1.5. 質數 19
1.5. 質數
整數的 基本的 : 質數. 質數 p 數
1 本 的數. 的 .
Definition 1.5.1. p∈ Z, p > 1 p 的 數 p 1 p 質數 (prime number). 整數 的 數 數 (composite number).
質數 的 整數 的數. 質數 的 性
性質. 質數 p 整數 a∈ Z, gcd(a, p)
. d = gcd(a, p) d| p, d = 1 d = p. d = p p| a, p- a,
d = 1. Proposition 1.2.6(1) .
Lemma 1.5.2 (Euclid). p 質數, a, b∈ Z. p| ab, p| a p| b.
Proof. p| a p| b. p| a ( p| b);
p- a, p| b. p- a gcd(p, a) = 1, Proposition
1.2.6(1) p| b.
Euclid Lemma 質數 ab 的 數 a, b 的
數. 性質 整數 的 , 數
.
Corollary 1.5.3. p 質 數, a1, a2, . . . , an ∈ Z. p| a1a2···an, i∈ {1,...,n} p| ai.
Proof. 數 . k = 2 Lemma 1.5.2 p| a1a2, p| a1
p| a2. k = n− 1 , n− 1 整數 a1, . . . , an−1 p| a1···an−1,
i∈ {1,...,n − 1} p| ai. k = n 的 , a1, . . . , an n 整數 p| a1···an, a = a1···an−1, b = an. p| ab Lemma 1.5.2 p| a p| b. p| a, 數 i∈ {1,...,n − 1} p| ai, p| b p| an, 本 .
質數 p 整數 a 的 數, p a 的 質 數. 質數 p 本
p 的質 數, 數 質 數 ? 的 ,
的 .
Lemma 1.5.4. a∈ Z a > 1. 質數 p p| a.
Proof. 數 . a = 2, 2 質數 p = 2 .
b∈ Z 2≤ b ≤ n 的數 質數 p p| b, a = n + 1 的 . a 本
質數 p = a . , a 質數 b∈ Z 2≤ b < a
b| a. 數 質數 p p| b. p| b b| a, Lemma
1.1.1(1) p| a.
20 1. 整數的基本性質
整數 Lemma 1.5.4 1 的 整數 質 數,
質數. 質數 . 質
數 的 的質數 的質數.
的, 的 數 質數 的 . 的
, 質數 . 質數的 ,
的 .
Theorem 1.5.5 (Euclid). 質數 .
Proof. 質數. ,
p1, . . . , pn 的質數. a = p1··· pn+ 1, Lemma 1.5.4 質數 pi, i∈ {1,...,n} pi| a. pi 本 整 p1··· pn Corollary 1.1.1 pi| a − p1··· pn,
pi| 1 . 質數, 質數.
質數 , 的質數 ?
數 2 質數, 數 , 4n + 1 4n + 3
質數. 4n + 1 的數 性 4n + 1
的數 4n + 1 的 . 4n + 1 的數 4n + 1 的
, 的數 性. 4n + 3 的 的數 性,
4n + 3 的數 4n + 1 的 . 數的 性 Lemma
1.5.4 的 , .
Lemma 1.5.6. a = 4n + 3 n ∈ N ∪ {0}, 質 數 p = 4n′+ 3 n′∈ N ∪ {0} p| a.
Proof. 數 . a = 3, 3 質數 p = 3 .
b = 4k + 3∈ Z 0≤ k ≤ n − 1 的數 質數 p = 4k′+ 3 p| b,
k = n 的 . a = 4n + 3 本 質數 p = a . , a 質數
b, c∈ N b < a c < a a = bc. b, c 4k + 3 ,
b, c 4k + 1 bc = a 4k + 1 的 . b = 4k + 3 !
0≤ k ≤ n−1 ( b < a), p = 4k′+ 3 p| b, p| a.
4n + 1 的數 4n + 1 的質 數. 9 的的 .
Lemma 1.5.4 Theorem 1.5.5 的 , 的 Lemma 1.5.6 4n + 3
的質數 .
Proposition 1.5.7. S ={4n + 3 | n ∈ Z,n ≥ 0} 質數.
Proof. S 質數 p0= 3, p1, . . . , pn S 的
質數. a = 4(p1··· pn) + 3. a∈ S Lemma 1.5.6 質數 p∈ S
p| a, i∈ {0,...,n} p = pi, .
1.5. 質數 21
p = p0= 3, 3| a, 3 | 3 a−3 = 4(p1··· pn) 3| 4(p1··· pn), Corollary 1.5.3 3| 4 3| pi, i∈ {1,...,n} 的 .
p = pi i∈ {1,...,n}, pi 本 整 p1··· pn pi| a − 4(p1··· pn),
pi| 3 . S 質數.
Lemma 1.5.6 4n + 1 的整數, Proposition 1.5.7 的
4n + 1 的質數, 4n + 1 的質數 . 數
的 (Dirichlet Theorem) 質的 整數 a, b an + b
的質數. 的 本 , .
質數 的 的. 的整數 n
n 整數 質數. 的
(n + 1)! + 2, (n + 1)! + 3, . . . , (n + 1)! + n + 1
n 整數. 質數.
Question 1.7. 8 整數 質數 ?
質數 , 的數 質數, 質數
. 質數的 .
Proposition 1.5.8. n > 1 整數. n 質數 質數 p
√n 整 n.
Proof. p≤√
n p| n. 1 < p < n, n 1 n 的 數, n prime. , n 質數, a, b∈ Z 1 < a≤ b < n
n = ab. a≤√
n, a >√
n ab > (√
n)2= n n = ab . Lemma 1.5.4 質數 p p| a. p| a p≤ a ≤√
n p| n. Proposition 1.5.8 的 composite number 的 ,
prime 的 . n 質數 √
n 的質數
整 n. 質數 (sieve method). 數 質數.
100 的質數. √
100 = 10 的質數 ( 2, 3, 5, 7) ,
2, 3, 5, 7 2, 3, 5, 7 的 數 , 100 的數
100 的質數. n < 100 質數, Proposition 1.5.8 n 質
數 √
n <√
100 = 10. 2, 3, 5, 7 的 數 100 的
數, 的 質數 .
Question 1.8. 100 的 數 , 2, 3, 5, 7 的 數 的
整數?
22 1. 整數的基本性質
Exercise 1.18. a, b∈ Z, gcd(a, b) = 1 gcd(a + b, ab) = 1.
(Hint: Euclid 的 Lemma 1.5.2 1 的整數 質 數 )
Exercise 1.19. n∈ N n > 1, l(n) n 的質 數, l(91) = 7. n 數 1 < n < 300 l(n) ?
Exercise 1.20. a, n 1 的整數.
xk− 1 = (x − 1)(xk−1+ xk−2+··· + x + 1); x2k+1+ 1 = (x + 1)(x2k− x2k−1+··· + x2− x + 1) .
(1) an− 1 質數, a = 2 n 質數.
(2) an+ 1 質數, a 數 n = 2r, r∈ N.
———————————– 30 March, 2018
