電位能與電位(Electric Potential Energy and Electric Potential )

(1)

中興大學物理系孫允武靜電學二-1

電位能與電位(Electric Potential Energy and Electric Potential )

電位能與電位的定義

E(r)是位置的函數，F(r)=qE(r)亦是位置函數，且∮F·dr=0（對於任一迴路），

故靜電力為保守力，可定義位能，稱為電位能(Electric Potential Energy)。

r_i

O

E(r_i)

r_i r_f

q

由r_i至r_f的電位能變化可依位能之定義求得，即外力(F_applied)對抗電力將帶電量q之 物體緩慢地由r_i移至r_f所做的功。

∫

⋅

−

=

⋅

−

=

⋅

=

∆

=

− _→

f

i f

i

f

f i i

d q

d

d W

U U

U _f _i

r r r

r

r r r r

r r E r

r F

r r

) ( )

( ) ( )

( _applied

∫

⁻ ^⋅

=

∆ ^f

i

d q

U ^r

r E )(r r

即

電磁學

定義：電位(Electric Potential) V(r) 單位正電荷在電場中所具備的電位能。

q V U( )

)

( r

r ≡ 單位[J/C]=[volt]=[V]

兩點的電位差

∫

⁻ ^⋅ ⁼

=

= ∆

−

=

−

=

∆

) (

)

) (

(

) ) (

) ( ( ) (

f

i f

i

V V

f i i

f

dV d

q U q

U q

V U V

V

r r r

r E r r

r r r

r

r E d dV = − ⋅

故

(2)

我們可以選擇一個電位能的零點，即電位的零點。

零點的選擇：

(1) 選擇無限遠處為零點，即 U(∞)=0 or V(∞)= 0

∫

∞

⋅

−

=

⋅

−

=

r r

r r E r

d V

d q

U

) ( )

(

) ( )

(

(2) 在實際應用上，我們會選擇一個廣大導體(通常是地球表面)為零點，稱為 接地點(Ground)，V_ground=0。

有關在電場中之能量守恆

若無外力影響，電荷在電場中運動之力學能守恆。

) ( ) ( ) ( )

( _i _i _f _f

f i

U K

U

K r r r r

r r

+

= +

→

若有電場作用以外的外力，則外力做功等於電荷的力學能變化。

V q K qV

K U

K

f d

i applied ⋅ =∆ + = ∆ + = ∆ + ∆

∫

^r^r ^F ^r ⁽ ⁾ ⁽ ⁾

電磁學

電子伏特(electron-volt)— 能量的單位

一基本電荷e經1 volt電位差所產生之位能差大小稱為1 eV。

1 eV= (1.6 × 10^-19 C)(1 J/C) = 1.6×10^-19 J

電荷分布所產生之電位 (1)點電荷所造成的電位

r

E ˆ

4 1

2 0 r

q

= πε

∫

⁻ ^⋅

=

− ^B

A

d V

V_B _A ^r

r E )(r r



 −

′ =

′=

− ′

=

⋅ ′

− ′

′=

′ ⋅

−

=

−

∫

r B r

A B

r r q r

r r r q

r d q

r r d

d q r

V q V

B

A

B

A B

A

1 1 4

4 1 4

1

ˆ 4 ˆ

ˆ 1 4

1

2

2 0 2

0

πε πε

πε

r r

^r

r r

r

(3)





−

=

−

0 0

0

1 1 ) 4

( )

( r r

V q

V r r πε

選擇 r₀→∞，V → 0

r r q

V V

4 0

) 1 ( )

(r = = πε

電磁學

(2) 電荷分布所造成之電位

∑

=

= ⁿ

i

i i

i

r Q

1 2 0

4 ˆ

1 r

E πε ^向量加法

∑

=

= ⁿ

i i

i t

q r

Q U q

t

0 1

4 1

πε ^純量加法

∑

= =

=

= ⁿ

i i n

i i

i V

r V Q

1 0 1

4 1

πε ^純量加法

Q₂ F₂

F₃ F_n

Q₃

Q₁

Q_n F₁ q_t

r₁

r₂ r₃ r_n

(4)

若為連續分布 Q_i→ dq, Σ→ ∫







=

∫

on distributi for volume

on distributi area

for

on distributi line

for

4 1 4

1

0 0

dV dA ds dq

r dV dq

V

r dV dq

ρ σ λ

πε πε

dq

q_t r

電磁學

電位與電場

(1) 由電位對位置之微分求電場

r E d dV = − ⋅

一維的情形：

dx E dV

Edx dV

−

=

−

=

V

E

x

二維的情形

y dy dx V

x dy V

E dx E

dV _x _y





∂ + ∂



 





∂

= ∂

−

=

y V x

V

y E V

x

E_x V _y





∂ + ∂

∂

− ∂

∂ =

− ∂

∂

−∂

=

∂

−∂

∂ =

−∂

=

j i

E

,

(5)

三維的情形

d V V d

z V y x z

V y

V x

V

z E V

y E V

x

E_x V _y _z

r

k j i k

j i

E

−

≡

−∇

≡





∂ + ∂

∂

− ∂

∂ =

−∂

∂

−∂

∂

−∂

=

∂

−∂

∂ =

−∂

∂ =

−∂

= , ,

其中 i j k

r x y z

d d

∂ + ∂

∂

≡ ∂

≡

∇

(2) 電力線與等位面(Equipotential Surface)

q E(r_i)

Field lines

Equipotential surfaces

r E d dV = − ⋅

電磁學

在等位面上位移dr，dV=0，故E⊥dr，即電力線必和等位面垂直。

(6)

(3) 梯度與等位面

基本上電場即電位對位置的變化量(加一個負號)，電場方向則和等位面垂直

，更清楚的說是連結兩鄰近等位面最短距離之路徑方向，而且是由高電位朝向低電位方向。

x y

r E d dV = − ⋅

r F

r E

d dU

d q qdV

⋅

−

=

⋅

−

=

即力學之基本特性

如圖考慮沿一路徑s之軌跡

( )

s E V

E

ds E

d dV

s ∂

−∂

=

−

=

⋅

−

= θ

θ

cos

s

E 即沿s方向之電位對位置的變化(加一負號)就

是該方向電場的分量。

若將s定為x方向，垂直方向定為y方向，則可 得原二維情形之公式。

電磁學

V

(7)

電偶極造成的電位

例題

2 0

2 ) ( ) ( )

( ) (

) ( ) (

) ( ) ( 0

) ( ) ( 2

1

cos 4

1 cos

4

and cos

4 4

1

r p r

d V q

r r

r d

r r

d r

r r

r q r

q

V V

i i

θ πε

πε

=

≈

−

>>

= −











 + −

=

+

=

+

− +

−

+

− +

−

− +

−

= +

∑

電磁學

若用直角座標表示

( )

(

² ²

)

³^/² ⁰

(

² ²

)

⁵^/²

0 3 0

3 0 2

/ 2 5 0 2

2 / 2 3 0 2

2 2

0 2

0

2 4

2 3 1

4 sin cos 4

3

1 4

3 2

4 2 3

4 /

4 cos

4 1

z x

z z p

z x p z

E V

r p

r z r x r p z

x

z x p

x E V

z x

z p

z x

z x z p r

V p

z x

+

⋅ /

− /

= +

∂

−∂

=

−

=

− + =

⋅ /

− /

∂ =

−∂

=

= + +

= +

=

πε πε

θ θ

πε

πε πε

θ πε

(

^θ

)

πε πε

πε

2 3

0 2

2 3 0 3

0

cos 3 4 1

1 1

4 3 1

4

− = −

= r

p r

z r p r

p

(8)

帶電線段造成的電位

例題

( )

∫

⁼ ₊

=

= +

=

L

d x dV dx

V

d x

dx r

dV dq

dx dq

0 2 2 1/2

0

2 / 2 1 2 0 0

4 1

4 1 4

1

λ πε

πε λ

利用積分公式：

(

₂ ₂

)

¹^/² ^ln

(

^x ^x² ^a²

)

a x

dx = + +

∫

+

電磁學

( ) ( )

( )

[ ]

_^









 + +

=

− +

+

=

+ +

+ =

=

∫

d d L d L

d L L

d L x x d

x V ^L dx

2 2

0 2

2 0

2 2 0 2 2 1/2 0

0

4 ln ln

4 ln

ln 0 4

4

πε λ πε

λ

πε λ πε

λ

帶電盤造成的電位

例題

(

² ²

)

¹^/²

0

) 2 ( 4

1

) 2 (

r x

dr dV r

dr r dA

dq

= +

=

π σ πε

π σ σ

(9)

( ) ^∫ ( )

∫

⁼ ₊ ⁼ ₊

= ^a ^a

r x

rdr r

x

dr dV r

V 0 2 2 1/2

0 2 2 1/2 0

0 2

) 2 ( 4

1

ε σ π

σ πε

rdr XdX

r x

X² = ² + ², =

(

^x ^a ^x

)

X x XdX

V ^x ^a

x = + −

=

∫

⁺ ² ²

0

0 2

) 2 0 , 0 , (

2 2

ε σ ε

σ





− +

±

∂ =

−∂

= 2 2

0

2 1 x a

x x

E_x V

ε σ

− +

0 0

<

z>

電磁學

+σ

0 x 面電荷分布造成的電位

例題

x E_x

x V

σ /2ε₀

−σ /2ε₀

−(σ /2ε₀)x (σ /2ε₀)x

(a)

選擇V(0)=0

(10)

(b) +σ

0 x

-σ

d x

E_x

x V

σ /ε₀

−(σ /ε₀)x V₊

d

V_-

d V

V

ε0

= σ

− ₋

+

電磁學

導體的電位分布

在靜電平衡之導體內部無電場，任兩點間無電位差，也就是說整個導體內部電位均相同，即整個導體為一等位體。在導體內部之空腔內亦不會有電場，空腔內任兩點間亦無電位差。

例題 ^{帶電金屬球之電位分布}

電場 當r<R，E=0 當r>R，

2

4 0

1 r E Q

= πε 電位

當r<R，

當r>R，

R V Q

4 0

1

= πε

r V Q

4 0

1

= πε

(11)

導線連結的不同半徑帶電金屬球

例題

以導線連結之導體在靜電平衡時各部分電位均相同，

且導體內部無電場與淨電荷。

2 1 2 1

2 2 0 1

1 0

: :

4 1 4

1

r r q q

r q r

q

=

⇒

= πε πε

導體表面之電場和面電荷密度σ 成正比。

2 1 2 2

2 0 2

1 1 0 2

1 2

1

: 1 1 4

: 1 4

: 1

: r r r

q r

E q

E = =

= πε πε

σ σ

E R

1

∝ 曲率半徑愈小，電場愈大。

電磁學

尖端放電：帶電導體的尖端電場很大，易導致空氣分子游離。

避雷針之原理

(12)

重要實驗

阻力浮力

重力 v_g

終端速度

無電場狀況

阻力

浮力

重力 v₀

終端速度

有電場狀況電場

阻力電力

ne

密立根油滴實驗

(Millikan oil-drop experiment) 目的：測量基本電荷的大小。

獲1923諾貝爾物理獎。

方法：利用帶電之油滴在電場中運動時，電力、重力、浮力及空氣阻力間之平衡估算出電力大小，再推出帶電量。

電磁學

法拉第冰桶實驗 (Faraday’s ice-pail experiment) 用來證明高斯定律

(13)

應用

The Van de Graaff Generator 用來產生很高的電壓

空氣的游離電場（或稱崩潰電場breakdown voltage）

3×10⁶ V/m

考慮一個半徑1m的導電球，表面電場到達崩潰電場時，電壓為3×10⁶ V！！

此時球上的總電荷為

C 10 34 . 3

4 ₀ = × ⁻⁴

= rV

q πε

一般只到100kV。

電磁學

Xerography and Laser Printers

電位能與電位(Electric Potential Energy and Electric Potential )