引言 并联机床的静刚度是影响其运动精度的重要因 素 。另外

文章编号:1004 - 2539 (2006) 05 - 0001 - 04

并联机床静刚度研究

(郑州航空工业管理学院,　河南 郑州 　450015) 　赵 　辉 　姜金三 　张春凤

(上海交通大学机械与动力学院,　上海 　200030) 　高 　峰

(河南省科技成果转化服务中心,　河南 郑州 　450000) 　梁 　玲

摘要 　常见的并联机床静刚度分析理论发展尚未完善 。本文在研究并联机床静力学的基础上 ,使 用能量法分析在外载荷作用下的并联机床变形量 ,从而获得在不同位姿下并联机床的静刚度 。利用上 述方法 ,针对一台五自由度的并联机床进行了分析 ,获得了其静刚度 。为并联机床静刚度研究及其设计 提供了理论依据和方法支持 。

关键词 　静刚度 　静力学 　算法 　并联机床

　　

引言

并联机床的静刚度是影响其运动精度的重要因 素 。另外 ,在控制装置中 ,一般需要考虑并联机床的静 刚度并进行必要的误差补偿 。因此 ,对并联机床静刚 度进行研究非常有意义 。

刚度可以定义为并联机床运动平台对外力所反映 出的柔顺程度或者抵抗变形的能力^{[ 1～4 ]}。由于并联机 床机构复杂 ,影响其静刚度的因素众多 ,各个杆件受力 情况随着机器人末端位姿变化而不同 ,所以其静刚度 问题非常复杂 。

Kerr , D. R.

^{[ 5 ]}分析了 Stewart 机器人的刚度 。Gos2

selin

^{[ 7 ]}借助 Jacobian 矩阵 ,针对多类平面并联机构与

Stewart 型空间并联机构的伺服系统刚度 ,建立了仅考

虑主动关节弹性时操作力与末端变形的映射模型 。

Svinin 和 Hosoe

^{[ 6 ]}针对 Stewart 平台 ,分析了考虑有重力 作用时机构的静刚度 。El - Khasawneh 和 Ferreira^{[ 7 ]}采 用奇异值分解理论 ,以 Stewart 平台为例获得了在给定 位置下机构的刚度最大值和最小值 ,并进一步确定了 在给定方向上的机构刚度范围 ,最后通过有限元法分 析了一些点的刚度对其理论进行了验证 。蔡光起^{[ 8 ]}借 助于 Jacobian 矩阵 ,建立了三自由度并联机床的刚度 映射关系 。陈吉清^{[ 3 ]}使用螺旋理论 ,从并联机构运动 学方程和静力学正反问题出发 ,获得 Stewart 平台的刚 度 。天津大学的赵兴玉^{[ 4 ]}将并联机床划分为几个不同 的子系统 ,利用虚功原理分别获得子系统的刚度表达 式 ,然后运用线性叠加原理获得了并联机床整体的静 刚度表达式 。

上述研究针对的对象主要是 Stewart 平台 ,研究方 向基本上都集中在静刚度分析上 ,且他们采用的方法 有一定相似之处 :都是从并联机床运动学方程和静力

学平衡方程出发 ,通过微分 、差分或者使用虚功原理获 得刚度表达式 。赵兴玉在分析刚度时分别考虑将系统 划分为几个子结构 ,考虑不同子结构对末端刚度的影 响 ,然后线性叠加获得系统刚度 。但是 ,并联机床运动 复杂 ,采用线性叠加的方式是否合理值得商榷 。而采 用奇异值分解方法获得刚度范围 ,是在已经简化了的 刚度表达式的基础上进行的 ,其准确性值得进一步探 讨 。

本文拟在并联机床静力学分析的基础上 ,使用能 量法来研究并联机床静刚度 ,并以一台五自由度并联 机床为对象 ,研究其静刚度 。

1 　并联机床静力学分析

1. 1 　并联机床结构

五自由度并联机床由一运动平台和固定平台组 成

_,

见图 1 。运动平台和固定平台之间通过 5 条支链 连接 。其中

,

前面的 4 条支链对称分布于运动平台两 侧

,

为

PUS

型

;

后面的一条支链连接运动平台中心

,

为

PU

³

U

型^[9]。固定平台上安放 3 根导轨

,

它们位于同 一平面上 、彼此平行且中间一根导轨到其它两根导轨 之间的距离相等

_, 5 个滑鞍安放在固定平台的导轨上

且都位于水平面内 。

1

.

2 　并联机床的力雅克比矩阵

为了分析并联机床的受力情况

,

首先要分析其力 雅克比矩阵 。由于并联机床运动学和静力学之间也存 在对偶关系 。对于 1

. 1 节中的并联机床 ,

下面来求其 运动学雅克比矩阵 。

首先

,

建立坐标系如图 2 所示 。使用

I

i

( i = 1～5 )

表示杆

B

i

A

i方向上的单位矢量

,

并设

( 0 　1 　0 ) I

i

=

k

i。使用矢量方法可直接推导出并联机床的运动学雅 克比矩阵为

J = I

1T

/ k

1

( PB

1×

I

1

)

^T

/ k

1

I

2T

/ k

2

( PB

2×

_I

₂

)

^T

/ k

2

I

3T

/ k

3

( PB

3×

I

3

)

^T

/ k

3

I

4T

/ k

4

( PB

4×

I

4

)

^T

/ k

4

I

5T

/ k

5

( PB

5×

I

5

)

^T

/ k

5

( 1 ⁾

　1. 固定平台 　2. 移动滑鞍 　3. 支撑杆 　4. 运动平台 　5. 虎克铰 　　6. U³机构

图1　五自由度并联机器人CAD模型

这样就可得机器人的力雅克比矩阵

T = J

^T

=

I

1T

/ k

1

I

2T

/ k

2

I

3T

/ k

3

( PB

1×

I

1

)

^T

k

1

( PB

2×

I

2

)

^T

k

2

( PB

3×

I

3

)

^T

k

3

I

4T

/ k

4

I

5T

/ k

5

( PB

4×

I

4

)

^T

/ k

4

( PB

5×

I

5

)

^T

/ k

5

( 2 )

1

.

3 　并联机床的静力学分析

在获得了并联机床力雅克比矩阵时

_,

同时也意味 着建立了力的输入和输出之间的关系

图2　并联机床结构简图

　　　　

^ F

= T f ^

( 3 ⁾

式中 　

^ F

_———作用在机器人末端的力

/

力矩 　　　

^ _f

_{———机器人的输入力}

在确定的位姿下

,

如果已知作用在机器人末端的 外力时

_,

则可以根据式

( 3 ⁾

计算出机器人的输入力 。

在式

( 3 ⁾

的基础上

,

组成并联机床的各个部件内力 均可以计算出来 。

为了便于公式推导

,

首先分析该并联机床中的一 些特殊部件 。先来分析虎克铰 。众所周知

,

虎克铰一 般用来传递转矩^[106]。在这里

,

它作为从动件

,

可以传 递的力是那些不引起虎克铰转动的力 。普通十字叉轴 虎克铰作为从动件的时候

_,

可能的受力分析见图 3 。 从图 3 中可以看出

,

虎克铰除了可以传递转矩之外

,

还 可以传递力 。但是

,

所传递的力的方向并不是任意的

,

这些力对虎克铰十字叉轴中心点

_O

_c 不产生力矩效 用 。因此

_,

力矢量应该通过虎克铰十字叉轴中心点

_O

_c 且沿虎克铰轴线方向

_,

在图 3 中使用

F

a来表示这种 力 。虎克铰能传递的转矩方向也是确定^[106]的

,

和虎 克铰十字叉轴所构成的平面法线平行

,

在图 3 中使用

M

表示 。

图3　虎克铰受力分析 图4　_U³受力分析

　　然后

,

来分析复合运动副

U

³的受力情况 。

U

³实 际上是 3

UU

机构

_,

如图 1 中所示 。其上平台受到限制 的运动是沿着 3 根连杆轴线方向的移动和沿着虎克铰 十字叉轴所在平面垂线方向的转动 。沿

U

³的 3 根虎 克铰连杆取示力面

,

如图 4 所示 。作用在每根连杆上 的力分别有两个分量

_:

沿杆轴线作用的力和沿十字叉 轴所在平面垂线方向的力矩 。这 3 个力矩大小相等

,

而各个力则相互平行 。建立如下力平衡方程

6³

i= 1

f

5i

+ F

5

= 0 ( 4 )

6³

i= 1

f

5i×

B

5

D

i

+ m

5i

+ M

5

= 0 ⁽ 5 ⁾

式中 　

F

5 ———作用在

U

³上平台的力

M

5———作用在

_U

³上平台的力矩

f

5i ———作用在各杆上的力

m

5i ———作用在各杆上的力矩

_{, i} = 1 , 2 , 3

根据前述分析

_,

可知

m

5i

= M

5

I

_m

5 i

/ 3 ( 6 )

式中 　

I

m_{5 i}———

U

³各连杆轴线方向单位矢量

, i = 1 ,

　　　　　　　机械传动 　　　　　　

2

2006年

…

, 3

下面进一步确定力和力矩的方向 。

以

B

5点为原点

,

在

U

³的上平台建立坐标系如图

4 所示 。该坐标系原点建立在 B

5点

, z

轴沿上平台法 线向下

, x

轴和虎克铰的水平转轴平行 。

假定绕虎克铰十字叉轴转动的角度分别是 α和β

(

先绕

x

轴旋转α角

,

然后绕十字叉轴另一轴转β角

) ,

可以获得虎克铰连杆轴线方向为

( sinβ - sinαcosβ 　 cosαcosβ ⁾

^T

,

则虎克铰十字轴所在平面的法线为

( 0 　 sinα　cosα ⁾

^T。

然后将上述结果转换到并联机床参考坐标系中

_,

虎克铰连杆轴线方向为

[ sinβ- 2

2 cosβ ( sinα+ cosα )

　 2

2 cosβ ( - sinα+ cosα ) ]

^T 虎克铰十字轴所在平面的法线为

[ 0 - 2

2 ⁽ sinα+ cosα ⁾

　 2

2 ⁽ - sinα+ cosα ) ]

^T 这样

_,

在获得了它们的方向之后

_,

结合式

( 4 )

和式

( 5 ) , U

³内部受力也已经分析清楚了 。

在上述分析之后

,

来确定并联机床的各部分内力 分布情况 。

在已知外载荷的情况下

,

使用式

( 3 ⁾

可以确定并联 机床的输入力

F

_i

( i = 1 ,

…

, 5 )

。

取其中一个滑鞍进行受力分析

,

其受力情况见图

6 。

图5　U³坐标系 图6　滑鞍受力分析

　　忽略球铰中心和滑鞍之间的距离

,

根据力平衡方 程

,

可以得到

F

i

= - f

i

( 0 　1 　0 ⁾

・

I

i

, ( i = 1 ,

…

, 5 ^{) (} 7 ⁾

这样

,

前 4 根支撑杆中的内力可以确定了 。下面

,

针对第五支链进行受力分析 。

针对上述并联机床

,

如图 7 取截面

,

则受力分析情 况如图 7 所示 。图中

F

P和

_M

_P分别是将机构所受外 力平移到点

P

后的合力和合力矩 。

虎克铰提供的约束力在前面已经讨论过

,

这里用 力

f

5来代表合力

(

其方向将在后面讨论

) ,

用

m

5表示 合力矩

,

同时为了便于讨论

,

将它们平移到点

B

5。根 据静力平衡方程可以得到

6⁵

i= 1

f

i

I

i

+ F

P

= 0 ( 8 )

图7　并联机床动平台的受力分析简图

6⁵

i= 1

f

i

PB

i×

I

i

+ m

5

+ M

P

= 0 ⁽ 9 ⁾

式中 　

I

i

( i = 1～5 )

———杆

B

i

A

i方向上的单位矢量 由式

( 8 )

、式

( 9 )

得矩阵形式的力平衡方程

F

P

M

P

I

1

I

2

I

3

PB

1×

I

1

PB

2×

I

2

PB

3×

I

3

I

4

I

5

0

PB

4×

I

4

PB

5×

I

5

m

5

- f

1

- f

2

- f

3

- f

4

- f

5

- 1

( 10 ⁾

虎克铰提供的力矩方向可以很容易确定

,

就是沿 虎克铰十字叉轴所在平面的法线方向 。而约束力方向 则需要进一步分析才可以确定 。下面来确定虎克铰提 供的约束力方向 。

对杆件

PB

5 进行受力分析

,

根据它的运动情况

,

可以得到第五支链后续部分对它的约束力

,

从而可以 绘出其受力简图

_,

如图 8 所示 。从力平衡的角度

,

可得

F

5

= f

5

( 11 )

M

5

= m

5

( 12 )

从而可以确定

,

该力的方向是

U

³轴线方向

,

即

B

5

A

5的方向 。

图8　杆 PB5受力分析

这样

,

在已知外载荷的情况下

,

并联机床各部分的 内力都已经确定了 。

2 　并联机床的静刚度

2

.

1 　能量法

在材料力学研究中

,

有一种通过功和能来联系弹 性体变形和应力等问题的一般方法

_,

称作能量法 。

根据功能原理

,

可以获得系统的变形能为^[10]

U = ∫

l

N

²

( x)

2 EA d x + ∫

l

T

²

( x)

2 GI

k

d x + ∫

l

M

y2

( x) 2 EI

y

d x +

∫

l

M

z2

( x)

2 EI

z

d x ( 13 ⁾

式中 　

_N

———轴向拉力

E

———弹性模量

A

———杆截面积

T

———转矩

G

———剪切弹性模量

I

_k ———截面的极惯性矩

M

———弯矩

I

y、

_I

_z———截面的惯性矩

式

( 13 ⁾

中右侧各项分别表示受拉力 、受扭转截面 主形心轴

y

、

z

方向上受弯曲时系统的变形能 。 2

.

2 　并联机床的静刚度算法原理

并联机床的静刚度被定义为外力和相应的变形量 之间的比值 。为了确定静刚度

_,

关键在于确定变形量 。

根据变形体虚功原理^[10]

,

处于平衡状态的变形 体

,

外载荷在虚位移上所做的总虚功

,

恒等于作用在所 有微段的内力在相应虚变形上所做总虚功 。这样

,

就 可以在所求刚度方向加上一个单位大小的外载荷

,

利 用并联机床静力学分析的结论

_,

结合并联机床系统的 变形能

,

从而获得相应的位移

,

然后就可以求得并联机 床的静刚度 。

2

.

3 　计算实例

针对第 2 节分析的并联机床

,

使用前述的结论和 方法

,

进行分析计算 。

在刀具位姿为

( 0 , 0 , 0 . 80 , 0 , 0 )

^T时

,

假定外载荷为 沿

_x

轴正向作用的拉力

_{: (} 1 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 )

^T。利用式

( 3 )

～式

( 12 ⁾

可以求出并联机床的各部分内力

,

然后由式

( 13 )

可以求出对应的变形能为 5

. 26 ×10

^{- 9}

m。从而可

以获得相应的静刚度为 1

. 90 ×10

⁸

N/ m。

2

.

4 　静刚度实验

由于并联机床床身的变形很小

,

因此假定并联机 床的床身是刚性的

,

并联机床的静刚度实验在此基础 上进行 。将弓形加力器 、千分表固定在并联机床定平

台上

,

在加力螺钉和机床刀具之间放置测力环 。 先将并联机床运动到位姿

( 0 , 0 , 0 . 80 , 0 , 0 ⁾

^T处

_,

然 后旋转加力螺钉加力

,

通过千分表和测力环分别获得 位移和力值 。从而就可以计算出相应的静刚度 。

多次测量后

,

由测量数据获得的并联机床静刚度 值为 2

. 11 ×10

⁸

N/ m。和理论分析值相比 ,

实验测得的 刚度要大 11

. 1 %

。

3 　结论

本文在研究并联机床静力学的基础上

,

使用能量 法计算并联机床在外载荷作用下的变形量

,

从而获得 并联机床在不同位姿下的静刚度 。和其它方法相比

,

该方法的适应性强

,

可以应用于不同形式的并联机床 。 该方法为并联机床静刚度研究及其设计提供了理论依 据和方法支持 。

参 考 文 献

1　Lung Wen Tsai . Robot analysis - The Mechanics of Serial and Parallel Ma2 nipulators. John Wiley & Sons Inc. New York , USA , 1999

2　黄真,孔令富,方跃法.并联机器人机构学理论及控制. 北京:机械 工业出版社, 1997

3　陈吉清,陈秉聪等. 虚拟轴加工中心机构特点及其刚度分析方法. 吉林工业大学学报, 1998 , 4 (28) : 37～43

4　赵兴玉. 3 - HSS型并联机床静刚度预估及动力学建模方法研究〔博

士学位论文〕. 天津:天津大学, 2001

5　Kerr , D. R. . Analysis , Properties and Design of a Stewart Platform Trans2 ducer. ASME J . Mech. Trans. Auto. Des. , 1995 , 111 : 25～28 6　M. M. Svinin , SHosoe. On the Stiffness and Stability of Gough - Stewart

Platforms. Proceedings of the 2001 IEEE International Conference on Robotics & Automation , Seoul , 2001 : 3268～3273

7　Bashar S. El - Khasawnah , Placid M. Ferreira. Computation of stiffness and stiffenss bounds for parallel link manipulator. Inter. J . of Machine Tools &

manu. , 1999 , 39 : 321～342

8　蔡光起. 三自由度虚拟轴机床静力学及动力学的若干研究. 中国机 械工程, 1999 , 10 (10) : 1108～1111

9　赵辉. 五自由度五轴并联机床关键技术研究. 北京:北京航空航天 大学, 2004

10　单辉祖. 材料力学. 北京:国防工业出版社, 1990

收稿日期:20060404

基金项目:国家自然科学基金资助项目(50475055) 作者简介:赵辉(1976 - ) ,男,河南孟津人,讲师,工学博士

　　　　　　　机械传动 　　　　　　

4

2006年

ABSTRACTS & KEY WO RDS

JO URNAL OF MECHANICAL TRANSMISSIO N Vol . 30. No. 5 , 2006

Investigation on the Static Stiffness of Parallel Kinematic Machine Zhao Hui , Jiang Jinsan ,

………

Zhang Chunfeng , Gao Feng , Liang Ling(1) Abstract　The static stiffness theory of a parallel kinematic machine ( PKM) is still in progress. To obtain the static stiffness of a PKM , the statics of a PKM is researched first and then the energy method is intro2 duced. Based on the outcome of the PKM’s statics , the magnitude of the PKM’s deforming is obtained using the unit payload method , so the static stiffness of a five DOF PKM is gained. The method provides the theory foundation of a PKM’s static stiffness and its design method.

Key words :　Static stiffness　Statics　algorithm　Parallel kine2 matic machine

Simulation of Lubricant Flow and Heat Transfer in Lubrication System of Vehicle Gearing ………Xu Xiang , Bi Xiaoping(5) Abstract　A steady model of flow and heat transfer in vehicle gearing lubrication system has been developed. And a lubricant flow model of vehicle gearing was established by using one - dimensional incompress2 ible flow equations. The heat transfer mechanisms within the lubricating oil circuit were studied , and the heat transfer simulation model was de2 veloped with heat network method. An exemplary simulation has been carried out for the lubrication system of a tracked armored vehicle gear2 ing , pressures , flow rates and temperatures in lubricating system were calculated , and the simulation results were compared to test data with good agreement. This study shows that the simulation model can be used as a theoretical analysis means for studying lubricating oil flow per2 formance of vehicle gearings , as well as providing an useful tool.

Key words :　Lubrication system　Flow　Heat transfer　Simulation Study on Simulation Analysis and Experiment of Cutting Tempera2 ture During High - speed Dry Flying Cutter Cutting

Lin Chao , Zhou Pengju , Qiu Hua(9)

………

………

Abstract　According to the knowledge of Heat Transfer and Metal Cutting Theory , high - speed dry gear milling by flying cutter to simu2 late the gear hobbing process is adopted. The milling temperature model of milling by flying cutter is established based on metal cutting and diathermanous theory. The multiple - factor cutting temperature calcula2 tion formulas are derived out , and combined with the flying cutter high - speed dry cutting experiment , then it is contrasted the experimental data to the theoretical data , the relationship and the changing rule a2 mong main cutting parameter is studied. The exactness of the theoretical

simulation model is verified. The foundation is established for further studying the cutting temperature of high - speed dry gear hobbing and its’cutting mechanism.

Key words :　High - speed　Dry　Cutting temperature　Hobbing Theory of High Degree Contact Gear Profile

Zhou Changping , Liu Haoran , C. Y. Chan(13)

………

………

Abstract　In view of the high power transmission gears in practical application , a new kind profile with the best load capacity both in con2 tact and bending strength is presented. This is a kind of gearing with e2 qual meshing curvature over the whole tooth surface. The forming prin2 ciple of this tooth is analyzed.

Key words :　Gear　High degree contact　Media rank

A Method of the Motion Analysis and Dynamic Simulation for Planetary Gear Trains

Yuan Min , Li Runfang , Lam. K. T. (17)

………

………

Abstract　Based on graph theory and the methodology of fundamental circuits for gear trains , the motion analysis and the mechanical efficien2 cy of the planetary gear trains were introduced. Then the dynamic model of the planetary gear system was set up , and the dynamic simulation was established. The results of this work could be used as a correct theoreti2 cal tool to analyze the planetary gear trains and the transmissions.

Key words :　Planetary gear　Mechanical efficiency　Bond graph　 Simulation

Modeling and Soft ware’s Realization of Torsion Vibration for the Tree Construction Transmission of Vehicle

Lu Hongshan , Wu Shijing , Qian Bo , Wang Xiaosun(20)

………

………

Abstract　Structure of vehicle transmission is the type of tree con2 structed by link. The linear array created related to the vehicle trans2 mission properties is employed here realizing easy data’s storage and getting method. The torsion vibration with damp calculation modeling method and software’s realization’s method , combined by the Matlab program language realized in lab. The symbolic variable and simplifying step by step were employed such that the computing capacity was en2 larged.

Key words :　Torsion vibration　Vehicle transmission　Binary tree Matlab　GUI

Dynamics Modeling and Calculation of Planar Flexible Multi- link Manipulators with Material Damping

Zhang Jinfu , Zhang Yi , He Xingsuo(24)

………

………