4! 2! ×× P ⇒ 4! 2! ×× P

高雄市明誠中學 高二數學平時測驗 日期：100.05.05 範

圍

2-2,3 乘法、加法原 理、排列(2)

班級 二年____班 姓 座號 名

一、填充題(每題 10 分)

1、 某桌球隊要從 10 名選手中排出 5 名，分別參加五場單打友誼賽,10 名選手中近況特佳 的有 3 位，教練決定任意安排他們分別在第一、三、五場出賽，另外兩場則由其餘選 手任意選出排定，則此球隊出場比賽的名單順序一共可以有______種.

答案：252

解析：近況特佳的 3 位，任意安排在第一、三、五場，其餘 7 人選 2 人於其餘 2 場

7

3! 252.×P2 =

2、 「排列組合真有趣」七個字全取排成一列，則 (1)「真有趣」三個完全相鄰，有______種排法.

(2)「真」恰與「有」、「趣」之一相鄰有______種排法.

答案：(1)720, (2)2400

解析：(1) 真有趣、排、列、組、合先排，真、有、趣再排 5! 3! 720.× =

(2) 真有相鄰與趣分開⇒ 排、列、組、合先排，真有與趣 插空隙 4! 2!×P₂⁵× 種，

同理真趣相鄰與有分開，亦有4! 2!×P₂⁵× 種，

共有( 4! 2! ) 2×P₂⁵× × =2400.

3、 甲、乙、丙、丁、戊、己 6 人排成一列，若乙必須排在第三位，甲不能排在首位，戊、

己不能排在末位，則有______種排法.

答案：60

解析：乙先排入第三位只有 1 種，其餘 5 人中

首位只能排丙、丁、戊、己；末位只能排甲、丙、丁 丙、丁排首 + 戊、己排首： 2 2 3! 2 3 3! 60× × + × × = .

4、 甲、乙、丙、丁、戊、……、辛等 8 人排成一列，若甲、乙不排首位，丙、丁不排末 位，則有______種排法.

答案： 23040

解析：首位只能排丙、丁、戊、己、庚、辛；末位只能排甲、乙、戊、己、庚、辛 丙、丁排首 +戊、己、庚、辛排首： 2 6 6! 4 5 6! 23040× × + × × = .

5、 甲、乙、丙、丁、戊、己、庚 7 人排成一列，甲不居 1, 2 位，乙不排 3, 4 位的排列 數有______種方法.

答案：2640

解析：全－(甲排 1, 2 位)－(乙排 3, 4 位)＋[(甲排 1 或 2 位)且(乙排 3 或 4 位)]

7! 2 6! 2 6! 2 2 5! 2640− × − × + × × = 種.

6、 A, B, C, D, E, F, G, H 等 8 人排成一列，A, B 不相鄰且 C, D, E 也不相鄰排法有____種.

答案：11520

解析：所求=(C, D, E 不相鄰)−(C, D, E 不相鄰中 A, B 相鄰)

6 5

3 3

5! P 4! 2! P

= × − × × =14400 2880 11520− = (種).

7、 三枝相同的鋼筆，五枝相同的原子筆，分給 10 人，每人至多得一件，則有____種分法.

答案：2520

解析：鉛鉛鉛原原原原原╳╳ 排成一列的排法有 ^10! 2520.

3!5!2!= 8、 「國家至上，民族至上」排成一列，若

(1)規定「國」在「家」之前，「民」在「族」之前，「至」在「上」之前排法______種.

(2)任意排列有______種方法.

答案：(1)420, (2)10080

解析：(1)以○○表國家，□□□□表至至上上，△△表民族，則○○△△□□□□的排法 有 ^8! 420

2!2!4!= 種.

(2) ^8! 10080.

2!2!=

9、 「人人為我，我為人人」排成一列，使同字不相鄰之排法有______種.

答案：24

解析：先將「為為我我」四字排成一列，共 ^4! 6

2!2!= (種), 分別為：

(1)為為我我；(2)我我為為；(3)為我為我；(4)我為我為；(5)為我我為；(6)我為為我，

再將「人人人人」插入時，有相同字相鄰時，須先插入一個「人」字，以隔開同字，

(1)□為人為□我人我□，共 3 種(3 個□選 2 個填入「人」字，即C₂³種)，

(2)□我人我□為人為□，共 3 種(3 個□選 2 個填入「人」字，即C₂³種)，

(3)□為□我□為□我□，共 5 種(5 個□選 4 個填入「人」字，即C₄⁵種)，

(4)□我□為□我□為□，共 5 種(5 個□選 4 個填入「人」字，即C₄⁵種)，

(5)□為□我人我□為□，共 4 種(4 個□選 3 個填入「人」字，即C₃⁴種)，

(6)□我□為人為□我□，共 4 種(4 個□選 3 個填入「人」字，即C₃⁴種)，

故有 3 3 5 5 4 4 24+ + + + + = (種).

10、甲、乙、丙、丁、戊、己 6 人排成一列，則 (1)規定甲一定在乙左方之排法有______種.

(2)甲在乙之左方，乙又在丙之左之排法有______種.

(3)甲在乙和丙之左之排法共有______種.

答案：(1)360, (2)120, (3)240

解析：(1)將甲、乙以兩個□□表示，則□、□、丙、丁、戊、己排成一列,^6!=360 2! . (左方的□必排甲，右方的□必排乙)

(2)將甲、乙、丙以三個□□□表示，則□、□、□、丁、戊、己排成一列,^6!=120 3! . (左方的□必排甲，中間的□必排乙，右方的□必排丙)

(3) 將甲、乙、丙以三個□□□表示，則□、□、□、丁、戊、己排成一列,^6!

3!. (左方的□必排甲，中間及右方的□排乙、丙) ^6! 2!=240

⇒ ×3! .

11、 相同之鉛筆 3 枝，原子筆 2 枝，鋼筆 2 枝，分給兒童，每人最多一枝，則 (1)分給 7 人時，有______種方法. (2)分給 9 人時，有______種方法.

答案：(1)210, (2)15120

解析：(1) 鉛鉛鉛原原鋼鋼 排成一列的排法有 ^7! 210

3!2!2!= . (2) 鉛鉛鉛原原鋼鋼╳╳ 排成一列的排法有 ^9! 15120

3!2!2!2!= (有 2 人未分到).

12、如下圖，由 A 到 B 取捷徑走法，且至少經過 CD 一點，其走法有__________種.

答案：300

解析：X：過 C ^{5! 6!}

3!2! 4!2!

⇒ X = × ,

Y：過 D ^{7! 4!}

4!3! 2!2!

⇒ Y = × ,

X  ：過 C 與 DY ^{5! 1 4!}

3!2! 2!2!

X Y

⇒  = × × ,

300 X Y = X +Y − X Y = .

13、四男四女排成一列，八人的身高完全不相同，

(1)若規定男生較高者必在男生較矮者之左側，則其排法有______種.

(2)若規定男生較高者必在男生較矮者之左側，女生較高者必在女生較矮者之右側，則 其排法有______種.

答案：(1)1680, (2)70

解析：(1)將男生視為同物^8! 1680 4!= .

(2) )將男生、女生分別視為同物 ^8! 70 4!4!= .

14、(1)P₄ⁿ⁺¹− ×10 P₂ⁿ⁻¹=4P₃ⁿ,則P₂ⁿ =______.(2)6×P₂¹⁰_r =P₂¹⁰_r+1,則P_r¹⁰=______.

(3)5(P₃ⁿ+P₄ⁿ⁺¹)=12×P₃ⁿ⁺¹,則n= ______.

答案：(1)20, (2)90, (3)4 或( ⁸)

−5

解析：(1)∵P₄ⁿ⁺¹− ×10 P₂ⁿ⁻¹=4P₃ⁿ ( 1)! ( 1)! !

10 4

( 3)! ( 3)! ( 3)!

n n n

n n n

+ −

⇒ − × = ×

− − −

(n 1)n 10 4n

⇒ + − = ⇒n²−3n−10=0,n= (5 −2不合)⇒P₂⁵ =20. (2)∵6×P₂¹⁰_r =P₂¹⁰_r+1 10! 10!

6 (10 2 )!r (9 2 )!r

⇒ × =

− −

6 1

10 2r

⇒ =

− ⇒ = ,∴r 2 P₂¹⁰ =90. (3)5(P₃ⁿ+P₄ⁿ⁺¹)=12×P₃ⁿ⁺¹ ! ( 1)! ( 1)!

5 12

( 3)! ( 3)! ( 2)!

n n n

n n n

 +  +

⇒ × − + − = × −

5[1 ( 1)] 12 1 2 n n

n

⇒ + + = × +

−

2 2

5(n 4) 12(n 1) 5n 12n 32 0

⇒ − = + ⇒ − − = ⇒ = (n 4 ⁸

−5不合).

15、 在數線上有一個運動物體從原點出發，在此數線上跳動，每次向正方向或負方向跳 1 個單位，跳動過程可重複經過任何一點.若經過 6 次跳動後運動物體落在點 +4 處，

則此運動物體共有 種不同的跳動方法.

答案：6

解析：設此物體向正方向跳 x 次，向負方向跳y次

則 6

4 x y x y

 + =

 − =



5 1 x y

 =

⇒  =

即 5 次往右跳一單位 ，1 次往左跳一單位，

相當於＋＋＋＋＋－的排列，共有(5 1)!

5! 1! 6 + =

⋅ 種跳動方法

16、一階梯有 10 級，登梯時可一步跨一級或兩級，今某人欲登此梯，則有______種不同的 上樓方式.

答案：89

解析：一階踩 x 次，二階踩y次，則x+2y=10, 0 2 4 6 8 10 5 4 3 2 1 0 x

y ,

∴^{5! (4 2)! (4 3)! (6 2)! (8 1)! 10!} 89 5! 4!2! 4!3! 6!2! 8! 10!

+ + + +

+ + + + + = .

17、警鈴長鳴一次須 2 秒，短鳴一次須 1 秒，中間休息(間隔)一次須 1 秒，則在 15 秒間可 有_______種不同之信號.

答案：37

解析：設長鳴 x 次，短鳴 y 次，間隔(x+ −y 1)次

⇒2x+ + + − =y (x y 1) 15⇒ 3x+2y=16，

8 7 6 8！+5 2！+4 2！=37

！ ！！ ！！

18、將 1 到 5 號的球，隨意丟入 1 到 5 號的五個洞中，每個洞內恰有一球，則恰有 1 個球 號與洞號相同的情形有_______種，球號與洞號均不同的情形有_______種.

答案：45, 44

解析：(1) 4 個人的錯排，依巴斯卡三角形： 5 (4! 4 3! 6 2! 4 1! 1 0!) 45× − × + × − × + × = (2 )5 個人的錯排，依巴斯卡三角形： 5! 5 4! 10 31 10 2! 5 1! 1 0! 44− × + × − × + × − × = 19、偉翔有白酒、紅酒、米酒三種酒，要倒入五個不同的酒杯，且每杯只倒一種酒，又

(1)每種酒至少可倒五杯以上，則共有_______種倒法，

(2)若每種酒恰好只能倒二杯，則共有_______種倒法.

答案：(1)243, (2) 90 解析：(1)3⁵ =243

(2) 6 2 2 2！ =90

！！！ ，多加一個虛擬酒杯，共有 2 杯白酒，2 杯紅酒，2 杯米酒，放入不同 x 0 2 4 y 8 5 2

的 6 個酒杯，其排列法共有 90 種.

20、 將“TENNESSEE”一字之字母全取排列，依下列情形各有多少種排列？

(1)任意排列______種；(2)兩個 N 不相鄰______種.

答案：(1)3780；(2)2940

解析：(1)任意排列，方法有 ^9! 3780 4!2!2!= (種).

(2)N 不相鄰，其他字母先排再插入空隙，方法有

8

7! 2

4!2! 2! 2940

×P = (種).

21、 甲、乙、丙、丁、戊五人排成一列，求下列各情形的排列數：

(1)任意排列___種；(2)甲、乙兩人相鄰___種；(3)甲、乙、丙三人彼此均不相鄰___種.

答案：(1)120；(2)48；(3)12 解析：(1)任意排列有 5! 120= (種).

(2)甲、乙兩人相鄰可視為一人，方法有 4! 2! 48× = (種).

(3)彼此不相鄰即其他人先排再插入空隙，方法有2!×P₃³ =12(種).

22、 五個座位排一列，甲、乙、丙三人選相連之三座位，則有______種坐法.

答案：18 解析：

∵相連的三個座位有(123,234,345)等 3 種，甲、乙、丙再入座方法有 3 3! 18× = (種).

23、 由 0, 1, 2, 3,…, 9 等 10 個數字作成三位數，若數字不可重覆，則偶數共有______個.

答案：328

解析：偶數即末位數字為 0, 2, 4, 6, 8

(末位為 0)＋(末位為 2, 4, 6, 8)

∴偶數共有1 9 8 4 8 8 328× × + × × = (種).

24、 由 1, 2, 3, 4, 5, 6 六個數所組成(數字可以重覆)的四位數中含有奇數個 1 的數共有___個.

答案：520 解析：

1 ：4 5× =³ 500

1 1 1 ：4 5× =20

∴共有 500 20 520+ = (個).

25、在直角坐標平面上有點A( 2, 3)− − ，點B(3, 3)及原點 O，由 A 到 B 走捷徑 (1) 必經過原點的走法有______種.

(2) 必經過第二象限的走法有______種。

答案：(1)200; (2)81

解析：(1)由 A→O→B 走捷徑，方法有 ^{5! 6! 200} 2!3! 3!3!× = (種).

(2) 必經過第二象限的走法：

①A→ −( 1,1)→B的方法有^{5! 6!} 75 4! 4!2!× = (種).

②A→ −( 2, 2)→B的方法有^{5! 6!} 6 5! 5!× = (種).

共 75 6+ = 種 81