現若 W 為 T -invariant subspace, 我們自然會問 W 是否為 T∗-invariant subspace

128 5. Operators on Inner Product Spaces

由 minimal polynomial 定義知µT(T ) = O, 故由 Lemma 5.4.1, 得µT(T^∗) = (µT(T ))^∗= O, 故知µT^∗(x)|µT(x). 同理由 (T^∗)^∗= T , 得µT(x)|µT^∗(x), 再將兩邊多項式的係數取 conjugate 得 µT(x)|µT^∗(x). 得證 µT^∗(x) =µT(x).  有關 linear operator 的 decomposition, 最重要的便是 T -invariant subspace. 現若 W 為 T -invariant subspace, 我們自然會問 W 是否為 T^∗-invariant subspace. 一般來說這不一定 對, 但我們有以下之結果.

Lemma 5.4.3. 若 T : V → V 為 linear operator, 則 W ⊆ V 為 T-invariant subspace 若且唯 若 W^⊥⊆ V 為 T^∗-invariant subspace.

Proof. 假設 W 為 T -invariant, 要說明 W^⊥為 T^∗-invariant, 就是要說明對任意 w^′∈W^⊥皆有 T^∗(w^′)∈ W^⊥. 然而若 w∈ W, 則由 T(w) ∈ W 以及 w^′∈ W^⊥, 得⟨w,T^∗(w^′)⟩ = ⟨T(w),w^′⟩ = 0.

此即證明 T^∗(w^′)∈ W^⊥, 故 W^⊥ 為 T^∗-invariant.

反 之, 若 W^⊥ 為 T^∗-invariant, 則 由 上 面 所 證 (W^⊥)^⊥ = W 為 (T^∗)^∗-invariant, 即 T -

invariant. 

給定一個 inner product space V , 及其 subspace W , 最直接的 decomposition 為 V = W
W^⊥. 所以當 W 為 T -invariant 時, 我們自然會問是否 W^⊥ 亦為 T -invariant. 利用 Lemma 5.4.3, 這剛好回答了何時 W 亦為 T^∗-invariant.

Corollary 5.4.4. 假設 T : V → V 為 linear operator 且 W ⊆ V 為 T-invariant subspace.

則 W^⊥ 為 T -invariant subspace 若 且 唯 若 W 為 T^∗-invariant subspace. 另 外 若 W 為 T -invariant 和 T^∗-invariant, 則

(T|W)^∗= T^∗|W.

Proof. 由 Lemma 5.4.3, 我們知 W^⊥ 為 T -invariant 等價於 W = (W^⊥)^⊥ 為 T^∗-invariant. 此 時對任意的 w, w^′∈ W 皆有

⟨T|W(w), w^′⟩ = ⟨T(w),w^′⟩ = ⟨w,T^∗(w^′)⟩ = ⟨w,T^∗|W(w^′)⟩,

得證 (T|W)^∗= T^∗|W. 

接 下 來 我 們 探 討 幾 個 特 殊 的 linear operator 及 其 adjoint 間 的 關 係. 首 先 回 顧 若 V = W1⊕W2, 則對任意 v∈ V, 皆存在唯一的 w1∈ W1, w2∈ W2 使得 v = w₁+ w₂. 此時我們 定義 πW1,W2 : V → V, 為 πW1,W2(v) = w1. 我們稱 πW1,W2 為 projection on W₁ along W2. 要注 意, 若 V = W₁⊕W₂^′, 其中 W₂̸= W₂^′, 則 πW1,W2̸=πW1,W₂^′.

Question 5.19. 如上所述, πW2,W1(v) 為何? 並說明若 V = W₁⊕W2= W₁⊕W₂^′ 但 W₂̸= W₂^′ 則 πW1,W2 ̸=πW1,W₂^′.

當 V 是 finite dimensional inner product space, 我們可由 V = W₁⊕W2推得 V = W₁^⊥⊕W₂^⊥. 這是因為若 w∈ W₁^⊥∩W₂^⊥, 則對任意 v∈ V, 我們有 v = w1+ w₂, 其中 w₁∈ W1, w₂∈ W2, 故

5.4. The Adjoint of Linear Operators 129

得 ⟨v,w⟩ = ⟨w1, w⟩ + ⟨w2, w⟩ = 0. 由 Lemma 5.1.4 得知 w = OV. 再由

dim(W₁^⊥+W₂^⊥) = dim(W₁^⊥) + dim(W₂^⊥) = dim(W2) + dim(W1) = dim(V ), 得證 V = W₁^⊥⊕W₂^⊥. 利用此我們可以得到 πW1,W2 的 adjoint πW^∗1,W2.

Proposition 5.4.5. 若 V = W₁⊕W2, 則 V = W₁^⊥⊕W₂^⊥ 且 πW^∗1,W2 =π_W^⊥

2 ,W₁^⊥.

Proof. 前面已知 V = W₁^⊥⊕W₂^⊥, 故對任意 v, v^′∈ V, 我們知存在 w1∈ W1, w₂∈ W2 以及 w^′₁∈ W₁^⊥, w^′₂∈ W₂^⊥ 滿足 v = w₁+ w2, v^′= w^′₁+ w^′₂. 此時

⟨πW1,W2(v), v^′⟩ = ⟨w1, w^′₁+ w^′₂⟩ = ⟨w1, w^′₂⟩.

另一方面

⟨v,πW₂^⊥,W₁^⊥(v^′)⟩ = ⟨w1+ w₂, w^′₂⟩ = ⟨w1, w^′₂⟩.

得證⟨πW1,W2(v), v^′⟩ = ⟨v,πW₂^⊥,W₁^⊥(v^′)⟩, ∀v,v^′∈ V, 即πW^∗1,W2 =πW₂^⊥,W₁^⊥.  我們知道在 inner product space 中最常用的 decomposition 就是 V = W
W^⊥. 此時我們 稱 projectionπW,W^⊥ 為 orthogonal projection on W . 為了方便, 以後我們都會把 orthogonal projection on W 用πW 來表示 (因為它僅和 W 有關). 利用 Proposition 5.4.5, 我們馬上有 以下之結果.

Corollary 5.4.6. 設 V 是 finite dimensional inner product space 且 W 為其 subspace. 令 πW : V → V 為 orthogonal projection on W, 則 πW =πW^◦2 且 πW^∗ =πW.

Proof. 對任意 v∈ V, 我們有 v = w + w^′, 其中 w∈ W,w^′∈ W^⊥, 故

πW^◦2(v) =πW(πW(v)) =πW(πW(w + w^′)) =πW(w) =πW(v),∀v ∈ V.

得證πW =πW^◦2. 另一方面, 利用 Proposition 5.4.5 以及 (W^⊥)^⊥= W , 我們有 πW^∗ =π_W,W^∗ ⊥=π(W^⊥)^⊥,W^⊥=πW,W^⊥=πW.

 Question 5.20. 試證明對任意 v∈ V,πW 就是 Proposition 5.1.12 中提的 projection proj_W. 一個 linear operator T : V → V 若滿足 T^◦2= T , 則稱為 idempotent. 由 Corollary 5.4.6 的證明我們知道任何的 projection 皆為 idempotent (不需 orthogonal projection 之假設).

至於 T^∗= T 的性質, 我們稱為 self-adjoint. 一般的 projection 不會是 self-adjoint, 除非它 是 orthogonal projection, 這是由於我們有下結果.

Proposition 5.4.7. 假設 T : V → V 為 linear transformation 滿足 T^◦2= T , 則下列敘述為 等價:

(1) T 為 orthogonal projection.

(2) T^∗= T .

130 5. Operators on Inner Product Spaces

(3) Ker(T ) = Im(T )^⊥. (4) Im(T ) = Ker(T )^⊥.

Proof. 首先我們說明若 T 為 idempotent (即 T^◦2= T ), 則 T =πIm(T ),Ker(T ). 這需先證明 V = Im(T )⊕ Ker(T). 事實上 dim(V) = dim(Im(T)) + dim(Ker(T)), 所以只要證明

Im(T )∩ Ker(T) = {OV},

則由 Im(T ) + Ker(T )⊆ V, 可得 V = Im(T) ⊕ Ker(T). 然而若 v ∈ Im(T), 表示存在 w ∈ V 使得 v = T (w), 故由 T^◦2= T , 得 T (v) = T^◦2(w) = T (w) = v. 若再加上 v∈ Ker(T) 可得 v = T (v) = O_V. 現已知 V = Im(T )⊕ Ker(T), 故對任意 v, 皆存在 w ∈ Im(T),w^′∈ Ker(T) 使 得 v = w + w^′. 可得 T (v) = T (w) + T (w^′) = T (w). 但前面已知若 w∈ Im(T), 則 T(w) = w, 故知 T (v) = w. 此和 projection on Im(T ) along Ker(T ) 即πIm(T ),Ker(T ) 對 v 的作用相同, 故 得證 T =πIm(T ),Ker(T ).

現 由 Corollary 5.1.14, 我 們 知 道 Ker(T ) = Im(T )^⊥ 若 且 唯 若 Im(T ) = Ker(T )^⊥ (即 (3)⇔ (4)). 而又若 Ker(T) = Im(T)^⊥ 則 πIm(T ),Ker(T )=πIm(T ),Im(T )^⊥, 得證 T =πIm(T ),Ker(T ) 為 orthogonal projection (即 (3)⇒ (1)). 又若 T 為 orthogonal projection, 則由 Corollary 5.4.6 知 T^∗= T (即 (1)⇒ (2)). 最後利用 Proposition 5.3.8(1) 知若 T^∗= T , 則 Im(T ) = Ker(T )^⊥ (且 Ker(T ) = Im(T )^⊥) (即 (2)⇒ (3)(4)) 得證本定理. 

一般來說, 我們可以將一個 finite dimensional inner product space 寫成 orthogonal direct sum V = W1
···
Wk, 此時 W_i^⊥=⊕j̸=iWj. 若令 πi 為 orthogonal projection on W_i (即πi=πWi), 則很容易看出

π1+··· +πk= id_V.

我們稱此為 orthogonal resolution of the identity. 注意此時我們有 πi^◦2=πi,πi^∗=πi 以及當 i̸= j 時, πi◦πj= O. 事實上, 我們有以下之結果.

Lemma 5.4.8. 假設 V 為 finite dimensional inner product space 且 W1,W2為 V 的 subspace.

令 π1,π2 分別為 orthogonal projection on W₁,W₂. 則下列為等價:

(1) W1⊥ W2. (2) π1◦π2= O.

(3) π2◦π1= O.

Proof. 對於任意 v∈V, 由於π1(v)∈W1, 故若 W₁⊥W2, 則π1(v)∈W₂^⊥. 得證π2(π1(v)) = O_V,

∀v ∈ V 即 π1◦π2= O. 同理可得 π2◦π1= O.

現對任意 w₁∈ W1, w₂∈ W2, 我們有⟨w1, w₂⟩ = ⟨π1(w₁),π2(w₂)⟩ = ⟨w1,π1^∗(π2(w₂))⟩. 因 π1

為 orthogonal projection, 由 Corollary 5.4.6 知 π₁^∗=π1. 故若 π1◦π2= O, 則 ⟨w1, w2⟩ =

⟨w1, O_V⟩ = 0, 得證 W1⊥ W2. 同理若π2◦π1= O 亦可得 W₁⊥ W2. 

5.4. The Adjoint of Linear Operators 131

回顧過去我們提過, 若對於 linear operator T : V → V, 我們可以找到 V 的一組 basis 是由 T 的 eigenvectors 所組成, 則表示 T 是 diagonalizable. 特別的, 若存在一組 T 的 eigenvectors 形成 V 的一組 orthogonal basis (或 orthonormal basis), 則我們有以下的定義.

Definition 5.4.9. 假設 V 是一個 finite dimensional inner product space over F 且 T : V→V 為 linear operator. 若存在一組 T 的 eigenvectors 形成 V 的一組 orthogonal basis (或 orthonormal basis), 則我們稱 T 為 unitary diagonalizable (當 F =R 時, 有的書會特別稱 T 為 orthogonal diagonalizable).

當 A 是一個 n×n matrix over F, 若考慮 Fⁿ上的 standard inner product, 存在一組 A 的 eigenvectors 為 Fⁿ 的一組 orthogonal basis (或 orthonormal basis), 則我們稱 A 為 unitary diagonalizable (當 F =R 時, 有的書會特別稱 A 為 orthogonal diagonalizable).

在此特別說明, 當一個 matrix A 為 unitary diagonalizable 時, 在 F =C 的情況即表示存 在一個 matrix P 滿足 P^∗= P⁻¹ 使得 P^∗AP 為一個 diagonal matrix. 這樣的矩陣 P 是由那 些 eigenvectors 所成的 orthonormal basis 所組成的, 我們稱為 unitary matrix. 而在 F =R 的情況, 表示存在一個 matrix P 滿足 P^t = P⁻¹ 使得 P^tAP 為一個 diagonal matrix. 這樣 的矩陣 P 是由那些 eigenvectors 所成的 orthonormal basis 所組成的, 我們稱為 orthogonal matrix. 這就是 unitary diagonalizable (或 orthogonal diagonalizable) 名稱的由來. 為了方 便起見, 我們不去區分 unitary diagonalizable 或 orthogonal diagonalizable, 一律用 unitary diagonalizable 來稱之. 接下來我們來探討 unitary diagonalizable linear operator 的特性.

Proposition 5.4.10. 假設 V 是一個 finite dimensional inner product space over F 且 T : V → V 為 linear operator. 則下列是等價的.

(1) T 為 unitary diagonalizable.

(2) 存在相異 λ1, . . . ,λk∈ F 使得 V = E_λ1
···
E_λk, 其中 E_λi, 為λi 的 eigenspace, 即 E_λi={v ∈ V | T(v) =λiv}.

(3) 存在 λ1, . . . ,λk∈ F 使得 T =λ1π1+··· +λkπk, 其中 πi 為 orthogonal projection 且 滿足 πi◦πj= O, ∀i ̸= j.

Proof. 假設 T 為 unitary diagonalizable, 假設 {v1, . . . , vn} 為 T 的一組 eigenvectors 所組 成的 orthogonal basis. 將其適當重排使得相同 eigenvalue 的 eigenvectors 擺在一起, 我 們假設 v₁, . . . , vl1 為 eigenvalue 為 λ1 的 eigenvectors, v_l1+1, . . . , vl2 為 eigenvalue 為 λ2 的 eigenvectors, 依此類推 (其中每個λi 皆相異). 我們要說明 W_i= Span({vl_i−1+1, . . . , v_li}) 等於 E_λi. 事實上 Wi⊆ E_λi, 又由 T 為 diagonalizable 知 V = E_λ1⊕ ··· ⊕ E_λk. 我們有

dim(V ) = dim(W₁) +··· + dim(Wk)≤ dim(E_λ1) +··· + dim(E_λk) = dim(V ),

得 證 dim(W_i) = dim(E_λi), 即 W_i = E_λi. 很 自 然 的, 對 於 i̸= j 我們有 Wi ⊥ Wj, 故 得 證 V = E_λ1
···
E_λk. 反 之, 若 V = E_λ1
···
E_λk, 則 考 慮 每 個 E_λi 上 的 一 組 orthogonal basis, 由於這些 E_λi 上的 orthogonal basis 可組成 V 的一組 orthogonal basis, 且皆為 T 的 eigenvectors. 得證 (1)⇔ (2).