大學入學考試中心指定科目考試研究用試卷

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大學入學考試中心指定科目考試研究用試卷

數學考科

(數學甲卷二)試題第一部分

作答時間：70 分鐘作答方式：

˙選擇題用 2B 鉛筆在「答案卡」上作答，修正時應以橡皮擦拭，切勿使用修正液

˙非選擇題用黑色或藍色原子筆，直接作答於試題所標示的答案欄內

祝考試順利

本試卷之著作權屬於財團法人大學入學考試中心基金會

本試卷 (含參考答案 )預定於 97年 6月 4日

公布在大考中心網站 http://www.ceec.edu.tw

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壹、單選題 ( 1 8 分 )

說明：第1-3題，選出一個最適當的選項，劃記在答案卡之「解答欄」。答對得6分，答錯或劃記多於一個選項者倒扣1.5分，倒扣到本大題之實得分數為零為止。未作答者，不給分亦不扣分。

1. 下面四點

7 7

π π

A(cos(− ), sin(− ))，

7 7

π π

B(−cos , sin )， ₁₀ ₁₀ 1 81 9 (log , log )

C ，

281 29

D(log , log− )中，有幾個點與 (1 , 1)− 在同一個象限？

(1) 0 個點 (2) 1個點 (3) 2 個點 (4) 3 個點 (5) 4 個點

2. 若直線 L為拋物線 y

= 2x

²的切線，且直線 L與拋物線 y

=

x²在點 (1,1) 的切線平行。下列哪一個選項是直線 L的方程式？

(1)

2

x

− y = 1

(2)

4

x

− y 2 = 1

(3)

4

x

− y = 3

(4) 4x y− = 1 (5) 4y= x

3. 有置於黑箱中的七枚硬幣，其中一枚兩面皆是人頭，一枚兩面皆是字，其餘五枚一面是人頭一面是字，將手伸入箱中握住一枚硬幣，取出後打開手掌，發現一面是人頭，試問另一面也是人頭的機率是多少？

(1) 1

2 (2) 1

4 (3) 2

7 (4) 1

6 (5)

1

7

(3)

貳、多重選擇題(32 分)

說明：第4-7題，每題有4個選項，其中至少有一個選項是正確的。請選出正確選項，標示在答案卡之「解答欄」。每題8分，各選項獨立計分，每答對一個選項，可得2分；每答錯一個選項，倒扣2分，完全答對得8分。整題未作答者，不給分亦不扣分。若在備答選項以外之區域劃記，一律倒扣2分。

倒扣到本大題之實得分數為零為止。

4. 當

4π x π4

− < < 時，下面哪些選項一定是正數？

(1) cos2x (2) sin 2x (3) cos x

(4)

cos

² x

− sin

²x

5. 坐標平面上三頂點為 ( 3 , 11 )A ，B( 10 , 12 )，C( 7 , 8 )，下列有關 ABC∆ 的敘述哪些是正確的？

(1) 等腰三角形 (2) 直角三角形 (3) 周長為15 (4) 面積為10

6. 已知 (0 , 0 , 0) ， (1, 2 , 2) ， ( 2 , 2 , 1)− − ， ( 2 , 1, 2)− − 為某一個正立方體的四個頂點，

請問下列哪些選項中的點也是此正立方體的頂點？

(1) ( 1, 4 ,1)− (2) (4 ,1, 1)− (3) ( 1,1, 4)− (4) ( 3 , 3 , 3)−

7. f x 是一個多項式函數滿足下列條件： ( )

條件一：當 4− < < − 或 x 1 x> 時，則 '( ) 01 f x >

條件二：當 x< − 或 14 − < < 時，則 '( ) 0x 1 f x <

條件三： f(1) 0 , ( 4) 0> f − <

試問下列敘述哪些是正確的？

(1) f x 是一個三次多項式 ( ) (2) f(2)> f(3)

(3) f x( ) 0= 有兩個實根 (4) f x 在 ( ) x= − 有極大值 4

(4)

參、選填題(24 分)

說明：1.第A-C題，將答案劃記在答案卡之「解答欄」所標示的列號(8–14)。

2.每題完全答對得8分，答錯不倒扣，未完全答對不給分。

A. 有一個「兩人合作過三關」的抽牌遊戲，每一關皆有兩張牌，一張是「出局」牌，

另一張是「過關」牌，其玩法如下：第一關先由其中一人來抽牌，若抽中「過關」

牌，則兩人一同晉級到下一關；若抽中「出局」牌，抽牌者不得再參加此遊戲，但另一人可順利晉級到下一關繼續進行抽牌遊戲。依此玩法繼續進行，試問兩人中至

少有一人通過三關的機率是多少？答：

○ 8

○ 9 。

B. 在坐標平面上，如果直線 L x: 3 +4y= 與圓 5 x²+y² = （ r 為一實數）相交於兩點，r² 且兩點距離為 2 8 。則直線 L 與圓 x²+y² =4r²相交的兩點距離為

○ 10 ○ 11 ○ 12

。

C. 坐標平面上，有一以不等式 − ≤ ≤a x a,− ≤ ≤ 定出的長方形區域。已知 x yb y b − 和 2 y x− 這兩個目標函數在長方形區域上分別取到最大值 5 和 8 ，試求 a=

○ 13

， b=

○ ¹⁴

^。

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(卷二)試題第二部份(共 26 分)

說明：本大題共有二題計算證明題，答案務必寫在答案卷上，並於題號欄標明題號（一、二），同時必須寫出演算過程或理由，否則將予扣分。每題配分標於題末。

一、考慮坐標平面上兩點 A(0,0)，B(4,4)。若點 P x y 滿足 ( , ) XPA⋅XPB ≤ ，且 0 P點在直線 x y+ − = 上，則 2 0 P點 x坐標的範圍為何？(13 分)

二、 ^{B x}¹

( )

^及 ^{B x}²

( )

是多項式函數，已知：

( ) ( )

'

B x dx B x dx B x B x

 = =



 =



∫ ∫

1 1

1 2

0 0

2 1 0

2

若 ^{B x}¹

( )

^{= +}^{x a}^{。(13 分)}

(1) 求 a 之值。(4 分) (2) 求 B x 。(9 分) ₂( )

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