∈ T R 3(3,2,1) 上的值.

中国科学院⼤学 2015 春季学期微积分 II-A01 习题 13

课程教师：袁亚湘 助教：刘歆 2015 年 6 ⽉ 6 ⽇，8:00-9:40

作业 1. 计算下面的R

ⁿ

内的微分形式 Ω 在给定的向量组上的值.

a) ω = x

² dx ¹

在向量 ξ = (1, 2, 3)

∈ T R ³ _(3,2,1)

上的值.

b) ω = dx

¹ ∧ dx ³

+ x

¹ dx ² ∧ dx ⁴

在向量序对 ξ

1 , ξ 2 ∈ T R ⁴ (1,0,0,0)

上的值. 其中 ξ

1

= (

−1, 0, 1, 1), ξ 2

= (0,

−1, 0, 1).

c) ω = df , 这里 f = x

¹

+ 2x

²

+

· · · + nx ⁿ

, 在 ξ = (1,

−1, · · · , (−1) ^{n −1}

)

∈ T R ⁿ (1,1, ··· ,1)

的值.

作业 2. a) 试将形式 ω = df 写成形式 dx

¹ , · · · , dx ⁿ

的组合, 这里 f (x) = (x

¹

) + (x

²

)

²

+

· · · + (x ⁿ

)

ⁿ

, 并求 Ω 的微分.

b) 验证, 对于任何函数 f

∈ C ²

(D,R), 必有 d

² f = 0, 其中 d ²

= d

◦ d, ⽽ d 为外微分算⼦.

c) 证明, 若形式 ω = a

i

1

···i

k(x)dx

ⁱ

¹

∧ · · · ∧ dx ⁱ

^k 的系数 a

i

1

···i

k 属于 C

²

(D,R), 则在区域 D 内 d

² ω ≡ 0.

d) 在形式

^ydx _x

2

^−xdy +y

² 的定义域内, 求它的外微分.

作业 3. 求以下各形式的限制:

a) dx

ⁱ

在超平面 x

ⁱ

= 1 上的限制.

b) dx

∧ dy 在曲线 x = x(t), y = y(t), a < t < b 上的限制.

c) dx

∧ dy 在由 x = c 定义的平面 R ³

的平面上的限制.

d) dy

∧ dz + dz ∧ dx + dx ∧ dy 在 R ³

的标准单位⽅体的边界上的限制.

e) ω

i

= dx

¹ ∧ · · · ∧ dx ^{i −1} ∧ dx ⁱ⁺¹ ∧ · · · ∧ dx ⁿ

在R

ⁿ

的标准单位⽅体的界面上的限制.

作业 4. 试证, 光滑的 k 维曲面可定向, 当且仅当在它的上边存在⽆处退化的 k-形式.

作业 5. a) 设 x, y 是平面 R

²

上的笛卡尔坐标. 试说明, 形式

ω = − y

x ²

+ y

² dx + x x ²

+ y

² dy

是怎样的向量场的功形式.

b) 试求 a) 中的形式 ω 沿下列路径 γ

i

的积分: [0, π]

∋ t −→ (cos t, sin t) ∈ R ^γ

¹

²

, [0, π]

∋ t −→ ^γ

² (cos t,

− sin t) ∈ R ²

, 路径 γ

3

由诸点 (1, 0), (1, 1), (−1, 1), (−1, 0) 依次用线段连接⽽成; 路径 γ

4

由诸点 (1, 0), (1,

−1), (−1, �1), (−1, 0) 依次用线段连接⽽成.

1

2

作业 6. 设 f 是在区域 D

⊂ R ⁿ

内定义的光滑函数, γ 为 D 内以 p

0 ∈ D 为始点, p 1 ∈ D 为终点的光滑

路径. 试求形式 ω = df 沿路径 γ 的积分.

解答作业 1. a) ω(x)(ξ) = x

² dx ¹

(ξ) = 2

· 1 = 2.

b) ω(x)(ξ

1 , ξ 2

) = 1

·

 

−1 1

0 0  + 1

·





0 1

−1 1

 = 1.

c) ω(x)(ξ) =

∑

n i=1

i · (−1) ^{i −1}

=

{

− ⁿ ₂ ,

if n is even;

0, otherwise.

解答作业 2. a) ω = df = ∑

ⁿ

i=1

i · x ^{i −1} · dx ⁱ

. dω = 0, this is because

d _∂x ^∂f

j

dx ⁱ

= 0, if j

̸= i,

and dx

∧ dx = 0.

b) If f := f (x), the statement clearly holds. Otherwise, we consider n

≥ 2. It holds that ω = df = _∂x ^∂f

1

dx ¹

+

· · · + _∂x ^∂f

n

dx ⁿ

. Then

d ² f = dw =

∑

n i=1

∂ ² f

∂x ² dx ∧ dx +

∑

1 ≤i<j≤n

(

∂ ² f

∂x ⁱ ∂x ^j dx ^j ∧ dx ⁱ

+

∂ ² f

∂x ^j ∂x ⁱ dx ⁱ ∧ dx ^j

)

= 0.

c) Direct corollary of b).

d) Let P (x, y) =

_x

2

+y ^y

², Q(x, y) =

− _x

2

+y ^x

². Hence, ω = P (x, y)dx + Q(x, y)dy.

dω =

(

∂Q

∂x − ∂P

∂y

)

dx ∧ dy =

(

x ² − y ²

(x

²

+ y

²

)

² − x ² − y ²

(x

²

+ y

²

)

²

)

dx ∧ dy = 0.

解 答 作 业 3. a) ω

| S

= 0; b) ω

| S

= (x

^′

(t)dt)

∧ (y ^′

(t)dt) = x

^′

(t)y

^′

(t)dt

∧ dt = 0; c) ω| S

= 0; d)

ω | _{x=±1}

= dy

∧ dz; ω| _{y=±1}

= dz

∧ dx; ω| _{z=±1}

= dx

∧ dy; e) Similar with d).

解答作业 4. To be discussed in class.

解答作业 5. a) F =(

−y

x

²

+y

²

, _x

₂

_+y ^x

₂ )

_⊤

. b)

∫

γ

1

ω

=

∫

π

0

(

− sin t(− sin t)

cos

² t + sin ² t

+ cos t cos t cos

² t + sin ² t

)

dt =

∫

π

0

dt = π.

∫

γ

2

ω

=

∫

π

0

(

− − sin t(− sin t)

cos

² t + sin ² t

+ cos t(

− cos t)

cos

² t + sin ² t

)

dt =

∫

π

0

−dt = −π.

∫

γ

3

ω

=

∫

1

0

1

1 + y

² dy +

∫

1

−1

−1

1 + x

² dx +

∫

1

0

−1

1 + y

² dy = π

4 +

π

2 +

π

4 = π.

∫

γ

₄

ω

=

∫

₋₁

0

1

1 + y

² dy +

∫

₋₁

1

1

1 + x

² dx +

∫

0

−1

−1

1 + y

² dy = − π

4

− π

2

− π

4 =

−π.

解答作业 6. Let smooth map ϕ : [a, b]

∋ t − → (x ^{γ 1} , · · · , x ⁿ

)

∈ D satisfy ϕ(a) = p 0

, ϕ(b) = p

1

.

∫

γ

ω

=

∫

γ

df ¹ dx ¹

+

· · · + df ⁿ dx ⁿ

3

=

∫

b a

(

∂f

∂x ¹

(x

¹

(t))

∂x ¹

∂t

+

· · · + ∂f

∂x ⁿ

(x

ⁿ

(t))

∂x ⁿ

∂t

)

dt

=

∫

b a

(f

^∗ ◦ ϕ) ^′

(t)dt = f

◦ ϕ(t)| ^b a

= f

◦ ϕ(b) − f ◦ ϕ(a) = f(p 1

)

− f(p 0

).