由於 v1, v2 為 A 的 eigenvectors 且可形成R2 的一組 basis, 我們知 A 為 diagonalizable

154 6. Eigenvalues and Eigenvectors

Example 6.1.5. 考慮 Example 6.1.2 中 A =

[1 3 4 2 ]

, v1= [ 1

−1 ]

, v2= [3

4 ]

.

由於 v₁, v2 為 A 的 eigenvectors 且可形成R² 的一組 basis, 我們知 A 為 diagonalizable. 事 實上若令 C =

[ 1 3

−1 4 ]

, 則由

AC = [1 3

4 2

][ 1 3

−1 4 ]

=

[−2 15 2 20 ]

=

[ 1 3

−1 4

][−2 0 0 5 ]

= C

[−2 0 0 5 ]

.

故得 C⁻¹AC =

[−2 0 0 5 ]

為 diagonal matrix.

要如何找到一個 n× n matrix 的 eigenvector 及其對應的 eigenvalue 呢? 其實一般的 找法是先找到 eigenvalue, 然後再找出與其對應的 eigenvector. 首先觀察若 λ ∈ F 是 A 的 eigenvalue, 表示存在一個非零向量 v∈ Fⁿ 使得 Av =λv. 由於 Inv = v, 所以看成矩陣的運算 λv = (λIn)v. 因此 Av =λv 就等同於 (A − λIn)v = 0. 換言之, λ 是 A 的 eigenvalue 等同於 由 n× n matrix A −λIn 所對應的 linear system (A−λIn)x = 0 有 nontrivial solution x = v.

由 Theorem 3.5.9, 這又等同於 A−λIn 不是 invertible, 再由 Theorem 5.2.6(1) 知這也等同 於 det(A−λIn) = 0. 總言之, 要找到 A 的 eigenvalueλ 就是要找到 λ 滿足 det(A − λIn) = 0.

要怎樣找到 λ 滿足 det(A − λIn) = 0 呢? 假設 A = [a_{i j}], 若我們將 t 視為變數, 考慮 det(A−tIn). 由於

A−tIn=







a_{1 1}−t a_{1 2} ··· a_{1 n} a_{2 1} a_{2 2}−t ··· a_{2 n} ... ... . .. ... a_{n 1} a_{n 2} ··· an n−t







利用數學歸納法, 我們可以證明 det(A−tIn)會是一個以 t 為變數的 n 次實係數多項式. 而若 t =λ 為此多項式的一實數根, 則 λ 就會滿足 det(A−λIn) = 0, 也就是說λ 就會是 A 的一個 eigenvalue. 反之, 若 λ 就會是 A 的一個 eigenvalue, 就表示 t = λ 會是多項式 det(A −tIn) 的一個根. 由此可知多項式 det(A−tIn)可以讓我們完全掌握 A 的 eigenvalue, 我們因而給它 一個特別的定義.

Definition 6.1.6. 假設 A∈ Mn×n(F), 考慮以 t 為變數的多項式 pA(t) = det(A−tIn). 我們 稱 p_A(t) 為 A 的 characteristic polynomial (特徵多項式)..

從上面的討論我們知道λ ∈ F 為 characteristic polynomial pA(t) 的一個根若且唯若λ 為 A 的 eigenvalue. 這裡要注意要談論 eigenvalue 是必須強調在哪一個 field 的 eigenvalue. 例 如當 A∈ Mn×n(R), 其 characteristic polynomial pA(t) 是一個實係數多項式, 不過 p_A(t) 有可 能有非實數的虛根. 此時這個虛根不會是 A 在Rⁿ中的 eigenvector 所對應的 eigenvalue. 事 實上如果λ ∈ C\R 是 pA(t) 的一個虛根, 此時假設存在 v∈ Rⁿ 使得 Av =λv. 由於 Av ∈ Rⁿ, 但 λv ̸∈ Rⁿ, 所以 Av =λv 不可能成立. 不過依前面的探討我們知道一定會有 w ∈ Cⁿ 滿 足 Aw =λw. 在這個課程裡, 當我們探討矩陣 A ∈ Mn×n(F) 的 eigenvalue 時, 若沒有特別

說明, 都僅討論在 F 的 eigenvalue. 例如當我們討論實矩陣時, 我們考慮 eigenvalue 僅考慮 characteristic polynomial 的實根.

Example 6.1.7. 考慮 B =



 −1 4 2

−1 3 1

−1 2 2



, 此時 A 的 characteristic polynomial 為

p_B(t) = det(B−tI3) = det



 −1 −t 4 2 1 3−t 1

−1 2 2−t



.

對第一個 row 降階求行列式得 pA(t) = (−1 −t)det

[ 3−t 1 2 2−t

]

− 4det

[ −1 1

−1 2 −t ]

+ 2 det

[ −1 3 −t

−1 2 ]

.

化簡可得 p_A(t) =−(t − 1)²(t− 2). 也因此 t = 1 和 t = 2 為 A 的 characteristic polynomial 的二實根, 也因此得 A 有兩個 eigenvalues 1, 2.

接下來我們說明當 A∈ Mn×n(F) 時, 其 characteristic polynomial det(A − tIn) 確實是 t 的多項式. 首先觀察當我們在利用降階求 determinant 時, 其實是一些乘積之和. 利用數學 歸納法可得這些乘積是由每一個 column 中的某個元素相乘而得而且它們都不會在同一個 row. 例如當我們計算 2×2 matrix

[ a b c d

]

的 characteristic polynomial det

[ a−t b c d−t

]

時不難發現會貢獻 t 的最高次項乘積的是 (a− t)(d − t) 而另一個乘積 bc 就僅影響到常 數項, 因此其最高次項 t² 與次高次項 t 的係數就完全由 (a−t)(d −t) 的 t² 與 t 的係數即 at²− (a + d)t 所決定. 現考慮 3 × 3 matrix A =



 a b c d e f g h i



 的 characteristic polynomial.

利用對第一個 row 降階的方式我們有 det



 a−t b c d e−t f g h i−t



 = (a −t)det[

e−t f h i−t

]

− bdet

[ d f g i−t

] + c det

[ d e−t g h

] .

從 前 面 2× 2 的情形我們看出 det

[ e−t f h i−t

]

的 t² 與 次 高 次 項 t 的 係 數 就 完 全 由 (e− t)(i − t) 的 t² 與 t 的係數所決定, 因此 (a− t)(e − t)(i − t) 貢獻出 t³ 和 t² 的係數. 而 det

[ d f g i−t

] 和 det

[ d e−t g h

]

最多僅有 t 的一次出現, 因此得 det(A− tI3) 的 t³ 和 t² 的係數完全由 (a−t)(e −t)(i −t) 所決定. 也就是說 A 的 chacteristic polynomial pA(t) 為 3 次多項式且其最高次的兩項為 (−1)³t³+ (−1)²(a + e + i). 這裡 a, e, i 為 A 的 diagonal entries, 它們之和 a + e + i 我們稱為 A 的 trace, 用 tr(A) 來表示. 利用數學歸納法, 我們 可得當 A = [a_{i j}]為 n× n matrix 時, A 的 characteristic polynomial pA(t) = det(A−tIn) 為 t 的 n 次實係數多項式, 且其最高次的兩項是由 (a_{1 1}−t)(a2 2−t)···(an n−t) 所貢獻因此為 (−1)ⁿtⁿ+ (−1)ⁿ⁻¹(a1 1+··· + an n)tⁿ⁻¹. 由於 A 的 diagonal entries 之和 a1 1+··· + an n 我們 定為 tr(A), 因此有以下之結論.

Proposition 6.1.8. 假設 A∈ Mn×n(F). 則 A 的 characteristic polynomial 為 t 的 n 次實 係數多項式. 其 tⁿ 項係數為 (−1)ⁿ, tⁿ⁻¹ 項係數為 (−1)ⁿ⁻¹tr(A) 而常數項係數為 det(A).

156 6. Eigenvalues and Eigenvectors

Proof. 令 p_A(t) = det(A−tIn), 由前面的討論我們僅剩討論 p_A(t) 的常數項. 由於 p_A(t) 是 多項式所以它的常數項是 p_A(0) = det(A− 0In) = det(A).  Question 6.3. 假設 A∈ Mn×n(F). 試問 A 最多會有幾個相異的 eigenvalues?

Example 6.1.9. 考慮 Example 6.1.2 中 A = [1 3

4 2 ]

的 characteristic polynomial p_A(t). 由 於 tr(A) = 1 + 2 = 3 以及 det(A) = 2− 12 = −10, 利用 Proposition 6.1.8 可得

pA(t) = (−1)²t²+ (−1)3t + (−10) = t²− 3t − 10.

事實上利用 characteristic polynomial 的定義直接計算可得 pA(t) = det

[1−t 3 4 2−t

]

= (1−t)(2 −t) − 12 = t²− 3t − 10.

分解後可得−2,5 為 A 的 eigenvalues.

接下來我們介紹一個和 eigenvalue 有關的定義. 若λ ∈ F 是 A 的 eigenvalue. 由於 t = λ 會是 A 的 characteristic polynomial p_A(t) = det(A−tIn) 的一個根. 由因式定理知 t−λ 會 整除 p_A(t). 若 (t−λ)^m 可整除 p_A(t), 但 (t−λ)^m+1 不能整除 p_A(t), 則我們稱 eigenvalue λ 的 algebraic multiplicity (代數重根數) 為 m. 當然了當 t =λ 是 pA(t) 的一個單根, 我們就 說 λ 的 algebraic multiplicity 為 1. 例如 Example 6.1.7 中 B 有兩個 eigenvalue 1 和 2, 其 中 eigenvalue 1 的 algebraic multiplicity 為 2, 而 eigenvalue 2 的 algebraic multiplicity 為 1. 而 Example 6.1.9 中 A 的兩個 eigenvalue −2,5 其 algebraic multiplicity 皆為 1. 有關 algebraic multiplicity 的性質, 以後我們還會進一步討論.

Question 6.4. Identity matrix I_n 的 eigenvalue 有哪些? 其 algebraic multiplicity 為何?

最 後 我 們 介 紹 一 些 和 characteristic polynomial 有 關 的 性 質. 一 般 來 說 兩 個 n× n matrices 的 characteristic polynomial 可能不相同. 不過在一種特殊情況之下, 它們的 characteristic polynomial 會一樣. 前面提過當 A, B 為 n× n matrices, 若存在 n × n 的 invertible matrix U, 使得 B = U⁻¹AU , 則我們稱 A, B 為 similar (關於這個定義的原因我們 以後會再詳述). 此時我們可得 A 和 B 的 characteristic polynomial 是相同的.

Proposition 6.1.10. 假設 A, B 為 n×n matrices 且存在 n×n 的 invertible matrix U 滿足 B = U⁻¹AU . 則 A 和 B 有相同的 characteristic polynomial.

Proof. 依假設 B 的 characteristic polynomial 為 det(B−tIn) = det(U⁻¹AU−tIn). 然而依矩 陣乘法性質

U⁻¹(A−tIn)U = U⁻¹AU−U⁻¹(tIn)U = U⁻¹AU−tU⁻¹InU = U⁻¹AU−tIn. 因此再由 determinant 的性質 (Theorem 5.2.6) 得

det(B−tIn) = det(U⁻¹(A−tIn)U ) = det(U⁻¹) det(A−tIn) det(U ) = det(A−tIn).

得證 A 和 B 有相同的 characteristic polynomial. 

另一個會有相同的 characteristic polynomial 的情況就是 A 和 A^t有相同的 characteristic polynomial.

Proposition 6.1.11. 假設 A∈ Mn×n(F), 則 A 和 A^t 有相同的 characteristic polynomial Proof. 利用 trnaspose 的性質 (A− tIn)^t= A^t− tI_n^t = A^t− tIn (Proposition 3.2.4), 故利用 Theorem 5.2.6 (3), 我們有

P_A^t(t) = det(A^t−tIn) = det((A−tIn)^t) = det(A−tIn) = PA(t).

 Question 6.5. 試說明 A 和 A^t 有相同的 eigenvalues 且對每個 eigenvalue 其在 A 和 A^t 的 algebraic multiplicity 也相同.

6.2. Eigenspace 和 Eigenvector

我們了解了如何找到一個 n× n matrix 的 eigenvalue 之後, 接下來便是要找出這些 eigen- value 所對應的 eigenvectors.

假設 A∈ Mn×n(F) 且 λ ∈ F 為 A 的一個 eigenvalue. 由於 det(A − λIn) = 0, 我們知聯立 方程組 (A−λIn)x = 0 存在非零的 nontrivial solution. 現假設 v∈ Fⁿ 為非零向量且 x = v 為 (A−λIn)x = 0 的一組解. 此即表示 v 滿足 (A−λIn)v = 0, 亦即 Av =λv. 故此時 v 為 A 的一個以λ 為 eigenvalue 的 eigenvector. 反之, 若 v 為 A 的一個以 λ 為 eigenvalue 的 eigenvector, 則 x = v 必為 (A−λIn)x = 0 的一組 nontrivial solution. 因此我們只要掌握 n× n matrix A −λIn的 nullspace (即{v ∈ Fⁿ| (A −λIn)v = 0}) 中的非零向量就會是 A 相對 於 λ 的 eigenvector. 由於 nullspace 是 vector space, 因此我們有以下的定義.

Definition 6.2.1. 假 設 A∈ Mn×n(F) 且 λ ∈ F 為 A 的一個 eigenvalue. 則 A − λIn 的 nullspace 稱為 A 對於 eigenvalueλ 的 eigenspace. 我們用 EA(λ) 來表示.

要注意對於λ 的 eigenspace 並不是由以 λ 為 eigenvalue 的 eigenvectors 所組成. 這是 因為零向量 0 不是 eigenvector, 但 vector space 必須包含 0. 所以對於λ 的 eigenspace 應該 是由所有以λ 為 eigenvalue 的 eigenvectors 和 0 所組成. 那為什麼要讓它形成 vector space 呢? 因為 vector space 有其方便性, 例如有了 vector space 我們就可以利用 dimension 來知 道它的大小. 因此我們定義 E_A(λ) 的 dimension 為 eigenvalue λ 的 geometric multiplicity (幾何重根數). 要注意 eigenvalue λ 的 algebraic multiplicity 無法讓我們知道 λ 所對應 的 eigenvectors 的多寡, 而是 λ 的 geometric multiplicity 可以提供這一個訊息. 有關於 Eigenspace 以及

Example 6.2.2. 考慮 A =

[ 1 3 4 2

] , B =



 −1 4 2

−1 3 1

−1 2 2



. 由前面 Example 6.1.7, Example 6.1.9 我 們 已 計 算 出 A 和 B 的 characteristic polynomial 分 別 為 pA(t) = (x + 2)(x− 5), p_B(t) =−(t − 1)²(t− 2). 接下來我們分別計算 A 和 B 的 eigenspace.

158 6. Eigenvalues and Eigenvectors

首先考慮 A 對於 eigenvalue −2 的 eigenspace, 亦即找出 A − (−2I2) =

[ 3 3 4 4

] 6 的 null space. 經由 elementary row operations, 可化為 echelon form

[ 1 1 0 0

]

. 可得 E_A(1) = Span(

[ 1

−1 ]

). 也就是說 A 對於 eigenvalue 為 −2 的 eigenvector 就是那些和 [ 1

−1 ]

平行 的 nonzero vector. 由於 dim(E_A(−2)) = 1, 我們也得到 A 對於 eigenvalue −2 的 geometric multiplicity 為 1. 至於 A 對於 eigenvalue 5 的 eigenspace, 亦即找出 A− 5I2=

[ −4 3 4 −3

]

的 null space. 經由 elementary row operations, 可化為 echelon form

[ −4 3 0 0

]

. 因此得 EA(5) = Span(

[3 4 ]

). 也就是說 A 對於 eigenvalue 為 5 的 eigenvector 就是那些和 [3

4 ]

平行的 nonzero vector, 我們也得到 A 對於 eigenvalue 5 的 geometric multiplicity 為 1. 在 Example 6.1.2 中我們舉出 A 的 eigenvector 的例子其實是這樣得到的.

接 著 考 慮 B 對 於 eigenvalue 1 的 eigenspace, 亦 即 找 出 B− I3 =



 −2 4 2

−1 2 1

−1 2 1



 的

null space. 經由 elementary row operations, 可化為 echelon form



 1 −2 −1 0 0 0 0 0 0



. 可得

E_B(1) = Span(



2 1 0



,



1 0 1



). 也就是說 B 對於 eigenvalue 為 1 的 eigenvector 就是那些由



2 1 0





和



1 0 1



 的 linear combination 所得的 nonzero vector. 例如 v =



4 1 2



 =



2 1 0



 + 2



1 0 1



 就滿足

Bv =



 −1 4 2

−1 3 1

−1 2 2







4 1 2



 =



4 1 2



 = v.

由於 dim(E_B(1)) = 2, 我們也得到 B 對於 eigenvalue 1 的 geometric multiplicity 為 2. 至 於 B 對於 eigenvalue 2 的 eigenspace, 亦即找出 B− 2I3 =



 −3 4 2

−1 1 1

−1 2 0



 的 null space.

經由 elementary row operations, 可化為 echelon form



 1 −2 0 0 1 −1 0 0 0



. 因此得 E_B(2) =

Span(



2 1 1



). 也就是說 B 對於 eigenvalue 為 2 的 eigenvector 就是那些和



2 1 1



 平行的 nonzero vector, 我們也得到 B 對於 eigenvalue 2 的 geometric multiplicity 為 1.

在 Proposition 6.1.3 中我們知道兩個有相同 eigenvalue 的 eigenvectors 其線性組合只 要不是 0, 就會是有同樣 eigenvalue 的 eigenvector. 所以一般在探討一個 n× n 矩陣的 eigenvector 時, 我們只要寫下其 eigenspace 的一組基底即可.

以前我們提過有關 matrix 的問題都可以轉換成 linear transformation 的問題, 反之亦 然. 回顧一下當 V 是 over F 的 vector space, 則一個 linear transformation T : V → V, 稱 為一個 linear operator. 特別地當 dim_F(V ) = n, 且 β 是 V 的一組 ordered basis, 則 T 利 用這組 ordered basis 所得的 matrix representation [T ]_β 會是一個 n× n matrix. 注意這裡 因為定義域和對應域都是 V 所以兩邊是選同樣的 ordered basis, 因此我們將原本 matrix representation 的表示法 [T ]^β_β 省略寫成 [T ]_β. 方陣 [T ]_β 的 eigenvalue 和 eigenvector 會 和 T 有甚麼關係呢? 假設 β = (v1, . . . , vn), 而



 c₁

... c_n



 ∈ Fⁿ 是 [T ]_β 的一個 eigenvector 且其

eigenvalue 為λ, 此時我們有

[T ]_β



 c1

... c_n



 = λ



 c1

... c_n



 =



 λc1

... λcn



.

若令 v = c₁v₁+··· + cnv_n, 回顧一下在 Proposition 4.3.14 中告訴我們這表示 T (v) 用β 這 組 ordered basis 的坐標表示應該是



 λc1

... λcn



. 也就是說

T (v) =λc1v₁+··· +λcnv_n=λ(c1v₁+··· + cnv_n) =λv.

反之, 若 v = c₁v₁+··· + cnv_n∈ V 滿足 T(v) =λv, 則由 Proposition 4.3.14 知



 c1

... cn



 ∈ Fⁿ 是

[T ]_β 的一個 eigenvector 且其 eigenvalue 為 λ. 也因此我們有以下的定義.

Definition 6.2.3. 假設 V 是一個 vector space overF 且 T : V → V 是一個 linear operator.

若 對 v∈ V, 存在 λ ∈ F 滿足 T(v) = λv, 則稱 v 為 T 的一個 eigenvector, 且 λ 為其 eigenvalue.

Example 6.2.4. 考慮 Linear operator T : P2(R) → P2(R) 定義為 T ( f (x)) = f (x) + (x + 1) f^′(x), ∀ f (x) ∈ P2(R).

此時令 g(x) = x²+ 2x + 1, 則

T (g(x)) = (x²+ 2x + 1) + (x + 1)(2x + 2) = 3(x²+ 2x + 1) = 3g(x).

故 x²+ 2x + 1 是 T 的一個 eigenvector 且其 eigenvalue 為 3.

在 Proposition 6.1.3, 我們提到關於方陣的 eigenvalue 和 eigenvector 的性質. 事實上這 性質對 linear operator 也是對的, 我們有以下的性質. 由於證明方法和矩陣的情形一致, 我 們就不再證明了.

Proposition 6.2.5. 假 設 V 是 一 個 vector space over F 且 T : V → V 是一個 linear operator. 又假設 v1, v2 為 T 的 eigenvectors 且其 eigenvalue 皆為 λ ∈ F. 若 c1, c2∈ F 且 c₁v₁+ c₂v₂̸= 0, 則 c1v₁+ c₂v₂ 也會是 T 的一個以 λ 為 eigenvalue 的 eigenvector.

160 6. Eigenvalues and Eigenvectors

回顧一下在 M_n×n(F) 的情形, 我們有所謂 diagonalizable matrix, 也就是說這樣的矩陣 可以在 Fⁿ 找到一組由 eigenvectors 所組成的 basis. 同樣的對於 linear operator, 我們也有 以下的定義.

Definition 6.2.6. 假設 V 是一個 vector space overF 且 T : V → V 是一個 linear operator.

若 V 中存在一組 basis v₁, . . . , v_n其中每個 v_i皆為 T 的 eigenvectors, 則稱 T 為 diagonalizable (可對角化).

為何這樣子的 linear operator 會稱為 diagonalizable 呢? 其原因比矩陣的情況更容易讓 人理解. 事實上如果β = (v1, . . . , v_n) 是 V 的一組 ordered basis 且 v_i 皆為 T 的 eigenvector.

假設λi 就是 v_i 所對應的 eigenvalue, 亦即 T (v_i) =λiv_i,∀i ∈ {1,...,n}. 此時考慮 T 利用 β 所得的 matrix representation [T ]_β. 回顧一下 [T ]_β 的 1-st column 是 T (v1) =λ1用β 寫下的

坐標表示, 即





 λ1

0... 0





=λ1e₁. 而對一般的 i∈ {1,...,n}, [T]_β 的 i-th column 就是 T (v_i) =λiv₁

用 β 寫下的坐標表示, 即 λie_i. 也因此 [T ]_β 就是







λ1 0 ··· 0 0 λ2 ··· 0 ... ... . .. ...

0 0 0 λn





 這樣的 diagonal

matrix.

要怎樣找一個 linear operator T : V→ V 的 eigenvalue 和 eigenvector 呢? 從前面一開 始的說明可以知道, 任取 V 的一組 ordered basisβ, 只要考慮其 matrix representation [T]_β 的 eigenvalue 和 eigenvector 就可以還原成 T 的 eigenvalue 和 eigenvector 了, 我們看以下 的例子.

Example 6.2.7. 考慮 Example 6.2.4 中的 linear operator T : P₂(R) → P2(R), 以及 P2(R) 的 standard basis ε = (1,x,x²). 由於依定義 T (1) = 1, T (x) = 2x + 1, T (x²) = 3x²+ 2x, 我 們得 [T ]_ε =



1 1 0 0 2 2 0 0 3



. 因為 [T]_ε 是上三角矩陣, 很容易求得其 characteristic polynomial 為 (1− t)(2 − t)(3 − t). 得知 [T]_ε 的 eigenvalue 為 1, 2, 3 (事實上這也是 T 的 eigenvalue).

接下來我們利用解 [T ]_ε 的 eigenspace 得 [T ]_ε 的 eigenvectors. 對於 eigenvalue 1 所得的 eigenspace 就是



0 1 0 0 1 2 0 0 2



 的 null space, 即 Span(



1 0 0



). 然而



1 0 0



 是 1 在 P₂(R) 利用ε 所

得的坐標表示. 故知 Span(1) 中的非 0 元素是 T 的 eigenvector 且其 eigenvalue 為 1. 事實 上我們有 T (1) = 1, 對於 [T ]_ε 的 eigenvalue 2 所得的 eigenspace 就是



−1 1 0 0 0 2 0 0 1



 的 null

space, 即 Span(



1 1 0



). 然而



1 1 0



 是 x+1 在 P₂(R) 利用ε 所得的坐標表示. 故知 Span(x +1) 中的非 0 元素是 T 的 eigenvector 且其 eigenvalue 為 2. 事實上我們有 T (x + 1) = 2(x + 1), 對

於 [T ]_ε 的 eigenvalue 3 所得的 eigenspace 就是



−2 1 0 0 −1 2 0 0 0



 的 null space, 即 Span(



1 2 1



).

然而



1 2 1



 是 x²+ 2x + 1 在 P₂(R) 利用 ε 所得的坐標表示. 故知 Span(x²+ 2x + 1) 中的 非 0 元素是 T 的 eigenvector 且其 eigenvalue 為 3. 事實上在 Example 6.2.4 中我們算過 T (x²+ 2x + 1) = 3(x²+ 2x + 1),

因為{1,x+1,x²+ 2x + 1} 是 T 的 eigenvectors 且是 P2(R) 的一組 basis, 所以我們知 T 是 diagonalizable. 事實上若考慮 ordered basisβ = (1,x + 1,x²+ 2x + 1), 則 [T ]_β=



1 0 0 0 2 0 0 0 3



.

最後我們要強調, 在求 linear operator T : V → V 的 eigenvalue 和 eigenvector 時, 不必 擔心選取 V 的 ordered basis 為何. 這是因為 eigenvalue 和 eigenvector 的定義和 T 有關, 而 和 V 的 ordered basis 無關. 所以即使選取 V 的 ordered basis 不同會造成不同的矩陣表示, 所得的 eigenvalue 和 eigenvector 都可得到同樣 T 的 eigenvalue 和 eigenvector. 事實上以後 我們會了解到, 當 V 選取不同的 ordered basisβ,β^′, 雖然 [T ]_β 和 [T ]_β′ 會不同, 但它們會是 similar, 所以它們會有同樣的 characteristic polynomial (Proposition 6.1.10), 因此有同樣的 eigenvalues. 最後要提醒的是, 在選取 V 的 ordered basis 使用表現矩陣來求 eigenvalue 和 eigenvector 時, 定義域和對應域都要使用同樣的 ordered basis, 否則這樣的表現矩陣所求得 的 eigenvalue 和 eigenvector 和 T 的 eigenvalue 和 eigenvector 的定義是不吻合的.

———————————– 21 March, 2019