投票
民主的 技術 與 意義
單維彰． 2020 年 5 月 4 日
民主是什麼？
Democracy
英文 拉丁文 希臘文
歐戰（WWI）之後，美國行銷
⺠國 8 年（1919 年）五四運動：德先生
煽動宣傳詞：「⺠主─⼈⺠當家作主」
本文沒有答案
選舉程序
投票：⼀群⼈做共同決定的⽅法之⼀
選舉程序：投票規則與計票規定
法律條文
徒法不足：更高層次的共識與自制
「道德」或「潛規則」
民主程序的形上程序
⺠主只是⼀套程序
管理與決定公眾事務的⼀套程序
你有你的真知灼見 我有我的真知灼見
誰的真知灼見 該成為社會的定見？
⺠主只是⼀套程序
管理與決定公眾事務的⼀套程序
不是承諾與應許 不能保證內容與產出
不是唯⼀的程序
⻄⽅逐漸選擇它是因為…看來較少痛苦
非原生的觀念 我們是因為…「⻄化」
「爾愛其羊 ‧ 我愛其禮」
羊：成本
禮：程序
⺠主的本質：不求有功，但求無過 別怪⺠主導致平庸
⺠主的代價：犧牲效率
耐心是美德，美德無法用法律規範
⺠主程序的形上程序
每個⼈都能免於恐懼地表達意見
緘默是另⼀種表達⽅式
每個⼈都能免於恐懼地保持緘默
⺠主程序的形上程序
每個⼈都能免於恐懼地表達意見或保持緘默
不做事實以外的煽動與臆測
言者與聽者都能分辨：
意見
事實
⺠主程序的形上程序
每個⼈都能免於恐懼地表達意見或保持緘默
就事論事地發表意見或陳述事實
無⼈得以凌駕「當時的」法律
⺠主程序理應可以在程序內 修訂或制訂法律
⺠主程序的形上程序
每個⼈都能免於恐懼地表達意見或保持緘默
就事論事地發表意見或陳述事實
每個⼈都須遵守經程序的約定（法律）
相關意見均已充分表達
接受此程序產生的結果
同樂會二籌
共同決定⼀種冷飲
15 名籌備委員。
三種飲料投票擇⼀。
T. 冰紅茶 B. 啤酒 C. 雞尾酒
⼀⼈⼀票相對多數決 T > B > C
6 5 4
『我最討厭紅茶…』
『少數服從多數嘛…』
『要有風度啊…』
二輪投票決勝負 B > T
9 6
（對立 / 瞪~~）
（沈默…）
「科學」計分制 C > B > T 19 14 12
『我不玩了…』
（叛徒 / 瞄~~）
（唬爛…）
15 位同學不理性嗎？
⺠主素養不足嗎？
主席的陰謀嗎？
棄保和聯盟的策略嗎？
很可能 以 上 皆 非
選舉理論
根據選⺠表達的意願，將候選對象排序的規則
數學函數：輸入選⺠卷宗，輸出候選對象的排序
選⺠卷宗：選⺠對候選對象之排序定見
若有 N 位選⺠，K 個候選對象，則卷宗內有 N 個 K 維 向量，每個向量表示 K 個對象在⼀位選⺠心中的排序。
選舉程序 以「二籌」為例
卷宗內有 15 個三維向量；共應有 3!=6 種向量，
但實際上只有 3 種不同排序，統計如下表。
⼈數 心中的定見 6 T > C > B 5 B > C > T 4 C > B > T
15 位委員都
「理性」且「誠實」地投票
第⼀回：選心中最優先 T6、B5、C4
第二回：在T與B之間擇較優者 T6、B9
第三回：依序給 2、1、0 分 T12、B14、C19
⼈數 心中的定見 6 T > C > B 5 B > C > T 4 C > B > T
全是選舉程序造成的
第⼀回選出「最多⼈最不喜歡的對象」
「二籌」投票案並無陰謀
「誠實」與「理性」
誠實：依照定見與規則投票 否則稱為「有策略」
理性：其定見符合遞移律 若 A > B 且 B > C，則必須 A > C
理性 vs ⼈性：選舉當下的定見
只要 K > 2，存在特殊的卷宗，
使得以設計 K 種不同程序，
針對同⼀組卷宗，讓每個候選對象 在（誠實且理性的）選舉中各獲勝⼀次。
選舉程序的數學理論
但問「公道」何物？
如果因規就習奉某種程序為圭臬，
聽其主宰我們的生活，
豈不荒唐而可悲？
有沒有「最公道」的選舉程序？
鞏多瑟和波達
Condorcet 作為數學家
16 歲發表第⼀篇數學論文，25 歲因積分學的研究 獲選法國科學院士。
Condorcet 開創選舉理論
Essai sur l'application de l'analyse a la
probabilite des decisions rendues a la pluralite des voix, 1785.
論數學分析應用於多數決之機率問題（1785）
Condorcet，
1743—94
鞏多瑟被譽為法國最後⼀位啟蒙哲 學家。他在法國大革命中扮演的角 色幾乎就是美國獨立運動中的傑佛 遜。作為⼀名關心平⺠的貴族知識 份子，他起草憲法、鼓吹宗教自由、
擘畫教育、反對蓄奴、提倡女權。
然⽽，法國大革命後來失控，他⼀
夜之間變成通緝犯，入獄後第三天 暴斃於地板上，未經審判、死因不 明。
鞏多瑟程序
公道：在所有捉對選舉中獲勝次數最多
成本太高
若有 K 個候選對象，要舉辦 場選舉
「二籌」之例，須辦三場選舉 T : C = 6 : 9 C 贏
T : B = 6 : 9 B 贏 B : C = 5 : 10 C 贏
總獲勝次數 C : B : T = 2 : 1 : 0
2
CK
⼈數 心中的定見 6 T > C > B 5 B > C > T 4 C > B > T
鞏多瑟程序
致命傷：可能發生不理性的結論
若 15 名選⺠的卷宗如右 T : C = 10 : 5 T > C B : C = 5 : 10 C > B T : B = 5 : 10 B > T 總獲勝次數 C : B : T = 1 : 1 : 1
更糟的是產生不理性的結果 T > C > B > T
⼈數 心中的定見
5 T > C > B 5 B > T > C 5 C > B > T
波達計票法
（Borda Count）
公道：累計得分最高
每位選⺠必須將候選對象嚴格排序
在選票上依序給 K-1 分、K-2 分、…、0 分
「二籌」的第三回選舉程序
投票操作較複雜，廢票的定義嚴格 常見的變形：在選票填寫 1, 2, …, K 之序，
得分總計由低到高排序。 喻以早曾發明鞏多瑟程序 尼閣老也曾批評喻以而提
出波達計票法
Borda
(1733—99)
波達有貴族背景，在 20 歲提出
⼀份幾何學⽅⾯的論文，22 歲 在軍中獲得數學家職位；他的生 涯⼀直是學術與軍旅並⾏。在 1776~78 年間，他還擔任艦⻑，
帶著法國海軍越洋幫美國人打了 獨立戰爭。
波達影響我們最深的⼀件事，
巴黎經線
法國人曾經主張以「巴黎經線」
─通過巴黎聖⺟院尖塔的經線─
為基準子午線（現在的世界標準 是格林威治經線）。該線的連續 陸地線段北起敦克爾克，南迄⻄
班牙境內的巴塞隆納。
複讀儀：法國科學院想爭 取預算用它執行測量。
法國大革命差點革了科學 院的命，拿破崙救了它。
鞏多瑟程序成為「公道」基準
早期研究法的共通問題：
沒有「公道」的定義
所以沒有批判選舉程序的客觀標準。
悖離鞏多瑟程序的機率最高者：
⼀人⼀票相對多數決
雅樂不可能定理
Kenneth Arrow
(1921—2007)
1951 年博士論文 Social Choice and
Individual Values 1971 年諾貝爾經濟學獎 普遍可能性定理
普遍被稱為 雅樂不可能定理
Arrow 的洞見
「公道」不能被其他更基本的觀念定義，所以採取 歐幾里德處理平面幾何的⽅法：建立公理，訴諸於 社會的同意與共識。
公理可受檢視彼此的獨立性與⼀致性，本⾝並 無對錯。公理的接納與否，就是社會選擇。
Arrow 的 5 條「公道」公理
1. 每⼀個選⺠的影響⼒都⼀樣。
2. 除了不能不理性之外，對選⺠的排序沒有任何限制。
3. 如果所有選⺠都認為 A > B，則選舉結果也要 A > B。
4. 選舉結果關於 A 和 B 的排序，應該只由卷宗內 A 和 B 的 相對順序決定， 與任何第三者無關。
5. 如果所有選⺠都是理性且誠實投票，則選舉的結果也要 顯示理性的排序。
1. 每⼀個選⺠的影響⼒都⼀樣
無獨裁者。
無所謂「德高望重」。
每個選⺠可獨立思考（有足夠知識）。
不因⼈廢言，不因言廢⼈。
雅樂不可能定理
如果候選對象 K > 2，
則不存在「公道」的 選舉程序。
當 K = 2
⼀⼈⼀票相對多數決是「公道」的。
其他（常見的）選舉程序得到的結果同上。
都⼀樣是「公道」的。
鞏多瑟程序有其道理。
數學的「不可能」
不是經驗法則。
不是努⼒不足。
不是智⼒不逮。
就是「不可能」。
例如不可能找到正整數 m、n 使得 m2= 2n2
鞏多瑟違背 5、波達違背 4
起初三種飲料，卷宗如上。
波達計票應為
C : B : T = 19 : 16 : 10
若加入冰咖啡 K，卷宗如下。
B : C : K : T = 26 : 23 : 22 : 19 冰咖啡自己沒贏
卻對掉了原來的前兩名。
⼈數 心中的定見 5 T > C > B 6 B > C > T 4 C > B > T
⼈數 心中的定見
5 T > K > C > B 6 B > K > C > T
多數決非常容易違背 4
選舉理論很少探討
「⼀⼈⼀票相對多數決」
不提供排序
容易選出「最多⼈最不喜歡」的優勝
特別容易違背公理 4
以「二籌」為例，只要最喜歡 T 的 6 人 中，有兩人改成最喜歡 K，其他人的
「最喜歡」沒變，不論 K 排在第幾順位，
皆使得優勝由 T 變成 B。
⼈數 心中的定見 6 T > C > B 5 B > C > T 4 C > B > T
⼈數 心中的定見
2 K > T > C > B 4 T > ．．．．
5 B > ．．．．
同意票制
(approval voting)
違背公理 1
全選或全不選，等於棄權
只選⼀名，或僅不選⼀名者，相對影響⼒最大
如果所有選⺠都僅選⼀名，則等於「多數決」
雅樂定理的大眾解讀
必須在殘缺的選舉程序和獨裁之間，
做⼀選擇
但「公理」並不唯⼀，可以有 另⼀套競爭的公理
薩伊的修訂理論
Donald Saari
(b. 1940)
1967年普度大學數學博士，
現為 UC Irvine 的
Distinguished Prof of Mathematics and Economics
認為 Arrow 的定義內含矛盾
薩伊的思想關鍵
選舉程序應設計得「容易檢定選⺠的理性」
按此觀點，雅樂公理 4 反而限制了上述功能
順便⼀提：
「多數決」最不能檢定選⺠是否理性
Saari 的修訂：公理 4’
只要將 Arrow 的「公道」公設加上三個字
（⼀個觀念），就存在滿⾜（新）公道條件 的選舉程序了。
4’ 選舉結果關於 A 和 B 的排序，應該只由卷宗 內 A 和 B 的相對順序
和距離
決定， 與任何第 三者無關。卷宗內的「距離」
在 B > C > T 中，B-C 距離為
，B-T 距離為
若加入冰咖啡 K 之後，B、C 雖順序未變，但距離改變，
則公理 4’ 允許選舉結果改變。
新卷宗的 B > K > C > T 中，
B-C 距離改變為
⼈數 心中的定見 5 T > C > B 6 B > C > T 4 C > B > T
⼈數 心中的定見
5 T > K > C > B 6 B > K > C > T 1 3 2- =
1 2 1- =
1 3 2- =
得獎的是…
薩伊的修訂與波達的救贖
波達計票法並未違背公理 4’
波達計票法符合薩伊的「公道」公理
波達計票法是「公道」的選舉程序
其他（討論過的）程序都「不公道」
數學能幫忙的是…
證明波達計票法是「公道」的
舉例說明「多數決」很糟糕
數學幫不上忙的是…
要不要接受薩伊修訂的「公道」公理？
要不要繼續使用「多數決」？
結語（民主不是應許）
公眾抉擇程序
兩票制？
容許平分排序（例如 T > B = C）？
抑制「策略」的選舉程序
商業、經濟、社會福利
決策理論（decision theory）
（勿）把⺠主當信仰
美國⺠主黨當初主張蓄奴
希特勒經選舉與議會取得 權⼒
邏輯大師 Gödel 發現美國 憲法容許合法產生希特勒
⺠主政體不見得減少人命 死傷
⺠主與教育
⺠主政體特別需要教育的普及
每個人都能參與決策
每個人都要負起責任
有知識、能思辯，資訊透明才有意義
