HPM 通訊第十二卷第五期第一版
數學有確定性嗎？
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發行人：洪萬生（台灣師大數學系教授）
主編：蘇惠玉（西松高中）副主編：林倉億（台南一中）
助理編輯：李建勳、黃俊瑋（台灣師大數學所研究生）
編輯小組：蘇意雯（台北市立教育大學）蘇俊鴻（北一女中）
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英家銘（台師大數學系）謝佳叡（台師大數學系）
創刊日：1998 年 10 月 5 日 每月 5 日出刊 網址：http://math.ntnu.edu.tw/～horng
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有人常常在問：學習數學史，數學有了歷史的維度後，對我們學習數學有什麼助益？
雖然我們尚無法量化它對於數學學習的幫助，但它對於數學學習的情意、認知和文化面向 的益處是無庸置疑的。譬如說吧，數學有確定性嗎？對於熟知(或聽過)1+1=2，畢氏定理，…
等數學知識的人們而言，答案應該是肯定的。否則，大學為何有數學系，同時也有以數學 為專業的數學家呢？然而，如果數學具有確定性，為何著名的數學史家Morris Kline 怎會 寫下《數學─確定性的失落》(Mathematics: The Loss of Certainty, 中譯版由台灣商務印書 館出版)一書呢？我們不妨由數學史的角度來探討這個問題，看看可以帶來什麼啟發。
從數學史上來看，數學的確定性早在歐氏幾何上就有充份的展現。為什麼歐氏幾何會 具有確定性？是因為它是一門幾何的學科？還是因為它所採用的公設─演繹的結構與方 法？事實上，早在歐幾里德的鉅著《幾何原本》問世之前，哲學家柏拉圖(Plato, 429 B. C. - 347 B. C.)就已經奠定希臘幾何學的確定性，他認為幾何是一門“由永恆、不變的數學事物 所獲致的知識＂。柏拉圖認為有一個永恆且不變的理想世界，唯有透過理想世界的數學，
才能理解物理世界的現實與知識面。反之，物理世界的事物總是稍縱即逝，變化的，只能 看成是理想世界的近似。哲學家想讓自己的靈魂能從變化的世界提昇到理想世界，就必須 學習數學。1
另一個值得注意的哲學家，則是比歐幾里得稍早的亞里斯多德(Aristotle, 384 B. C. - 322 B. C.)，同樣對幾何學的確定性有著重要貢獻。但他的影響是在方法論上。對亞里斯多 德而言，數學的確定性奠基於不證自明的設準、顯明陳述的定義，以及邏輯演繹法則的有 效性。同時，只要能用相同的邏輯形式被理解的學科，就可以與數學具有相同的確定性。
亞里斯多德在《前分析篇》(Posterior Analytics)主張用三段論推理(syllogistic reasoning)將所 有的科學論述加以化約。也就是說，從第一原理(first principles，不需要建立在其他原理之 上的最基本原理)出發進行演繹推理的說明。會比起使用類比或歸納法則更具有確定性。
HPM 通訊第十二卷第五期第二版
因此，當歐幾里得重新整理當時希臘幾何學的成果，從不證自明的公理(common notions)與設準(postulates)出發，利用演繹邏輯完成命題的證明，建造出整個複雜的幾何體 系。其中，每個命題都有其邏輯順序。如此得到的數學知識，當然被認為具有確定性。自 然引起其他科學領域的仿效，例如，阿基米德(Archimedes, 287 B. C. - 212 B. C.)便是按照
《幾何原本》的風格，從設準─像“相同的重量在相同的距離保持平衡＂─出發，利用邏 輯推理證明了槓桿定律(the law of lever)。到了十七世紀，同樣的作法也出現在牛頓的著作
《自然哲學的數學原理》(Philosophiae Naturalis Principia Mathematica)上。
這樣的現象不只出現在科學領域，也出現其他非科學的學科。譬如斯賓諾莎(Baruch Spinoza，1632-1677)在 1675 年所著的《依幾何次序所證倫理學》（Ethica Ordine Geometrico
Demonstrata，簡稱《倫理學》），也是依照《幾何原本》的體裁撰寫。全書共分五卷，每卷
先列舉定義與公理，然後逐步推演命題，證明結尾還寫上QED。2他希望使用歐幾里得幾 何論證的形式，能夠「證明」上帝的存在。另一個著名的例子則是美國的獨立宣言 (Declaration of Independence, 1776)，3讓我們看到以歐氏幾何為典範所建立的數學確定性如 何深入西方文化之中。然而，數學的確定性並不侷限在歐氏幾何。十二世紀時，當阿拉伯的數學作品─特別 是阿爾．花刺子模(al-Khowarizmi)的著作─被翻譯成拉丁文傳到歐洲，4這種利用印度─阿 拉伯數碼簡化的計算法則，重新開啟了人們對代數學的研究取向。十二世紀到十八世紀之 間，代數慢慢在數學的研究中佔有一席之地，其間經過漫長、甚至有時還會倒退的發展。
好的代數符號不只是有效的速記，還必須是一種具有普遍性的語言，能幫助思考，顯示規 律。對此有著最重要貢獻的是韋達(Francois Viète, 1540-1603)，他在 1591 年引進了文字符 號：母音代表未知量；子音代表已知量，可以寫出方程式的一般形式，使得代數的證明具 有普遍性。不過，一直到1630 年代，笛卡兒(René Descartes, 1596-1650)與費馬(Pierre de Fermat, 1601-1665)將幾何與代數融合，建立解析幾何(analytic geometry)之後，才讓數學家 真正認識到代數的威力。5最後，負數和無理數的使用，以及代數在自然觀察與科學實驗上 極佳的一致性，使得數學家把代數是否穩固的疑慮放置一旁，逐漸將代數發展成一門獨立 的學問，以及微積分的發明，使得代數與代數化的思想後來居上，成為十八世紀數學研究 的主角。6像拉格朗日(Joseph Louis Lagrange, 1736-1813)在他的《分析力學》(Analytical
mechanics, 1788)的前言便自豪地宣稱：“這本書中沒有圖形，我在這裏論證的方法既不需
要解釋；也不用幾何或力學的推論，有的只是基於規準與一致性發展的代數運算。＂同樣地，代數易於表述、推論及一般化的優點，也被其他科學領域所接受。拉瓦錫 (Antonie Lavoisier)在 1789 年的《化學基礎論》(Elementary treatise of chemistry)提出現在化 學家仍在使用的命名系統及氧化還原理論，就自稱為“化學代數＂(chemical algebra)。此 外，值得一提的是，笛卡兒在《方法論》中所提出的規則，也深刻地影響其他學科。尤其 是他對“解析＂(analytic)─“將我要檢查的每一難題，盡可能地分割成許多小部份，使我 能須利解決這些難題。＂與“綜合＂(synthesis)─“順序引導我的思想，由最簡單，最容易 認識的對象開始，一步一步上升，直到最複雜的知識。同時，對於那些本來沒有先後次序 者，也假定它們有一秩序。＂這兩種源自古希臘數學家解決幾何問題的方法之詮釋。7到了 牛頓，“解析＂(又稱為分解)與“綜合＂(又稱為合成)不僅僅用在思維方面，也可用於實際
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的實驗之上。“解析＂表示“做實驗與觀察，以及透過它們歸納得出的一般性結論。＂8因 此，對於牛頓來說，“解析＂與“綜合＂意謂著透過分解與合成來理解自然是如何運作。
9笛卡兒的影響，同樣也在其他非科學的領域展現。譬如說亞當．斯密斯(Adam Smith, 1723-1790)在 1776 年所著的《國富論》(Wealth of Nations)，就是由個體勞動分工的觀點來 討論經濟體系的成功發展。他認為群體中的每一個個體的行為動機，主要是在為自己求得 最大的利益，然而，卻“經過一雙看不見的手的引導，同時促進了他原先無意達成的目 標＂，增加了整個群體的財富。
再來到了十九世紀，非歐幾何與四元數的發明，使得數學家意識到歐氏幾何不再是物 理世界的唯一真實；四元數挑戰了實數運算的基礎。加上當時微積分觀念模糊、證明標準 錯亂的問題，更讓數學走上嚴格化(rigor)的道路。10數學家選擇將微積分嚴格化，其中最具 影響力的便是柯西(Augustin Louis Cauchy, 1789-1857)，他聰明地將微積分的基礎放在極限 的概念上，定義出微積分的基本概念：函數、極限、連續、導數與積分等等，並發展這些 基本概念的性質。最後在懷爾斯查斯(Karl Weierstrass, 1815-1897)的手中完成了整個分析學 基礎的嚴格化。同時，懷爾斯查斯也意識到實數堅實基礎的重要性，不過直到1860 年代，
他才發表其研究結果。戴德金(Richard Dedekind, 1831-1916)與康托(Georg Cantor, 1845-1918) 也幾乎在同時關注到實數基礎的問題：如何由有理數出發，定義出無理數，並發展實數的 性質。最後，皮亞諾(Giuseppe Peano, 1858-1932)成功地在 1889 年從自然數公設推導出有 理數，使得整個實數系的邏輯結構得以建立。加上十九世紀的後半葉，非歐幾何的一致性 問題也得到解決。看來數學這棟大廈又重新建立在堅實、嚴格的基礎之上。
然而，二十世紀初期，由於集合論及邏輯悖論的出現，重要數學家各自提出解決方案，
因而分裂為邏輯主義、直覺主義、形式主義、集合論等學派，分別走上自己的道路，卻各 自有不能解決的問題。最後，哥德爾(Kurt Gödel, 1906-1978)的不完備定理，證明了在任何 有意義的形式系統，必包含無法判定的命題，也就是獨立於系統公設的命題。因此，數學 系統的一致性無法滿足，給了數學最後一擊，正是Morris Kline 所謂數學「確定性的失落」
的意思。
因此，我們目前所見數學潮流的兩個主要的方向：第一，徹底與科學傳統的分離，純 數學研究抬頭並掌握了數學社群的發言權；第二，貫徹形式與邏輯的嚴格化進路，並融入 研究的呈現方式和數學教育的標準。這些並不是為了數學真理的表現，反而是數學家社群 對數學真理危機的回應。然而，這樣的回應在Morris Kline 看來，並非好事，因為數學和 科學的背離，將進一步導致數學的孤立。他認為數學必須恢復與科學之間的豐富關連，因 為在確定性失落之後，這是檢證數學真理的實用判準。
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Kline, M. (趙學信、翁秉仁譯) (2004)，《數學：確定性的失落》，台北：臺灣商務印書館。
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Mathematics Magazine (61)4, pp.220 – 230.
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1. 柏拉圖的觀點也影響了猶太教、基督教及伊斯蘭教傳統對於神性(靈魂)如何與物質世界 互動的看法。舉例來說，柏拉圖在
Timaeus 中論述世界的確定性，是用 god 複製了一個
理想的數學模型來創造世界來論述。在早期基督教將此論點吸收消化，成為說明聖經中 確定性的論述。2. QED 是拉丁文「quod erat demonstrandum」的縮寫，意思為「此即所欲證的」。這句話在
《幾何原本》的每個命題證明完成後均會附上。因此，QED 被當成證明完成的標記。
3. 更多詳細的說明可參見英家銘，〈西方文化中的歐幾里得〉一文，收入洪萬生等著，《當 數學遇見文化》。
4. 他的書名《復原與相消的規則》(al-jabr w’al muqābala)，正是代數 “algebra” 的字源。
5. 笛卡兒 1637 年在萊頓(Lyden)出版《方法論》(Discourse on the Method of Rightly
Conducting the Reason)，內容包括一篇序言及三篇文章：
〈光線屈折學〉(討論折射定律)；〈氣象學〉(有關彩虹的討論)；以及〈幾何學〉。費馬則是在 1637 年將他的解析幾何著 作《平面與立體軌跡引論》(Introduction to Plane and Solid Loci)寄給當時負責在數學家 之間傳遞訊息的梅森神父。
6. 到了 1750 年左右，代數已經是一棵枝葉茂密的大樹，但沒有根(邏輯基礎)。數學家為何 能接受代數沒有邏輯基礎呢？Morris Kline 認為理由有二點：首先，較複雜的代數技巧 似乎可以援引幾何論證或是全由特例的歸納來支持。其次，代數在一開始並未被視為獨 立的數學分支，所以不需要自身的邏輯基礎。基本上，它被當成分析幾何問題的方法。
參見Morris Kline《數學─確定性的失落》，158 頁。另外，十八世紀的數學家有著許多 物理上引發的數學問題等待解決，加上他們對於符號有著高度的信賴，使得他們不需要 急迫地去解決有關代數基礎的難題。
7. 更進一步的說明可參見蘇惠玉，〈解析幾何的誔生故事之一〉一文，收入洪萬生等著，《當 數學遇見文化》。
8. 牛頓，《光學》，轉引自 T. H. Hankins, Science and the Enlightenment, p. 20。
9. 法國的主要方法論的哲學家孔迪亞克(Abbé de Condillac, 1714-1780)，更是推崇“解析＂
的重要性。他認為所有的發現都必須經由“解析＂的過程，至於“綜合＂只是在已知答 案之後，用來證明一個數學命題或是實驗猜測是否成立罷了。對於“解析＂意義的更多 討論，請見T. H. Hankins, Science and the Enlightenment, pp. 17-23。
10. 迫使十九世紀數學家面對嚴格化的另一個重要理由是數學家的經濟需求，由於外在環 境的改變，數學家必須從事教學謀生。使得數學家必須考慮數學基礎的問題。參見 Grabiner, Judith V. (1972). “Is Mathematical Truth Time-Dependent”, American
Mathematical Monthly (81)4, pp.354 – 365.
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宜蘭縣：陳敏皓（蘭陽女中） 吳秉鴻（國華國中）林肯輝（羅東國中）
桃園縣：許雪珍（陽明高中） 王文珮（青溪國中） 陳威南（平鎮中學） 洪宜亭（內壢高中）
鐘啟哲（武漢國中） 徐梅芳（新坡國中） 郭志輝（內壢高中） 程和欽 (永豐高中)、
鍾秀瓏（東安國中） 陳春廷（楊光國民中小學）
新竹縣：洪誌陽、李俊坤、葉吉海（新竹高中） 陳夢琦、陳瑩琪、陳淑婷（竹北高中）
洪正川（新竹高商）
苗栗縣：廖淑芳 (照南國中)
台中縣：洪秀敏（豐原高中） 楊淑玲（神岡國中）
台中市：阮錫琦（西苑高中）
嘉義市：謝三寶（嘉義高工）郭夢瑤（嘉義高中）
台南市：林倉億（台南一中）劉天祥 邱靜如（台南二中）
台南縣：李建宗（北門高工）
高雄市：廖惠儀（大仁國中）歐士福（前金國中）
屏東縣：陳冠良（枋寮高中）楊瓊茹（屏東高中）陳建蒼（潮州高中）
澎湖縣：何嘉祥（馬公高中）
金門：楊玉星（金城中學） 張復凱（金門高中）
馬祖：王連發（馬祖高中）
附註：本通訊長期徵求各位老師的教學心得。懇請各位老師惠賜高見！
HPM 通訊第十二卷第五期第一一版
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書名 : 算法少女 作者 : 遠藤寬子
出版者 : 小知堂文化事業公司 出版時間 : 2009 年 5 月
平裝定價：230 元
國際書碼：ISBN 978-957-450-596-8
一本值得花時間閱讀的小說！ 在日本，從小學生到成人，尤其是中學生、高中生，
他們心目中最想閱讀的一本小說就是《算法少女》！
其實，《算法少女》本身就是富有傳奇色彩的故事。
故事發生於日本江戶時代的一七七五年，一位町上醫師千葉桃三，親自教導女兒小章 學習算法（數學），沒想到小章在這方面竟有驚人的能力。有一天，淺草寺因浴佛節而舉 行盛典。在盛典上，小章指出一面獻給觀世音菩薩的「算額」上的題目有錯誤，因而引起 了當時的藩主注意，進而想要召見這位少女小章。結果，小章竟因此捲入了當時的算法主 流「關流」的流派之爭，因為小章學習的是非主流的「上方」算法。於是在一場策劃下，
她必須與另一位學習關流算法的少女一較長短！結果究竟是...？
本書最早於一七七五年（安永四年）出現在江戶，描述一位少女在算法上的傑出表現，
並在一九七三年，由遠藤寬子根據當時的手抄本，改寫為現代白話語出版問世，讓這本小 說得以再見天日。當時，在江戶行醫的父親與女兒共著的古籍《算法少女》，父親的文章 大部分為楷書的漢文，而女兒的文章則是以優美的和文變體假名撰寫而成。而現代版的《算 法少女》則對史實有仔細的考究，而且內容豐富繽紛，溫暖而又富含正義，是一部適合青 少年閱讀的歷史小說名作。在江戶時代，和算究竟是如何在庶民之間擴展的？學習和算的 樂趣為何？本書都有生動的描述。
遠藤寬子在後記中表示，「現在，和算書籍《算法少女》僅在國立國會圖書館、東京 大學等機構有數冊的收藏，實在是彌足珍貴。而這本書也是我國在明治維新之前，唯一一 本與女性有關的數學書籍，因此廣為研究和算的學者所熟知。但是，我想一般人可能連書 名都沒聽過吧！」然而，幾經歲月流轉，這本小說已經成了日本人心目中最想閱讀的一本
HPM 通訊第十二卷第五期第一二版
小說，應該是除了驚訝於算法少女的聰穎資質之外，更重要的是故事中算法少女悲天憫人 之心，以及面對社會問題的普世價值所引起的共鳴而感人吧！
作者在後記中還表示：「我的《算法少女》是很幸福的。不但得到了兒童文學獎的肯 定，更受到數學世界溫暖的歡迎。從事數學教育的國中、高中老師們，只要有機會就會替 我宣傳這本書，讓我有幸擁有許許多多的讀者。此外，研究數學史與和算的老師們，也給 了我很多的鼓勵與建言，這更是令我喜出望外！」
算法少女小章是個天真、開朗、積極、樂觀、熱心助人的小女孩，為了社會上的弱勢 者，她寧願捨棄可能為自己家中帶來財富的機會，也要付出一己之力協助他人。如此的初 衷與濟弱扶傾的友愛之心，才是打動人心，讓本書出版四十年，至今仍享譽不墜的重要原 因。讀完之後，必定會有許多收穫。所以，這也是一本值得你我花時間閱讀的小說！
本書特色
★日本人心目中最想閱讀的一本小說！
★日本各級學校老師極力推薦的課外讀物！
★出版四十年，至今仍享譽不墜、爭相閱讀！
★1974年產經兒童出版文化賞受賞作品！
★日本唯一一本與女性有關的數學書籍！
作者簡介
遠藤寬子一九三一年出生於三重縣，兒童文學作家。三重大學畢業後，又於法政大學史學系取 得學位。任教於三重縣的國中及都立身心障礙學校，並利用課餘時間寫作。一九六九年以
《深雪之中》（講談社）獲得第一屆北川千代賞，一九七四年以《算法少女》（岩崎書店）
獲得產經兒童出版文化賞。另著有《米澤英和女學校》（岩崎書店）、《「少女之友」與 其時代》（書泉社）等書。
繪者簡介
箕田源二郎一九一八~二○○○，生於東京。畫家。隸屬於日本美術會、童畫組織「車」等團體，致 力於圖畫書創作及美術教育運動。
