彈塑性本構關係式於土石流之研究

(1)

國立台灣大學工學院土木工程學系碩士論文

Department of Civil Engineering College of Engineering

National Taiwan University Master Thesis

彈塑性本構關係式於土石流之研究 The Study of Debris Flow with Elastoplastic Constitutive Equation

許秘嘉 Hsu, Mi-Chia

指導教授：劉格非博士 Advisor: Liu, Ko-Fei, Ph.D.

中華民國 104 年 7 月

July, 2015

(2)

(3)

致謝

能順利的完成這本論文，真的要非常感謝劉格非老師對我的指導，在老師的要求下，我逐漸地明白了做研究所需要的嚴謹態度以及思考原則；尤其是對問題的審視上，不能僅從單方面的解釋就去任意下判斷，應該要更多的與他人交流討論才能得到問題更完整的面貌。在與老師的討論中，除了能得到豐富的學識之外，

老師往往也會不斷地教導我做人處事所應盡的原則，讓我深深覺得老師交給我的東西，不僅只是學術上的理論，更多的是社會上必然需要的行為態度。雖然在老師的指導下很辛苦，但在碩士班的這幾年生活中，我真的感到非常的充實。

在研究所的學習過程中，一路走來無論是在學校或生活上我都遇到了很多的挫折跟困難，所以非常感謝研究室的大姐頭、峪萇學長、老吳學長、士超學長、

來福學長、瑋珉學長、允峰學長們常常能不厭其煩的教導和幫助我所遇到的大大小小的困難；以及周展名、鄭凱尹們不離不棄的陪伴，和許許多多幫助過我或是讓我了解自己不足之處的所有學長姐、學弟妹們。

這篇論文的完成，除了感謝劉格非老師以及研究所認識的老師、同學之外；

我還想特別感謝我的父母家人們不論在我開心、沮喪、難過時對我的關懷跟幫助，

以及我室友洪同學長期的陪伴，真的非常謝謝你們。

(4)

摘要

在台灣由於地狹人稠，隨著社會經濟的持續發展，平地開發趨於飽和的狀況下，造成以前沒有使用的山坡地區陸續的開發使用，破壞了原有集水區的水土保持，尤其在地震以及豪雨發生時間密集的台灣來說，土石流災害更是頻繁的發生；

因此土石流的防治與預警將顯得更為重要

對土石流的預警來說，往往需要以動力分析的方式推導出適合的土石流方程式，而在過程中土石流的本構關係式的研究將成為土石流在動力分析上的重要依據。本研究即是在 Julien and Lan(1991)所提出的二次本構式以及降伏應力將土石流分成弱剪層、強剪層的分層概念下，描述強剪層的黏性與慣性剪應力行為之外；

並在原有的弱剪層本構關係式上加上線彈性本構理論，多考慮了應力與應變之間的關係。並在二維卡氏座標的描述下以尺度分析的方式得到在長波理論下的土石流控制方程式以及邊界條件，求解土石流體從靜止到啟動前一刻的非穩態解析解，

以及土石流體啟動後形成穩態均勻流之後的解析解，並試著描述整個土石流從靜止開始運動至啟動，再至穩態均勻流的整個過程。希冀提供後續土石流在啟動以及強剪層為應力與應變率，弱剪層為應力與應變本構式的研究問題上，作為基本分析或數值實驗的參考。

關鍵字：土石流、彈塑性理論、本構關係式、廣義的虎克定律、尺度分析

(5)

Abstract

In Taiwan, the population is dense, especially in the city. As the development of social economics.it is nearly saturated about the urban development. As a result, the development of slope land is unavoidable. Then, it destroys the soil and water

conservation of the original watershed. Especially in the high frequency of earthquake and heavy rain in Taiwan. Debris flow disasters is more frequent occurrence, therefore mudslide prevention and early warning will become more important.

For early warning of debris flow, it often using the dynamic analysis to derive the governing equation of debris flow. In that case, the constitutive equation of debris flow will becomes very important in the process of derivation. In this study, based on Julien and Lan(1991), the constitutive equation of debris flow is divided into shear layer part and plug layer part. In shear layer, we considered the relation of shear stress and shear strain rate. In shear layer, we applied the linear elasticity and considered the relation of shear stress and shear strain.

With the continuity equation and momentum equation in Cartesian coordinate system and long wave assumption. We derived the new debris flow governing equation and tried to solve steady and uniform state and unsteady state. Wish can provide a new debris flow analytical solutions to becomes a reference of fundamental analysis or reference of numerical experiments.

(6)

表目錄

表 1-1 ... 2

表 2-1 ... 8

表 2-2 ... 18

表 2-3 ... 19

表 2-4 ... 19

表 2-5 ... 20

表 2-6 ... 25

表 2-7 ... 34

表 3-1 ... 44

表 3-2 ... 46

表 3-3 ... 48

表 3-4 ... 49

表 3-5 ... 54

表 3-6 ... 56

表 4-1 ... 57

(10)

圖目錄

圖 2-1 ... 11

圖 3-1 ... 61

圖 3-2 ... 61

圖 3-3 ... 62

圖 3-4 ... 62

圖 3-5 ... 63

圖 4-1 ... 64

(11)

第一章緒論

1.1 前言

土石流(debris flow)，又稱為泥石流，是由泥、砂、礫石及巨石等物質與水所形成之高濃度混合物，受重力作用所產生的一種沿坡面或溝渠由高處往低處流動之自然現象。依據行政院農委會水土保持局所編印之「水土保持手冊」的分類，

土石流按照其內所含的不同物質組成之材料粒徑分佈，大致可分為石流、泥流以及土石流三類。

(1) 石流(granular flow)：土石流體內粒徑0.1mm以下之泥沙含量在10%以下者。

此類土石流中大多為大顆粒之石塊，例如砂石、礫石和卵石等；其運動方式以碰撞和滾動為主，泥水只扮演潤滑的角色，流速約在3 ~ 10 m s之間，相較泥流而言破壞力大但流動距離較短。

(2) 泥流(mud flow)：土石流體內粒徑0.1mm以下之泥沙含量在50%以上者。

此類土石流中組成的石塊顆粒相較石流而言較小，主要為黏土、粉土和砂等。

細顆粒；其運動方式以泥水本身的流動為主，而砂石則懸浮於其中，流速約為2 ~ 20 m s，相較石流而言破壞力小但流動距離較長，其災害型態主要為淹沒農地與民宅。

(3) 土石流(debris flow)：土石流體內粒徑0.1mm以下之泥沙含量介於至50%之間者。其運動型態介於石流與泥流之間。

土石流發生之原因，與集水區上游所堆積的豐富土石材料、適當的地形坡度以及充足的水分，有密切的關係。對於地質條件不穩定的山坡地而言，在許多因風化而形成的石塊、泥砂、土壤，經由墜落、傾翻、滑動等山坡地土體運動型式而堆積在河谷或坡腳後；這些土石材料就有可能在之後的豪雨所帶來的豐沛雨量中，與水充分混合並因重力作用隨著坡面向下流動形成流動速度快、破壞力強大的土石流。

在台灣由於地狹人稠，隨著社會經濟的持續發展，平地開發趨於飽和的狀況下，造成以前沒有使用的山坡地區陸續的開發使用，破壞了原有集水區的水土保持。而且以台灣島本身的地文以及水文情況來說；丘陵、台地與山區的面積就占

(12)

了全島約 63%(李光敦，2005)，山脈地質又多屬沉積岩及變質岩，這些質地易斷裂且高度風化的岩層，在數次的自然或人為影響下產生的堆積土石，在地震以及豪雨來臨時，就有可能產生土石流，造成下游居住地區的居民生命財產損失。下表 1-1 即為根據行政院農委會水土保持局在 2008 年防災歷年成果專輯中整理出的，

台灣歷年颱風與土石流災害統計。

表 1-1 台灣歷年颱風與土石流災害統計(防災歷年成果專輯，2008)

時間災害名稱颱風總災情土石流災害

死亡失蹤受傷死亡失蹤受傷

90.07.30

桃芝颱風 (TORAJI)

111 103 188 55 93 33

90.09.17

納莉颱風 (NARI)

94 10 265 4 0 0

93.07.02

敏督利颱風 (MINDULLE)

29 12 16 6 0 3

93.08.23

艾利颱風 (AERE)

14 15 395 4 2 1

94.07.17

海棠颱風 (HAITANG)

13 2 31 0 0 0

96.08.18

聖帕颱風 (SEPAT)

0 1 28 0 0 0

96.10.06

柯羅莎颱風 (KROSA)

9 2 57 0 0 0

97.07.16

卡玫基颱風 (KALMAEGI)

20 6 8 0 0 0

97.09.14

辛樂克颱風 (SINLAKU)

14 7 20 0 0 0

(13)

1.2 前人研究

1.2.1 土石流本構關係式研究

對於土石流本構關係的研究上，主要為針對具有降伏應力的非牛頓流體而言，

其探討的是剪應力與剪應變率之間的關係；由於流體存在降伏應力，因此在運動時將會因為受到的剪應力大小而將流體分成作用剪應力大於降伏應力之強剪層以及小於降伏應力之弱剪層兩部分。對於強剪層的組成率而言，不同粒徑組成的土石流將具有不同的剪應力與應變率之間的關係；以大顆粒土壤材料為主要組成的石流型土石流(Granular flow)，其本構關係式多為考慮顆粒間碰撞造成的慣性剪應力，例如 Bagnold 模式(1954)；以小顆粒土壤材料為主要組成的泥流型土石流(mud flow)，其本構關係式多為考慮黏滯剪應力對流動的影響，例如賓漢流體(Bingham Fluid)模式(Wan and Wang, 1994)，以及 Coussot(1994)提出的以考慮剪應力隨剪應變率增加而下降之 Herschel-Bulkley 模式等；而 Julien and Lan(1991)則是用粗細不等的土壤材料證明了 Bagnold 模式(1954)事實上可利用泥流的降伏應力與剪應變率一次項的賓漢模式(Wan and Wang, 1994)，再加入一個剪應變率的二次項來表表示其慣性剪應力項。

1.2.2 黏彈性本構關係式研究

無論是 Bagnold 模式(1954)、賓漢流體(Bingham Fluid)模式(Wan and Wang, 1994)、Herschel-Bulkley 模式(Coussot, 1994)還是 Julien and Lan(1991)所提出的二次本構關係式而言；其剪應力與剪應變率之間的關係都是考慮在強剪層區域的問題，

而對於弱剪層區域而言，都是在降伏應力分層的物理意義下，以弱強剪層交界面剪應變率為零的條件求出弱剪層的速度分佈，而對於弱剪層應力與應變之間的關係；L. Fusi, A. Farina(2004,2010,2011,2012)提出了一個新的黏彈塑性本構關係式，

其在弱剪層區域考慮了應力與應變關係的彈性理論，並應用於潤滑理論

(Lubrication Theory)上，探討弱剪層應力與應變之間的關係。而對於現場土石流弱剪層而言，其受到外力作用將會產生與彈性有關的可回復應變以及與塑性有關的不可回復應變；因此本研究即是在土石流本構關係式中，在弱剪層部分引入彈性作用的影響，並且藉此推導出新的土石流控制方程式。

(14)

1.3 研究目的與方法

對於具有降伏應力的土石流體，土石流的運動行為可以分成土石流材料受到的剪應力大於降伏應力之強剪層(Shear layer or Boundary layer)，以及土石流材料受到的剪應力小於降伏應力之弱剪層(Plug layer)等兩區域。例如 Julien and Lan(1991) 所提出的二式本構式而言；在強剪層區域中，土石流在運動過程中內部材料的應力大小將與土石流本身的降伏應力、土石流體與顆粒間之黏滯剪應力以及紊流和顆粒間碰撞之慣性剪應力有關；但對於弱剪層區域而言，該式僅表達了該區域內的土石流運動其內部材料之間並無應變率的存在，也就是指運動中的土石流材料在未發生降伏時，其內部材料之間的相對速度非常微小，弱剪層的土石流運動猶如土壤材料整層沿著弱強剪層交界面滑動的行為。

因此為了要分析弱剪層內部材料之間的應力關係，我們試著從土壤力學中土壤受應力之後產生的可回復應變(彈性應變)以及不可回復應變(塑性應變)之間的關係出發，在 Julien and Lan 的本構模式下加入弱剪層土石流材料在運動過程中應力與應變之間的關係。而為了簡化分析，本研究首先僅考慮弱剪層區域內的彈性應變行為，並使用線彈性本構關係式，也就是指廣義的Hook’s Law 對弱剪層的應力應變關係進行描述。

在本研究問題中，使用二維的卡氏座標以及強剪層為 Julien and Lan(1991)所提出的應力與應變率的二次本構式，弱剪層為應力與應變的線彈性本構式；做為整層土石流流動時的組成率。之後再以尺度分析的方式得到在長波理論下的土石流控制方程式以及邊界條件，求解土石流體從靜止到啟動前一刻的非穩態解析解，

以及土石流體啟動後形成穩態均勻流之後的解析解，並試著描述整個土石流從靜止開始運動至啟動，再至穩態均勻流的整個過程。希冀提供後續土石流在啟動以及強剪層為應力與應變率，弱剪層為應力與應變本構式的研究問題上，作為基本分析或數值實驗的參考。

(15)

1.4 論文架構

(16)

第二章基本理論

2.1 Julien and Lan 的本構關係式

由 Julien and Lan(1991)所提出的一維本構關係式可知：

1 1 2

0 0

1

0

( ) ( ) ; <

0 ; <

d c

dv dv

dz dz

dv dz

     

 

   



 



(2-1)

其中 為剪應力，₀為降伏應力(yield stress)，_d為動力黏滯度(dynamic viscosity)，

c為紊亂-離散參數(turbulent-dispersive parameter)，dv¹

dz 為垂直流動方向的速度梯度，代表了材料的變形率。(2-1)式包含了降伏應力、一次及二次變形率；在黏性領域時 _d(dv¹) _c(dv¹)

dz dz

  ，在慣性領域時 _d(dv¹) _c(dv¹)

dz dz

  ，故此本構關係式可

自土石流之黏性領域一直計算至慣性領域。至於黏性領域與慣性領域之分界點則

為 ¹ ^d

c

dv O dz



 

  

 。經過 Julien and Lan(1991)的測試，該式的確可以模擬土石流、石流及泥流在不同變形率下之行為。

藉由(2.1)式降伏應力之觀點，可將土石流的運動行為分成土石流材料受到的剪應力大於降伏應力之強剪層(Shear layer or Boundary layer)，以及土石流材料受到的剪應力小於降伏應力之弱剪層(Plug layer)等兩區域。在強剪層區域中，土石流在運動過程中內部材料的應力大小將與土石流本身的降伏應力、土石流體與顆粒間之黏滯剪應力以及紊流和顆粒間碰撞之慣性剪應力有關；但對於弱剪層區域而言，

該式僅表達了該區域內的土石流運動其內部材料之間並無應變率的存在，也就是指運動中的土石流材料在未發生降伏時，其內部材料之間的相對速度非常微小，

弱剪層的土石流運動猶如土壤材料整層沿著弱強剪層交界面滑動的行為。因此為了要分析弱剪層內部材料之間的應力關係，我們試著從土壤力學中土壤受應力之後產生的可回復應變(彈性應變)以及不可回復應變(塑性應變)之間的關係出發，在 Julien and Lan 的本構模式下加入弱剪層土石流材料在運動過程中應力與應變之間的關係。而為了簡化分析，本研究首先僅考慮弱剪層區域內的彈性應變行為。

(17)

2.2 廣義的虎克定律(Hooke’s law)

首先從土石流體內部微小體積元素受到的總應力的觀點出發，該總應力可以分成初始靜止時就有存在的壓力項，以及微小體積單元發生應變時才會出現的剪應力項兩部分。

_{i j} p_{i j} _{i j} (2-2) 其中_ij為連體場內，土石流材料中內部某微小立方體元素所受的總應力，P為土石流的壓力，_ij為克羅內克函數(Kronecker delta function)，_ij為土石流剪應力。

考慮土石流是一個不可壓縮流體，並且在運動過程中，弱剪層土壤材料其應力與彈性應變之間的比例常數滿足均質(homogeneous)、等向性(isotropy)，並且在變形過程中屬於小變形假設(small deformation assumption)之情況。則此時藉由不可壓縮、均質且等向性之廣義的虎克定律，將(2-2)式中的剪應力項以彈性剪應變的形式展開。

_{i j}2Ge _{i j} (2-3) _{i j} p _{i j}2G e _{i j} (2-4) 其中(2-3)式即為不可壓縮材料下的廣義的虎克定律(Hooke’s law)，(2-4)式為弱剪層土石流運動中內部受到的總應力張量，其與壓力以及剪應力所造成的剪應變量有關；G為剪力模量(shear modulus)，e 為剪應力所產生的剪應變量張量，該應變量_ij 之值可由變形前後的彈性位移變化量函數描述，記為

¹( ) 2

i j ij

j i

u u

e x x

 

 

  (2-5)

u 為弱剪層土壤材料在變形過程中的彈性位移函數，其與空間以及時間函數有關，i

其中 i 、 j 為1 ~ 2 。則該應變量張量之值記為

12

1

i j 2 i j i j

e  e e

   (2-6)

另外，由於均質等向性的材料其楊氏模量(Young’s modulus,E)、柏松比 (Poisson’s ration,)、彈性模量(Bulk modulus of elasticity,k)、拉梅常數、剪力模

量G，兩兩之間具有一定的比例關係，因此只要在知道其中兩項數值的情況下，

即可推求出其他所有項的數值大小，如下表 2-1 所示。其中R E²9²2E 。

(18)

表 2-1 均值等向性材料的彈性常數換算表(Elasticity, 2009)

E  k  G

( , )E E 

3(1 2 ) E



 (1 )(1 2 ) E

 

  2(1 )

E





( , )E k E ³

6 k E

k

 k 3 (3 )

9 k k E

k E



3 9

kE k E

( , )E  E ²

E R



 

3 6

E R  3

4 E R

( , )E G E ¹

2 E

G

3(3 ) GE GE

( 2 ) 3

G E G G E



 ^G

( , ) k 3 (1 2 )k    k 3

1 k





3 (1 2 ) 2(1 ) k 





 ( , )  ⁽¹ ^{)(1 2 )}



   ⁽¹ ⁾

3

 



  (1 2 )

2

 





( , ) G 2 (1G )  ^{2 (1} ⁾

3(1 2 ) G 







2 1 2

G



 ^G

( , )k  9 ( )

3 k k

k





 3k



 ^k  3

2k

( , )k G 9

6 kG kG

3 2 6 2

k G k G



 ^k

2

k3G G ( , ) G G(3 2 )G

G





 2( G)





3 2 3

 G

 G

(19)

2.3 研究使用的本構關係式

為了要分析弱剪層土石流材料的應力與彈性應變之間的關係，我們將 Julien and Lan(1991)的一維本構關係式推衍至張量型式，並且將均質等向性的線彈性本構關係式(2-3)式加入 Julien and Lan 的張量形式的本構式的弱剪層區域中，作為土石流運動過程中的本構關係式。

0

;

2 ;

ij d c ij ij ij

ij

ij ij ij

e e e

Ge

     

  

  

     

  

  

  



(2-7)

ij為剪應力張量，e 為剪應變率張量，_ij e 為剪應變張量，_ij ₀為降伏應力，_d為動力黏滯度，_c為紊亂-離散參數。這裡我們沿用了與 Julien and Lan(1991)本構式中的降伏應力分層相同的概念，將土石流運動分成土石流材料受到的剪應力大於降伏應力之強剪層，以及土石流材料受到的剪應力小於降伏應力之弱剪層等兩區域。

因此在弱強剪層交界面處其作用剪應力為等於降伏應力且剪應變率為趨近於零，

而弱剪層區域的微小應變變化則藉由線彈性本構理論描述。其中(2-7)式中弱剪層剪應力張量_ij、剪應變張量e 、彈性位移函數_ij u 與各張量大小；以及強剪層剪應_i 力張量_ij、剪應變率張量e 與各張量之值，在下圖 2-1 的本研究中的二維卡氏坐_ij 標展開時整理為

弱剪層部份

1 1

2 2

1 1 1

( ) , ,

2 2 2

i j

ij ij ij ij ij ij ij

j i

u u

e e e e

x ^x   

    

        (2-8)

2 , 2 2 , 2

x x x x x y x y

y y y y y x y x

G e G e

 

 

  

 (2-9)

1

, , e ( ) 2

y y

x x

xx yy xy yx

u u

e e e

x y y x

 

    

    (2-10)

12

2 2 2 2

1 1 1 1 1

( ) ( ) ( ) ( )

2 2 4 4 2

y y y

x x x

ij

u u u

e x y y x y x

  

    

            (2-11)

(20)

12

2 2 2

1( 2 )

i j 2 x x y y x y

 ^      ^ (2-12) 強剪層部份

1 1

2 2

1 1

( ) , ,

2 2

i j

ij ij ij ij ij ij ij

j i

v v

e e e e

x ^x   

    

        (2-13)

0 0

( ) , ( )

xx d c ij xx xy d c ij xy

ij ij

yy d c ij yy yx d c ij xy

ij ij

e e e e

e e

e e e e

e e

 

     

 

     

    

        

    

    

    

        

    

    



(2-14)

1

, , e ( ) 2

y y

x x

xx yy xy yx

v v

e e e

x y y x

 

    

    (2-15)

2 2 2 2 12

2

2 ^x 2 ^y ^x ^y 2 ^x ^y

ij

v v v

e x y y x y x

            

                   

(2-16)

12

2 2 2

1( 2 )

i j 2 x x y y x y

 ^      ^ (2-17) 需要特別注意的是，u 、_x u 分別代表土石流於 x、_y y方向的彈性位移函數；v 、_x v 則分別表示土石流於 x 、y y方向的流速。並且由流場的實質導函數(Material derivative)可知，土石流速度與彈性位移函數以及流速之間的關係記為

(1) (2)

x x x x

x x y

du u u u

v v v

dt t x y

  

   

   。其中(1)式表達了速度與彈性位移之間的關係，(2)

式則表達了該速度可在流場的實質導函數下表示為局部導函數項(Local derivative) 以及對流導函數項(Convective derivative)兩部分；對局部導函數項而言，其與局部的彈性位移對時間的變化有關；對對流導函數項而言，其與該位置的流速所造成的彈性位移變化量有關。

(2-7)式表達了在強剪層區域中，剪應力與降伏應力、黏滯剪應力、慣性剪應力有關；在弱剪層區域中，剪應力則與土石流材料所產生之彈性應變有關，而兩層之間的交界則是以剪應力等於降伏應力作區隔。與(2-1)式不同的是，本研究考慮了弱剪層應力與彈性應變間的關係。

(21)

2.4 控制方程式

以二維卡氏座標描述現場土石流於溪床上之運動過程，如圖 2.1 所示。 x 軸方

向為沿著土石流向下游流動之方向，y軸方向則與土石流之流深方向相同。其中

為底床坡度，yB x t( , )為底床的y軸高度，yh x t( , )為土石流流動深度的y軸高度，yH x t( , ) 為土石流弱剪層厚度的y軸高度，y( , )x t 為土石流強剪層厚度的 y軸高度，則土石流於底床的弱強剪層交界面的y軸高度記為yB x t( , )( , )x t 。

圖 2-1 土石流運動過程中的卡氏座標圖式

考慮土石流的運動是在一個質量守恆的系統，則在不可壓縮土石流體的假設情況下，土石流運動過程中的質量守恆式與動量方程式寫為

0

1 1

i i

j j ij

i j

i j i

v x

v v p

v g

t x x x



 

 



   

     

    



(2-18)

其中v 為土石流的流速張量，_i _ij為內部土石流材料受到的剪應力張量， p為土石流壓力，為土石流密度，g為重力加速度，下標i、 j為 1~2。以圖 2-1 之二維卡氏坐標展開時，v₁ v_x、v₂ v_y分別為土石流於 x 、y方向之速度，₁₁_xx、

12 xy

  、₂₁ _yx、₂₂ _yy分別為土石流內部材料受到的剪應力分量。則此時將連續方程式與動量方程式以圖 2-1 卡式座標軸展開後，即為土石流運動之全流深控制方程式，記為

(22)

v^x v^y 0 x y

  

  (2-19)

1 1

( ^yx) sin

x x x xx

x y

v v v p

v v g

t x y x x y

  

 

           

      (2-20)

1 1

( ) cos

y y y xy yy

x y

v v v p

v v g

t x y y x y

 

  

     

      

      (2-21)

2.4.1 弱剪層控制方程式

為了得到弱剪層的控制方程式，我們將(2-7)式中的弱剪層本構關係式代入 (2-18)式的動量方程式中

^j _i ^j ¹ ¹ (2 _ij) _j

i j i

v v p

v Ge g

t x  x  x

        

    (2-22)

以(2-8)式的彈性位移函數u 展開應變量張量_i e _ij

1 2 1

( )

2

j j i j

i j

i j i j i

v v p G u u

v g

t x  x  x x x

 

     

      

        (2-23)

由不可壓縮土石流之體積應變量等於零可知 ⁱ 0

i

u x

 

 ，則整理(2-23)式並加上(2-18) 式中的連續方程式，可得弱剪層控制方程式

₂

2

0

1

i i

j j j

i j

i j i

v x

v v p G u

v g

t x  x  x

 



   

     

    



(2-24)

其中 ^j _i ^j

i

v v

t v x

 

   為土石流弱剪層運動所產生的慣性力項， 1

j

p

 x

 

 為運動過程中產

生的壓力項，

2

2 j i

G u

 x



 為各方向之剪應變變化量在各軸所形成的單位質量彈力項，g_j 為重力項；。(2-24)式以二維卡式座標展開時

v^x v^y 0 x y

  

  (2-25)

2 2

1 ( ) sin

x x x x x

x y

v v v p G u u

v v g

t x y x x y 

 

           

      (2-26)

(23)

2 2

1 ( ) cos

y y y y y

x y

v v v p G u u

v v g

t x y y x y 

 

     

      

      (2-27)

2.4.2 強剪層控制方程式

為了得到強剪層的控制方程式，同樣的我們將(2-7)式中的強剪層本構關係式代入(2-18)式的動量方程式中

j j 1 1 ⁰

i d c ij ij j

i j i ij

v v p

v e e g

t x x x e

  

 

  

            

 

      

(2-28)

以(2-13)式中的剪應變率張量e 整理(2-28)式，並加上(2-18)式中的連續方程式可得_ij 強剪層控制方程式

0

1 1

( )

i i

j j i j

i d c ij j

i j i ij j i

v x

v v p v v

v e g

t x x x e x x

  

 

 



        

          

         



(2-29)

將(2-29)式以二維卡式座標展開時

v^x v^y 0 x y

  

  (2-30)

0 0

1 sin

1 ( ) (2 ) ( ) ( )

x x x

x y

x y x

d c ij d c ij

ij ij

v v v p

v v g

t x y x

v v v

e e

x e x y e x y

 

     



        

   

          

 

            

        

     

 

(2-31)

0 0

1 cos

1 ( ) ( ) ( ) (2 )

y y y

x y

y x y

d c ij d c ij

ij ij

v v v p

v v g

t x y y

v v v

e e

x e x y y e y

 

     



   

    

   

          

 

               

(2-32)

其中，(2-31)、(2-32)式內各剪應力分量展開為

_xx ( ⁰ _d _c _ij) (2 ^x) , _yy ( ⁰ _d _c _ij) (2 ^y)

ij ij

v v

e e

x y

e e

 

 ^   ^ ^  ^   ^ ^

 

   

   

(2-33)

_{y x} _{x y} ₍ ⁰ _d _c _{i j}_{) (} ^y ^x ₎

ij

v v

e x y

e

  ^    ^{ } ^

 

 

 

(2-34)

(24)

2.5 邊界條件

對於現場土石流而言，底床河道的固體邊界在土石流運動過程中將提供一個抑制土石流運動的阻力，使得靠近邊界處的土石流體受到較大的剪應力而可能產生作用剪應力大於降伏應力的強剪層區域出現。因此現場土石流於溪床上運動過程中的邊界條件，可以運用(2-7)式降伏應力分層的觀念將土石流邊界分成自由表面與弱強剪層交界面以及底床等三個部分去討論，如圖 2.1 之自由表面藍色實線、

弱強剪層交界藍色虛線以及底床棕色線所構成的假想邊界線所示。

2.5.1 自由表面

對於土石流運動中的自由表面邊界而言，它是一個土石流體與空氣互相接觸的交界面。由運動狀態來看，在考慮過程中土石流體與空氣不會有質量交換的情況下，交界面處的土石流體質點必然無法穿越該邊界，而使質點速度在任何時刻都與自由表面相切，因此自由表面處的土石流體質點的法向量速度必然與邊界的法向量速度相等；也就是指具有運動邊界條件(Kinematic boundary condition)。當自由表面函數以yh x t( , )0表示時，KBC 在數學上記為

( )

0 y ( , ) d y h

at h x t dt

   (2-35)

其中(2-35)式展開為

_y h _x h _y h y ( , )

v v v a t h x t

t x y

  

   

   (2-36)

而從動力狀態來看該自由表面邊界的話，在連體場的考慮下，交界面處的應力必然滿足空氣所提供的應力與土石流體所提供的應力互相相等之概念。也就是指具有動力邊界條件(Dynamic boundary condition)。而 DBC 在數學上的表達，可藉由任意面_i的應力表達式 _i _ijn_j做描述，其中ix方向， j y方向。

_i _{i j} _j _{i j} _j y ( , )

D e b r i s f l o w a i r

n n a t h x t

 

      (2-37)

其中在此為考慮沿著i軸方向的自由表面的合力，n 為自由表面的向外法向量於_j

j方向的分量，其可以自由表面的單位梯度向量描述；記為

( ) 1

( , ) ( , 1 )

( ) ( )

j x y

z h h

n n n

z h z h x

   

    

     (2-38)

i

(25)

則此時以(2-4)式與(2-38)式整理(2-37)式，並且忽略空氣所提供的應力時 _i ( _{i j} _{i j}) _j 0 y ( , )

D e b r i s f l o w

p  n a t h x t

       (2-39)

_x ( _{x x}) h _{x y} 0 y ( , )

p a t h x t

 ^x 

      

 (2-40)

_y _{y x}h ( _{y y}) 0 y ( , )

p a t h x t

 ^x 

      

 (2-41)

而對於自由表面邊界而言，其位於土石流之弱剪層運動區域；因此再以(2-3)式與 (2-5)式將(2-40)~(2-41)式中剪應力項展開

_x h 2 u^x h ( u^x u^y ) 0 y ( , )

p G G at h x t

x x x y x

  

 

       

     (2-42)

_y ( u^x u^y ) h 2 u^y 0 y ( , )

G p G at h x t

y x x y

 

      

    (2-43)

2.5.2 弱剪層與強剪層交界面

對於土石流運動而言，弱剪層與強剪層的分界是以土石流本身的降伏應力以及運動過程中所受到的剪應力大小而產生的運動型態分層的概念，因此在靠近底床的弱強剪層交界面處，其仍然都屬於同一個土石流體的運動。在連體場的架構下，該交界面處仍然需要保持弱剪層與強剪層的運動性質以及動力性質連續的條件，也就是說在靠近底床的弱強剪層交界面處的土石流體質點，其弱強剪層的速度、剪應力以及壓力將為互相相等的。如下(2-44)式所示，其中下標p代表 Plug layer 為弱剪層部分，下標 s 代表 Shear layer 為強剪層部分。

v_{i p} v_{i s} ,  _{i j p} _{i j s} , p p_p a t_s  B x t y x t( , )(2-44) ( , ) 而在運動過程中，由於土石流是以降伏應力分成弱剪層以及強剪層等兩個不同的區域，因此在弱強剪層交界面處除了具有運動與動力性質連續之外，該界面的剪應力大小也將等於土石流本身的降伏應力值。由(2-17)式可知該交界面的剪應力記為

12

2 2 2

0

1( 2 ) y ( , ) ( , ) 2 ^{x x} ^{y y} ^{x y} a t B x t x t

 ^      ^   (2-45) 則此時分別以弱剪層以及強剪層的剪應力關係式展開(2-45)式。首先對於弱剪層部

(26)

分而言，代入(2-9)、(2-10)式的弱剪層剪應力關係式展開(2-45)式，可得交界面處降伏應力與剪應變之間的關係式

2 2 2 2 2 2

0

12

2 2 2

2 ( ) 2 ( ) ( )

( ) 2 y ( , ) ( , )

x y x

y x y

u u u

G G G

x y y

u u u

G G at B x t x t

x y x





  

     

   

       

(2-46)

對於強剪層部分而言，代入(2-14)、(2-15)式展開(2-45)式，可得交界面處降伏應力與剪應變率之間的關係式

2 2

0 0

0

2 12

0

1 1

( )(2 ) ( )(2 )

2 2

( )( ) y ( , ) ( , )

x s x s

d c ij d c ij

ij ij

y s x s

d c ij

ij

v v

e e

x y

e e

v v

e at B x t x t

x y

e

 

    

   

      

            

    

           

(2-47)

其中(2-47)式中剪應變率張量之值e_ij 如(2-16)式所示。

2.5.3 底床

對於底床邊界而言，它是一個土石流體與固體邊界的交界面。在土石流黏性作用以及不考慮土石流運動過程中沖刷和淤積對底床的影響下，底床邊界處的土石流體質點速度除了具有無滑移邊界條件(No slip condition)而使邊界速度等於零之外；底床邊界在運動過程中將不隨著時間發生變化。

v_is 0 at z B x ( ) (2-48)

(27)

2.6 尺度分析

為了瞭解土石流在運動過程中的物理特性，於本節開始我們將整個土石流的運動分成全流深、弱剪層以及強剪層土石流這三個部分，運用尺度分析的方式，

以現場土石流的尺度各別分析土石流全流深、弱剪層以及強剪層的控制方程式，

忽略控制方程式中各項內的小尺度項，以及各項互相比較後的小尺度項對土石流運動的影響。在整個尺度分析的流程裡，我們是先進行土石流全流深的尺度分析，

並以全流深控制方程式的尺度分析的結果，去進行強剪層厚度的尺度以及弱剪層彈性剪應變量尺度的估計，之後再分別以該估計結果去進行弱剪層以及強剪層控制方程式的尺度分析。

其中由(2-18)、(2-24)、(2-29)式可以知道，我們需要了解現場土石流在運動過 程中的幾何尺度( x 、y、)、運動尺度(v 、_x v_y、t)、壓力尺度(p)、剪應力尺度 (_ij)、強剪層厚度尺度( )、彈性位移尺度(u 、_x u )、土石流的密度_y 、剪力模量

G、動力黏滯度_d、紊亂-離散參數_c等。

2.6.1 參數尺度估計

對於現場土石流而言，所在之溪床寬度以及流動深度往往都在 5 公尺左右，

但長度卻可達 100 公尺以上；如下表 2-2 Jan and Chen(2005)整理 1996 年賀伯颱風造成南投縣陳有蘭溪集水區內土石流的流寬、堆積深度以及坡度特徵所示。因此考慮土石流的運動為在長波理論的假設下，土石流沿著流長方向的尺度為遠大於土石流沿著流深方向的尺度。其中令流長方向尺度為xO L( )，流深方向尺度為

( )

yO D ，且L100m、D5m、 ( )L (1)

O O

D 、  10 。

(28)

表 2-2 賀伯颱風期間陳有蘭溪集水區土石流特徵(Jan and Chen, 2005)

Location Flow type

Gully width (m)

Alluvial Fan Gully slope

Area (ha)

Average Depth

(m)

Initiation (degree)

Transportation (degree)

Deposition (degree)

Junkengkou Bouldery 5 0.90 4 33.7 16.0 16.0

Junkengqiao Cobble-gravely 5 1.45 4 25.2 12.0 9.1

Xinyizhongxin Cobble-gravely 4 0.36 3 23.1 18.0 6.0

Sangfengqiu Cobble-gravely 5 0.52 3 34.6 16.0 7.0

Fengqiu Bouldery 9 9.10 5 27.4 18.0 5.7

Tongfu Muddy 6 1.67 3 27.2 17.8 8.5

Longhua Muddy 6 2.60 4 28.6 15.0 15.0

Shenmu Cobble-gravely 12 5.56 4 29.3 11.2 7.4

現場土石流的流速，依據行政院農委會水土保持局所編印的「水土保持手冊」

的調查，泥流約介於2 ~ 20 m s之間，而石流約介於3 ~ 10 m s之間，因此估計土石 流於 x 方向之速度尺度為U 5m s並經由(2-19)式之連續方程式中各項尺度相等估計得到y方向之速度尺度。其中v_x O U( )、 _y (UD)

v O

 L 。而土石流的時間尺度

則藉由土石流從上游運動至下游的流長尺度和流長方向之速度尺度作估計，

(L) t O

 U 。

土石流的壓力尺度，可以從運動過程中產生的動壓尺度pO(U²)或者是土石流深度受重力作用所產生的靜壓尺度pO(gDcos ) 估計。對於本研究而言，

為使用靜壓尺度去進行估計。而由(2-7)式的土石流本構關係式可以知道，土石流在運動過程中，可以運用本身的降伏應力概念，將運動過程分成受到的剪應力大於降伏應力的強剪層以及受到的剪應力小於降伏應力的弱剪層等兩個部份，因此土石流內部的剪應力尺度，則由土石流本身的降伏應力大小進行估計，其中

( )0

ij O

   ，₀ 1000 N m²， 1000 kg m³。

(29)

弱剪層土石流材料的剪力模量G之尺度則藉由 Obrzud R. & Truty, A.(2012)以及 Braja M. Das(2010)所整理的不同組成粒徑的土壤材料的楊式模量E和泊松比 之代表性數值，並經由表 2-1 之轉換關係式得到。如下表 2-3、2-4、2-5 所示。

表 2-3 粗顆粒土壤材料的楊氏模量之代表性數值MPa(Obrzud R. & Truty, A, 2012) USCS Description Loose Medium dense GW，SW Gravels/Sand

well graded 30~80 80~160 160~320 SP Sand, uniform 10~30 30~50 50~80 GM，SM Sand/Gravels

silty 7~12 12~20 20~30

表 2-4 細顆粒土壤材料的楊氏模量之代表性數值MPa(Obrzud R. & Truty, A, 2012) USCS Description Very soft to

soft Medium Stiff to very

stiff Hard ML Silts with slight plasticity 2.5~8 10~15 15~40 40~80

ML，CL Silts with low plasticity 1.5~6 6~10 10~30 30~60

CL Clays with low-medium

plasticity 0.5~5 5~8 8~30 30~70 CH Clays with high plasticity 0.35~4 4~7 7~20 20~32

OL Organic silts 0.5~5

OH Organic clays 0.5~4

(30)

上表為使用統一土壤分類系統(Uniﬁed Soil Classiﬁcation System；USCS)。根據 (Braja M. Das, 2010)所著之大地工程原理可知，G 代表礫石或礫石性土穰、S 代表砂或砂質土壤，屬於粗顆粒土壤材料；M 代表無機粉土，C 代表無機黏土，O 代表有機粉土和黏土，屬於細顆粒土壤材料。而 W、P、L、H 分別為優良級配、不良級配、液性限度低於 50 之低塑性以及液性限度高於 50 之高塑性土壤材料。

表 2-5 土壤材料的楊氏模量與泊松比之代表性數值 (Braja M. Das, 2010)

Soil type E MPa( ) 

Dense sand 35~70 0.3~0.45

Medium sand 0.25~0.4

Loose sand 10~28 0.2~0.4

Silty sand 0.2~0.4

Hard clay 6~14

Medium clay 0.2~0.5

Soft clay 1.8~3.5 0.15~0.25

以粗顆粒土壤材料組成為主的石流其楊氏模量代表性數值約介於10 ~10 Pa⁷ ⁸ 之間，

以細顆粒土壤材料組成為主的泥流其楊氏模量代表性數值約介於10 ~10 Pa⁶ ⁷ 之間。

則此時估計E=10 Pa⁷ ，且泊松比在不可壓縮土石流下估計為0.5，並運用表 2-1

之轉換式可知 3.3 10⁶

2(1 )

G E Pa

   

 。因此各變數之尺度估計分別為xO L( )、 ( )

yO D 、v_x O U( )、 _y (UD) v O

 L 、 (L)

t O

 U 、pO(gDcos ) 、_ij O( )₀ ，且L100m、D5m、U 5m s、  10 、1000 kg m³ 、₀ 1000 N m²、

3.3 106

G  Pa。

彈塑性本構關係式於土石流之研究

國立台灣大學工學院土木工程學系 碩士論文

Department of Civil Engineering College of Engineering

National Taiwan University Master Thesis

彈塑性本構關係式於土石流之研究 The Study of Debris Flow with Elastoplastic Constitutive Equation

許秘嘉 Hsu, Mi-Chia

指導教授：劉格非 博士 Advisor: Liu, Ko-Fei, Ph.D.

中華民國 104 年 7 月

July, 2015

致謝

摘要

Abstract

目錄

表目錄

圖目錄

第一章 緒論

第二章 基本理論

國立台灣大學工學院土木工程學系碩士論文

指導教授：劉格非博士 Advisor: Liu, Ko-Fei, Ph.D.

第一章緒論

第二章基本理論