7 16

(3)最大邊上之中線長 = 2

1 2 2 2

2

2

a

+

b

−

c

= 2

1 2 2 2

12 10 2 8

2． + ． − = 46

12.a，b，c為△ABC三邊長，若 2a − b − c = 0 且a − 4b + 2c = 0，求cosA：cosB：cosC =

。

【解答】19：25：7

【詳解】

⇒ a：b：c =

⎩⎨

⎧

= +

−

=

−

−

0 2 4

0 2

c b a

c b a

2 4

1 1

−

−

− ：

1 2

2

−1

： 1 4 1 2

−

− = ( − 6)：( − 5)：( − 7) = 6：5：7

設

a = 6k，b = 5k，c = 7k

∴ cosA：cosB：cosC =

) 7 )(

5 ( 2

) 6 ( ) 7 ( ) 5

( ^{2 2 2}

k k

k k

k

+ −

： 2(6 )(7 ) ) 5 ( ) 7 ( ) 6

( ^{2 2 2}

k k

k k

k

+ −

： 2(6 )(5 ) ) 7 ( ) 5 ( ) 6

( ^{2 2 2}

k k

k k

k

+ −

= 7 5

38

× ： 7 6

60

× ： 5 6

12

× = 19：25：7

13.△ABC中， BC= a，CA = b，AB= c，已知ab：bc：ca = 2：3：4，試求：

(1) sinA：sinB：sinC = 。 (2) cosA = 。

【解答】(1) 4：3：6 (2) 36 29

【詳解】

(1)ab：bc：ca = 2：3：4 且 abc ≠ 0，

abc ab ：

abc bc ：

abc

ca = 2：3：4⇒

c 1：

a 1：

b

1 = 2：3：4

⇒

a：b：c =

3 1：

4 1：

2

1= 4：3：6 sinA：sinB：sinC = 4：3：6 (2)令 a = 4k，b = 3k，c = 6k，則 cosA =

⇒

bc a c b

2

2 2

2 + − =

k

6

2 −(

k

k k

k

3 2

) 4 ) 6 ( ) 3

( ^{2 2}

．

．

+ = ₂²

36 29

k k =

36 29

14.四邊形ABCD中，AB= 3 ，BC = 1 + 3 ，CD = 2 ，AD= 1。若∠C = 45°，則對角線BD= 及

CA

= 。

【解答】2； 4+ 3

【詳解】

連對角線

AC ，

BD，在△BCD中，

餘弦定理，

BD

²= (1 + 3 )² + 2²− 2．(1 + 3 )． 2 cos45° = 4 ∴ BD = 2 在△BCD中，由正弦定理知

∠CBD sin

2 =

° 45 sin

2 ⇒ sin∠CBD = 2

1 ，∠CBD = 30°

又△ABD中，AD= 1，AB= 3 ，BD= 2，知∠ABD = 30°，∠ABC = 60°

△ABC中，餘弦定理，AC²= (1 + 3 )² + 3²− 2．(1 + 3 )． 3 cos60° = 4 + 3 ⇒ AC = 4+ 3

15.設△ABC滿足(a + b − c)(b + c − a) = (2 − 2 )ca，試求tanB = 。

【解答】1

【詳解】

(a + b − c)(b + c − a) = (2 − 2 )ca ⇒ [b + (a − c)][b−(a − c)] = (2 − 2 )ca

⇒

b

²

− (a − c)

² = (2 − 2 )ca ⇒

b

²

− a

²

+ 2ac − c

² = 2ca − 2 ca

⇒

b

²

− a

²

+ 2 ca − c

² = 0 ⇒

a

²

+ c

²

− b

² = 2 ca

∵ cosB =

ac b c a

2

2 2

2 + − =

ac ca 2

2 = 2

2 ∴ ∠ B = 45° ⇒ tanB = tan45° = 1 16.設△ABC之三邊長分別為AB= 8， BC = 5， AC = 7，則

(1)△ABC最小內角之餘弦的函數值為 。 (2) sinA：sinB：sinC = 。

(3)△ABC的面積 = 。 (4)△ABC的外接圓半徑為 。 (5)△ABC的內切圓半徑為 。 (6) BC 邊上的中線長 = 。

(7)設∠B的內角平分線交 AC 邊於D點，則BD之長為 。

【解答】(1) 14

11 (2) 5：7：8 (3) 10 3 (4) 3

7 3 (5) 3 (6) 2

201 (7) 13 40 3

【詳解】

(1)∠A為最小內角，餘弦定理cosA =

8 7 2

5 8 7^{2 2 2}

．

．

−

+ =

14 11

(2)正弦定理sinA：sinB：sinC = 5：7：8

(3)s = 2

1(5 + 7 + 8) = 10，△=

s

(

s

−

a

)(

s

−

b

)(

s

−

c

)= 10(10−5)(10−7)(10−8)=10 3 (4)△=

R abc

4 ⇒ 外接圓半徑R =

△ 4

abc =

3 10 4

8 7 5

×

×

× =

3 7 3

(5)△= rs ⇒ 內切圓半徑r = s

△= 10

3 10 = 3

(6)延長 AM 使得MD=AM ，則ABDC為一平行四邊形

由平行四邊形定理(2x)² + 5² = 7² + 8²+7² + 8²，中線長AM = x = 2 201

(7)∵ BD為內角平分線 ∴ CD

AD= CB AB=

5

8 ⇒ AD= 13

8

AC

= 13

8 × 7 = 13 56

△BAD及△BAC中，餘弦定理，cosA =

13 8 56 2

13) (56

8^{2 2 2}

．

．

−

BD

+

= 2 8 7 5 7 8^{2 2 2}

．

．

−

+ ⇒BD= 13 40 3

17.△ABC中，三邊AB，

BC ，CA 的高分別為h

c = 3，ha = 6，hb = 4，

則cosA = ， BC = ，

△ABC的外接圓半徑R = 。△ABC的面積____________。

【解答】8 7，

15 16 ，

15 64

【詳解】

(1)∵ a：b：c = ha

1 ： hb

1 ： hc

1 = 6 1：

4 1：

3

1= 2：3：4 ∴ cosA =

bc a c b

2

2 2

2 + −

=8 7

(2)直角△BCH中， sin

h

^b

C

=

BC

⇒ hb =BH = BC sinC

∵ cosC =

ab c b a

2

2 2

2 + − = −

4

1 ⇒ sinC = 4

15 ∴ 4 = a．

4

15 ⇒

a =

15 16

(3) A a

sin = 2R， ∵ cosA = 8

7 ⇒ sinA = 8

15 ∴

R =

A a sin

2 =

15 64