從一題國中基本學力測驗的數學試題談起

HPM 通訊第十卷第四期第一版

發行人：洪萬生（台灣師大數學系教授）

主編：蘇惠玉（西松高中）副主編：林倉億（家齊女中）

助理編輯：李建勳、陳春廷、趙國亨（台灣師大數學所研究生）

編輯小組：蘇意雯（成功高中）蘇俊鴻（北一女中）

黃清揚（福和國中）葉吉海（新竹高中）

陳彥宏（成功高中）陳啟文（中山女高）

 駒場教養學部的傳奇

 知識連結 vs.數學的教學與評量

 從一題國中基本學力測驗的數學試 題談起

 96 年度大學學測數學考科題解討論

 在遊戲中發現數學！

王文珮（青溪國中）黃哲男（台南女中）

英家銘（台師大數學系）謝佳叡（台師大數學 創刊日：1998 年 10 月 5 日 每月 5 日出刊 系）

網址：http://math.ntnu.edu.tw/～horng

 

駒場教養學部的傳奇

國立交通大學通識教育中心李弘祺教授 在東京目黑區「東大前」火車站旁邊，有一個東京大學的校區，名叫駒場，這個校區 比坐落在文京區、以赤門而名聞於世的東大校本部略小，但是比較接近東京的閙區。它是 東京大學一年級新生讀書的地方。叫作教養學部（從1949 創立到 1983 年，東大官方所用 的正式的英文名稱是College of General Education，那一年教養學部改名為文理學院，英文 名也改稱為College of Arts and Sciences。現在則逕稱為 College of Arts and Sciences, Junior Division，仍在此校區上課，也仍稱爲教養學部）。凡是進東大的新生都在這裡修讀基礎或 核心課程（教養課程），大概一年半之後，才陸續到他們要選讀的主修科系，先後轉到「赤 門」去攻讀專業課程。

教養學部就像是美國的自由學藝學院 (liberal arts colleges)一樣，提供的是博雅課程，

讓學生在知識的廣度和人格的陶養方面都得到嚴謹的基礎訓練，使他們能成爲社會上有用 的領導者，扮演一個受過教育的知識人的角色。

這樣的一個學部在戰前的日本是沒有的。戰前的日本教育師法英國和德國，並不重視 通識教育。戰後，在聯軍的佔領之下，帶有濃厚自由主義色彩的麥克阿瑟主導教育政策和 措施，推動種種改革，其中最爲重要的，莫過於是1949 年東京大學教養學部的成立。

去年我因爲擔任東京大學一個研究中日海上文化交流計劃的國際顧問，到駒場參加咨 詢會議，在那裏盤恆了幾天。從外表看來，這個校區和東大本身沒有太大的分別。但是，

當我聽説規劃設立這個教養學部的東大教授是矢内原忠雄時，我的心情不免就興奮起來。

因爲矢内原忠雄是近代日本史上有名的「人格者」，我所知道有關他的事跡本來就很多，

只是萬萬沒有想到他竟然也是東大教養學部的創設人。

矢内原忠雄就是有名的《日本帝國主義下的臺灣》的著者。說到它，那當然是臺灣近 代知識人所人人熟知的一本書。敬仰他反對殖民地主義的人很多，不用我在這裡細述。這 裡只需提到一件事，就可以讓人們了解他的研究，不僅很受當時日本政府殖民統治下的臺 灣人的歡迎，而且是開啓殖民地政治經濟學研究的先鋒。1984 年由史旦福大學出版的《日

HPM 通訊第十卷第四期第二版

本的殖民帝國，1895-1945》（由 Ramon H. Myers 與 Mark R. Peattie 合編）就把這本書獻給 他。這就代表了他的客觀研究的成果，以及對正義的堅持。他的道德信念適當地表現在精 深的學術研究上面，而開拓了一整個新的學術方法和研究領域。事實上，他對朝鮮人的同 情，更有勝於他對臺灣人的同情，因此在朝鮮，也有非常多的知識人對他敬仰有加。

到東京大學校本部的社會科學研究所去參訪，你會發現它的第一任所長就是矢内原忠 雄；到經濟學系，你會發現它藏有當年亞當斯密寫那本有名的《國富論》時所參考的全部 的圖書，因爲它們現在收藏在這一系的圖書館裏。矢内原忠雄在 1920 年到英國訪問時，

發現了這一批書還存著，並且將要公開出售，因此他就把它們買了，帶囘東京大學。那時 他剛到東大教書，卻有這樣的勇氣和識見。現在我們仍然可以看到這些書上亞當斯密的眉 批，這些都得感謝矢内原忠雄。他還親自編撰了這608 本書的目錄。這本目錄經常再版，

現在還可以在Amazon.com 買到。

然而，他還有更爲令人感動的事跡：就像他寫了《日本帝國主義下的臺灣》一書一樣，

在民國 26 年，當日本發動盧溝橋事變，全力從滿洲向華北「進出」時，他竟然本著一個 基督徒的良心（關於他的基督教信仰，容我以後再寫）出來反對日本侵華。他寫了一篇文 章，題爲《國家の理想》，發表在那一年九月號的《中央公論》上，批判日本軍國主義的 行爲。爲了這麽一篇文章，日本軍部強加壓力，要東京大學把他解職。這樣的遭遇不免使 我想起六十年代的殷海光先生。知識人的遭遇何其令人感嘆，而殷先生最後鬱鬱以終，不 像矢内原先生能看到戰爭結束，這就令人對殷先生更爲同情了。

然而，矢内原的經歷其實也不遑多讓，不能不令人一般的感概。

離開了東京大學之後，他經濟拮据，生活遭遇困難。我最近翻讀去年剛剛出版的1938 年林獻堂的日記，發現他在窮困之餘，甚至於透過蔡培火先生來向林先生商求經濟援助（林 先生當時正好在日本）。宗主國的知識人居然需要向被殖民地政府欺壓的臺灣人求援，這 是多麽吊詭呀。林先生當然慨然答應。不過後來，矢内原先生再來造訪，除了再申謝忱之 外，卻表示說已經不需要林先生的支援了。我敢說林獻堂並不知道爲什麽矢内原改變了初 衷。但是我相信這是因爲有另一件非常感人的事發生了。這就是當時日本最大的書店，岩 波書店，的老闆拿了等於矢内原先生兩年的薪水給他，請他寫一本他所最欽佩的歷史人 物，這就暫時解決了他的困境。所以他就不用麻煩林獻堂先生了。矢内原的這本書寫進了 孔子，佛陀，蘇格拉底，耶穌、親鸞等人。但是更重要的是，在事態如此危急之際，岩波 的老闆居然有這樣的勇氣出來支助矢内原先生，這是一則多麽感人的故事！

怪不得在今天，對猶太人所遭遇的浩劫（holocoust），中國與朝鮮（以及臺灣）的慰安 婦醜聞，日本在中國東北所犯下的罪行，以及南京的大屠殺等罪孽反省最爲深刻的山田正 行（大阪大學教育學教授），會把日本的反戰理念、和平主義以及反對發動對華戰爭的思 想源頭，追回到矢内原和新渡戶稻造。是的，新渡戶稻造的全集就是矢内原所編撰。這些 日本的先知們就這樣，在非常艱難的時刻發揮他們作爲知識人的良心，勇敢地面對軍閥的 無知和暴虐，忠實地扮演了近代世界進步思想的表帥的角色。

1994 年，矢内原忠雄的《日本帝國主義下的臺灣》，連同孫文的《三民主義》，以及余 英時的《中國近世宗教倫理與商人精神》等書被東京大學選為二十世紀影響東亞研究的最 重要的十本書。

HPM 通訊第十卷第四期第三版

在駒場的校園裏，今天立的有矢内原的銅像。偉大的學校曾經培養了偉大的人物，而 這位偉大的人物又將長遠地留在曾經在駒場受過通識教育的學子心中。再過幾天，我又要 到東京大學參與他們計劃的咨詢。我將有機會再一次到矢内原的銅像前，去瞻仰這一位先 知型的偉大教育家。他所象徵的，正就是通識教育的永恒價值。（2007 年 4 月 2 日午夜於 新竹）

後記：

或許有人讀了這樣的文章，會覺得這是一種造神運動的寫法，不過我還是認爲世界上 就是有些人會爲一些應該堅持的理想來生活的。至少，像矢内原先生這樣的人在教育上所 造成的重大影響和敢於站出來反對日本侵華，指摘日本殖民政策的錯誤措施，這些都還是 令人佩服的。弘祺又及。）

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《HPM 通訊》駐校連絡員

日本東京市：陳昭蓉 (東京 Boston Consulting Group) 、李佳嬅（東京大學）

台北市：楊淑芬（松山高中） 杜雲華、陳彥宏、游經祥、蘇意雯、蘇慧珍（成功高中）

蘇俊鴻（北一女中） 陳啟文（中山女高） 蘇惠玉（西松高中） 蕭文俊（中崙高中） 郭慶章

（建國中學） 李秀卿（景美女中） 王錫熙（三民國中） 謝佩珍、葉和文

（百齡高中） 彭良禎（麗山高中） 邱靜如（實踐國中） 郭守德（大安高工）

林裕意（開平中學）林壽福 (興雅國中)、傅聖國（健康國小）

台北縣：顏志成（新莊高中） 陳鳳珠（中正國中） 黃清揚（福和國中） 董芳成（海山高中） 林旻志（錦 和中學） 孫梅茵（海山高工） 周宗奎（清水中學） 莊嘉玲（林口高中） 王鼎勳、吳建任（樹 林中學） 陳玉芬（明德高中） 楊瓊茹 (及人中學)、羅春暉 (二重國小)

宜蘭縣：陳敏皓（蘭陽女中） 吳秉鴻（國華國中）林肯輝（羅東國中）

桃園縣：許雪珍（陽明高中） 王文珮（青溪國中） 陳威南（平鎮中學） 洪宜亭（內壢高中） 鐘啟哲（武 漢國中） 徐梅芳（新坡國中）、郭志輝（內壢高中）、程和欽 (永豐高中)、鍾秀瓏（東安國中）

新竹縣：洪誌陽、李俊坤、葉吉海（新竹高中） 陳夢琦、陳瑩琪、陳淑婷（竹北高中）、洪正川（新竹高 商）

苗栗縣：廖淑芳 (照南國中)

台中縣：洪秀敏（豐原高中） 楊淑玲（神岡國中）

台中市：阮錫琦（西苑高中） 歐士福（五權國中）

嘉義市：謝三寶（嘉義高工）

台南縣：李建宗（北門高工）

高雄市：廖惠儀（大仁國中）

屏東縣：陳冠良（枋寮高中）

金門：楊玉星（金城中學） 張復凱（金門高中）

馬祖：王連發（馬祖高中）

附註：本通訊長期徵求各位老師的教學心得。

HPM 通訊第十卷第四期第四版

  知識連結 vs.數學的教學與評量

台師大數學系 洪萬生教授 根據某職場情報雜誌報導，有關畢業生的就業行情，台大首次領先成大，成為企業主 的最愛。該雜誌還進一步報導，影響此一偏愛的因子，與大學生能否融會貫通所學有關。

顯然，這是因為現在企業管理所需要的能力，已經不只是技術層面的專業訓練可以滿足。

於是，只擁有某專業或技術（譬如理工）此單一強項，當然不足以應付瞬息萬變的職場需 求了。

其實，這一行情可能也反映台大畢業生出國比例降低，留在國內就業人數增加之後，

自然留給企業界比較深刻的印象。不過，台大是國內首屈一指的綜合型大學，資質優異的 學生所接受的教育訓練之多元與彈性，的確是其他大學所難以望其向背，因此，該校畢業 生比較具有融會貫通的能力，看來也見證了台大豐沛的學術與教育資源。

這麼說來，其他大學在教育品質的提升上，是否就難以培養學生此一能力呢？這恐怕 是從事高等教育工作者必須共同面對的問題，論者或謂通識教育的成效，可以起一點彌補 作用。然而，更根本的問題，似乎是中學階段的教育品質（筆者身為大學教授，如此猜測 絕對沒有卸責之意，請參考下文論述）。由於上個月底在國科會的贊助下，本社與張昭鼎 紀念基金會所舉辦的研討會與數學教育有關，因此，或許我們可以從數學教學與評量的觀 點，來討論相關的品質，如何可以連結到學生的融會貫通之能力。

大致說來，我們的高中數學教學，主要著重在解題活動。問題其解決，一向被視為數 學進步的動力。當教師將解題活動應用在教學或評量時，則學生可藉以釐清數學觀念、熟 練數學方法，以及通盤瞭解相關的知識內容，甚至被啟發而探索更深刻的數學理論。這種 期待當然是高標準，下焉者幾乎都將數學視為各自互不相涉的題目及其解法，而這顯然也 足以反映一般數學教師所採取的教學策略，譬如他們在教學時，總是針對個別問題一個接 一個講解（目的無非是為了升學考試），無暇顧及教科書的知識結構之意義。如此一來，

培養融會貫通能力所需要之訓練，譬如知識如何連結，以及連結之重要性等等，當然就付 諸闕如了。

話說回來，「照本宣科」的教學方式，在高中數學教育階段，大概是相當罕見的現象 吧。筆者有一位大學同窗二十年前任教中部某公立明星高中時，一直堅持按照教科書內容 授課，結果校長始終不讓他任教高三課程，因為帶領學生充分理解課本內容，被認為無助 於大專聯考成績之提升。這個真實故事固然年代久遠，目前或許已經缺乏代表性，不過，

如果教師願意測試一下學生閱讀數學教科書的能力，一定可以發現即使是所謂的數理資優 學生，也相當貧弱。究其原因，教師教學時迫於所謂的補充問題過多（呼應學測與指定考 科之需求故也），而無法深入進行教科書內容的結構性講解。如此一來，當我們期待學生 擁有融會貫通的能力時，不是顯得非常不切實際嗎？

上述觀察也許比較適用於高中教學之觀察。然而，由於國中基測的評量方式，國中數 學教學現場，也慢慢地「解題化」了。所謂「解題化」，是針對問題之求解時，我們被允 許利用前所學過的任何知識，而不必在乎這些知識的邏輯順序或結構性意義。其實，過去 國中幾何課程還講究定理證明時，數學知識的結構性面向，多少可以在教學現場獲得凸

HPM 通訊第十卷第四期第五版

顯。現在，由於在基測試卷中，證明題都改寫成為選擇題，於是，在「解題」的強大需求 下，數學知識的邏輯連結，遂隱沒不彰了。

顯然，由於升學主義的惡質競爭，目前國中基測的精神與目標，已經受到相當大程度的扭曲。

因此，筆者在此舉例說明，目的不在於批判此一評量本身之得失。誠然，教學能否正常化，絕對 脫離不了考試評量方式的影響。不過，不斷地精進評量技術，以維持考試的所謂「公平性」，絕對 無助於教學成效之提升，因此，筆者不想就此一議題此糾纏下去。

筆者比較關心的問題，毋寧是國中課程（九年一貫的一部份）的知識連結面向，如何在教學 現場獲得應有之重視。如果只是為了幫助學生更好地回答基測問題，那麼，知識之連結，仍然可 以列入教學的優先順序。為此，教師顯然必須先有能力進行相關之連結！更何況，九年一貫課程 所強調主要能力培養項目之一，就是「連結」！

筆者最近曾針對此一問題，請大四學生（其中大都準備投入教學行列）提出他們的反思與建 議。茲轉述該問題如下：

漂亮的證明之特色，通常兼具核證 (justification) 與說明 (explanation) 的雙重功能。在國中幾 何學課程中，我們在引進形式論證之前，通常會利用直觀論證來鋪陳。不過，這兩者之間的連結，

似乎並未獲得應有的重視。

試以三角形之內角和為兩個直角和或180 度證明為例。在實驗幾何或直觀論證 (intuitive reasoning) 方面，我們在紙上畫一個三角形，然後，將三個角剪下來，再設法拼成兩個直角和或「180 度角」（？）。(附註：為了避開「平角」的定義，可以運用量角器說明 180 度角的意義。)

另一方面，如果考慮形式論證 (formal reasoning)，那麼，我們可以利用平行設準，過此一三 角形之某頂點畫一條直線與底邊平行，再根據內錯角全等之性質或定理，證明這三個角等於兩個 直角的和。

請問這兩個論證如何連結？同時，在此一連結過程中，哪一部份屬於核證？又，哪一部份屬 於說明？

就上述這一例子來說（亦即：教學目標是三角形之內角和為兩個直角和或180 度之證明），如 果你有更好的教學策略，請提供有關實驗幾何與論證幾何之連結的反思！

結果頗令人意外：筆者所回收的回答大都不太切題，這是因為回答者多半忽略此一教學目 標何在！不過，他們似乎也無從理解「連結」之必要，才是最值得注意的現象。

平心而論，一個人是否擁有融會貫通之能力，似乎不必然與其所接受教育品質相關。

然而，針對一個中等資質的學生而言，如果教育環境願意而且有能力提供誘因，不斷地強 調知識連結之必要意義，那麼，長期薰陶下來，或許大部分的大學生也多少擁有融會貫通 之能力了。特別地，針對數學的教學與評量，我們若能以知識的（邏輯）連結作為主要教 育目標之一，那麼，所謂的「融會貫通」當然絕對不是台大畢業生的專利了。

後記：按本文也將發表於《科學月刊》2007 年 5 月號

HPM 通訊第十卷第四期第六版

從一題國中基本學力測驗的數學試題談起

北市南門國中 曾明德老師

理論與方法

由於唸教學碩士班的機緣下，接觸了一些數學教育的理論。例如：Skemp的智性與情 意互動論、Vygotsky的社會與個體互動論、Lave的情境與個體互動論、以及Van Hiele的幾何 與思維階層論。¹

隨著知道的學習理論愈多，心裡頭反倒覺得不踏實。開始在思考一些問題：我是怎麼 學 會 一 些 事 情 的 ， 自 己 都 還 搞 不 太 清 楚 ， 但 是 ， 我 已 經 從 事 教 學 工 作 七 個 年 頭 了 (85.08~92.08)……。²

我總認為不管遇到什麼教學上的困境，只要我持續不斷地抽絲剝繭，並往未知的知識 領域去找尋適當的理論，再透過一些設計與試驗，必能轉化成相對應且適當的方法。³但是，

理想與現實總是有差距的，因為一個理論往往沒有交代它的對應方法，似乎這樣比較有神 秘感。因此，端看人們如何去詮釋一個理論，產生的方法也會有些差異。照這樣的說法，

理論與方法的關係就如同下圖：

方法2 方法1

理論A

圖一

回到教學現場，由於牽涉的變因較多，所以，實際上一個方法就可能綜合了幾家的理 論，形成了下面的關係圖：

方法3 理論B

方法2*

方法1

理論A

圖二

學校的數學、日常生活的數學之外，還有考試用的數學

國中數學基本學力測驗從民國90 年上路，至今(92 年)已經進行了三年共六次的測驗。

下面用來討論的試題是91 年第一次學力測驗的第 10 題，記作 91-1-10。

HPM 通訊第十卷第四期第七版

(91-1-10)

小格想要煮一鍋30 人份的玉米湯，

材料：1.玉米醬(100g/罐)……..1.5 罐 2.雞蛋………1 個 3.絞肉………6 兩 4.奶油………..10 克 5.清水………半公升 6.鹽……….1 小匙

香濃玉米湯(4 人份) 他依據右表的食譜內容到市場選購材料。

請問下列哪一種材料的數量買得太少？

(A)玉米醬(100 g /罐)11 罐 (B)雞蛋 8 個

(C)絞肉 45 兩 (D)奶油 75 克

上面這一題要怎麼做呢？(建議您先做做看，再繼續看下去。)

有個學生(暱稱W)是這樣想的。⁴她說剛好她有這樣類似的經驗，她的處理方式如下：

將 香濃玉米湯 (4 人份) ×8，就可以提供 32 人食用，所以將(4 人份)各項材料都乘上 8 就 可以了。因此她得到的材料數量如下

材料：1.玉米醬(100g/罐)……..1.5 罐×8＝12 罐 2.雞蛋………1 個×8＝8 個 3.絞肉………6 兩×8＝48 兩 4.奶油………..10 克×8＝80 克

所以本題的答案有 (A)、(C)、(D)，但問題是這是四選一的單選題，因為奶油少了 5 公克(少 了最多)，所以選 (D)。

聽完了她的想法之後，我陷入了苦思。我覺得她「乘上8 倍」的想法很好 (甚至有點 高竿)。就生活面而言，她的策略已經解決問題了。但是很不幸，這是一道模擬自生活情境 的考試用問題，⁵而且答案只能選一個。對一個15 歲的小女生來說，她從(A)、(C)、(D)中 以「哪一個選項少了最多？」的想法，選擇(D)，已是很「難能可貴」的解題策略，雖然想 法都沒有問題，但是，執行的過程中卻出現了幾個錯誤，我想連受過數學訓練的人，也難 以察覺到真正的盲點。⁶

這個問題，一直存在我的腦海中，揮之不去。趁著寫報告找些有感覺之題材的同時，

抱持著前面所談的「理論與方法」的態度，試圖做一些反思，也算是對自己的學習有所交 代。

„自發性概念 (naïve concept)⁷

根據我對W 的了解，她所接觸的數學學習，大多是慣性學習 (Habit/Role Learning)。

所以，在我與她接觸的時間裡，我會盡量找機會採用智性學習 (Intelligent/Schematic Learning)，以便能在關係性理解 (Relational Understanding) 與機械性理解 (Instrumental Understanding) 之間，取得某種程度上的平衡與調和。

一般而言，習於慣性學習的學習者會期望老師不斷地提供規則，以應付每一個新狀 況；而智性學習則使學習者有較好的適應力，並具有信心能處理新狀況。

上面這個問題 (即 91-1-10) 對於 W 而言，情境雖然不陌生，但是，並沒有適合的規則 可以套用，所以，她很自然產生了自發性的解法，可以看出W 有信心能解出。但是問題出 在哪裡呢？

„「克、兩、罐」能比較大小嗎？

我們按照 「乘上 8 倍」與 「哪一個選項少了最多？」的想法來繼續作答。

玉米醬需要 12 罐，選項 (A) 買玉米醬 11 罐，所以少 1 罐；

絞肉需要 48 兩，選項 (C) 買絞肉 45 兩，所以少 3 兩；

奶油需要 80 克，選項 (D) 買奶油 75 兩，所以少 5 克。

因為 5 克＞3 兩＞1 罐，所以奶油少了最多。

HPM 通訊第十卷第四期第八版

「克、兩、罐」能比較大小嗎？當然能。因為基本上這些都是用來衡量物體份量的形 容詞 (或乾脆說是重量單位好了)，只是就算是同類量，也不能直接從數(度量)的大小來判 斷量的大小。例如 2 公斤、1000 公克哪一個比較重？

所以，在這之前我們還必須做一件事，就是化成同單位。即2 公斤＝2000 公克＞1000 公克。(2000＞1000)

問題是：5 克、3 兩、1 罐，要怎樣化成同單位呢？

Insight！我們選擇四人份為一單位，玉米醬需要 1.5 罐(四人份)，選項 (A) 玉米醬少 1 罐，相當於

5 . 1

1 (四人份)；絞肉需要 6 兩(四人份)，選項 (C) 絞肉少 3 兩，相當於 6 3(四人 份)；

奶油需要10 克(四人份)，選項 (D) 奶油少 5 克，相當於 10

5 (四人份)。

因為 5 . 1

1 ＝ 3 2 ＝

6 4 ＞

6 3＝

2 1＝

10

5 ，所以，玉米醬少了最多。

„使用加法策略處理比例問題

再細究W 的方法，要處理的問題是下列兩個表的比較：

只要去分別比較 12 11、

48 45、

80 75 與

32

30 的大小，若 等於 32

30，則表示剛好30 人份；若 大

於32

30，表示超過30 人份；若 小於 32

30，表示不夠30 人份。即 12 11＝

48 44 ＜

48 45＝

16 15＝

32 30，

所以，玉米醬11 罐不夠 30 人份；

48 45＝

16 15＝

32

30，所以，絞肉45 兩剛好 30 人份；

80 75＝

16 15＝

32

30，所以，奶油75 克剛好 30 人份。

而W 的處理方式如下：

(A) 玉米醬需要 11 罐；

(C) 絞肉需要 45 兩；

(D) 奶油需要 75 克。

假設

30

玉米醬需要 12 罐；

絞肉需要 48 兩；

奶油需要 80 克。

32 人份

玉米醬需要 12 罐，選項(A)買玉米醬 11 罐，所以少 1 罐；

絞肉需要 48 兩，選項(C)買絞肉 45 兩，所以少 3 兩；奶油 需要 80 克，選項(D)買奶油 75 兩，所以少 5 克。

因為 5 克＞3 兩＞1 罐，所以奶油少了最多。

事實上，這樣的情形等於在解「比例的文字題」中，不知不覺使用了「加法策略」，

HPM 通訊第十卷第四期第九版

來繼續完成她自己所布下的計畫。也就是說，在將情境問題轉化成數學問題的過程中，原 本的問題可相當於「比較

12 11、

48 45、

80

75 的大小」來決定，但是，W 卻用不知不覺使用了

「11－12、45－48、75－80」來處理。

如果題目改為「分別比較 12 11、

48 45、

80

75 的大小」，我想Ｗ還不致於會使用加法策 略，⁸顯然W受題目的型態影響很大。

換句話說，同樣的數學概念，表達的方式是用一般的文字敘述或是直接用數學語言表 達，對大多數的學生是有差異的。⁹至於哪一種對學生有利，就看個人不同的喜好、習慣、

學習方式以及思考型態而不同。我們在教學上應要多傾聽學生的語言，¹⁰從而在教學活動 設計上作考量，以便能產生共鳴。

註解

註 1. 關於這些學習理論的中文名稱，並非原來的學者們所提出，而是引自台灣師大數學 系金鈐老師的心得。

註 2. 我總覺得自己的教學有些問題，但是又不知全盤去改善，愈來愈心虛，所以，也就 只能虛心去面對問題，一點點的改善。但是，改善的速度似乎跟不上學期的腳步……，

日子也就這樣一天一天地過了……。

註 3. 91 年 2 月間，我曾經整理了這幾年來(85.08~91.02)自己對於「三角形的重心」這個單 元的教學過程以及轉變，做了一番大綱式的記錄，得到下列的心得：1.數學教師可從平 日的備課著手，來提高教室內的教學活動之品質。2.數學教師可從學生的學習問題著手，

來進行教學活動的設計。(該篇心得可於

http://home.kimo.com.tw/t266.tw/teach/centerofgravity.zip 下載。)

教材內容

備課

學習者的需求（學習問題）

教室內的教學活動

教學活動獲得成長

註 4. 這個學生(W)是台北市某私立中學國中部的女生，家境良好。我從她國二下學期最後 一個月，開始擔任她的數學家教老師直到國三基測結束 (90.06~91.06)，她對於學校的數 學 (所指的是 83 年版的課程標準下的教材) 一向都能勝任。

註 5. 在台灣對於數學學習，普遍存在的心態是，能通過考試用的數學，遠比學校的數學、

日常生活的數學重要。於是，大家努力於考試的問題，爾後大家都不想再碰數學。

註 6. W 的父親是台南某一所明星高中畢業，之後念醫學院，現職是一位醫生。以他的背景，

在聽完了這段陳述之後，突然說：「這樣想，也對！」至於當時的我，一下子也只能以

HPM 通訊第十卷第四期第一○版

正確的答案 (以考試的角度，即乘上 4

30倍) 來回答他們。顯然這樣的回答並未真正回答 我們心中的疑惑。從這個窘況，讓我深刻感受到「懂 數學＋懂 教育 ≠ 懂 數學教育」

註 7. 這個名詞引用自金鈐老師的課堂。Naïve，形容詞，天真的。

註 8. 例如 用「11－12、45－48、75－80」 或是 12 11＝

48 47 ＞

48 45＝

80 77 ＞

80 75

來決定 12 11、

48 45、

80

75 的大小。

註 9. 再舉一例，有興趣的讀者不妨找學生試試。

92 年第二次基測第 8 題(92-2-8)

若 45 可分解為 a×b，其中 a、b 均為正整數，則下列哪一個不可能是

(文字敘述方式)

將 45 分解成兩正整數的乘積，下列哪一個不可能是這兩個正整數的和？

(A) 46 (B) 42 (C) 18 (D) 14 。

註 10. 透過學生的語言，可以了解學生對所學內容理解的程度，也可以了解學生某些先備 知識、自發性的概念、另類想法、某些初階的直觀……等等。

後記 (洪萬生老師的來信 96.04.13)

洪老師說：圖二中的『方法2』打了一個星號，請問特殊意涵何在？值得說明。

明德回答：的確有個我自己的想法，在圖一中『方法2』是由理論 A 研發出來的；在圖二 中『方法2*』是綜合了理論 A 與理論 B 而開發的。為了突顯且簡潔地交待圖一中的方法 2 與圖二中的方法2*的相同與相異之處，所以在圖二中的『方法 2』打了一個星號，這種用 法就好像類似數學中的A，

A

問題二、

洪老師說：註9 問題似乎比較簡單，類比性不夠強，你可有其他例子？

明德回答：因該文的初稿是92 年(2003 年)8 月寫的，故註 9 再舉一例，採用了當時最新的 基測考題，主要只是想在註9 中補充說明像類似的情況，幾乎每年基測都會出現，但忽略 了類比性夠不夠強的問題。不過，經老師的提醒，感覺到真是如此。雖然每年應該都會有，

但是我一下子又難以決定哪一例子的類比性比較強，是故，請老師等我一段日子，或許我 將基測中有這類情形的題目作個整理，到時再決定哪一個例子比較適合用來作為這類例子 的"張本例"(generic examples)。(明德敬上 96.04.17)

HPM 通訊第十卷第四期第一一版

96 年度大學學測數學考科題解討論

北市建國中學 郭慶章老師 九十六學年度大學入學學科能力測驗考後，有關數學考科，一般認為今年的試題中間 偏難，這兩天陸續看到「三民版」的〈試題詳解與分析〉與「翰林版」的〈試題評析．試 題解析〉兩篇專文，二位作者北一女中蘇俊鴻老師與蘭陽女中陳敏晧老師都是教學經驗豐 富的數學名師，又用心於教學研究，敘事論理自有獨到處。俊鴻說：「若與去年相較，今 年的試題較為靈活，難度略有上升。」完全符合當時在考場同學考完後的即時反應。敏晧 也說：「此次試題其鑑別度是很高的，相信對平均分數而言會比去年約降十分左右。」證 之以學測後所發布的成績，果然。

敏晧認為：包括選填I 在內等 8 題，「這些計算題是稍具難度的題目，對於計算能力(較 弱)的考生相當不利」。俊鴻認為：96 年度大學學測數學考科「整份試題的難易順序配置也 有用心考量」，其說不知是否有最後一題最難之意？不過在閱讀他們的試題評析後，題解 部分，我倒是都從最後一題看起。最後一題就是選填題I，完全答對得 5 分，題目是：

「在△ABC 中，M 為BC邊之中點，若 AB = 3，AC= 5，且∠BAC = ， 則tan∠BAM =

° 120

。（化成最簡根式）」

這些年來的學測考題，誠如敏晧所說：「基本概念從始至終都是學測的基本精神」，俊 鴻也認為：今年的數學科整份試題維持了學科能力測驗一貫的標準，又說：「事實上，考 生靜下心來稍加思考，會發現只要運用基本概念便能解決。」這一題目相當平實，是常見 的題型，高中同學應不陌生。究竟那些基本概念可以用來處理此一問題？筆者略有心得，

願敘述於下，就教各位同學。

[解法 1]：

(1)先利用餘弦定理求BC邊長：

BC2= 3² + 5²－2．3．5．cos120∘= 49

⇒ BC =7

(2)利用中線定理求中線AM 之長：

) (

2 ^{2 2}

2

2 AC AM BM

AB + = +

即：3² + 5² = ) ] 2 (7 [

2 AM² + ² ⇒

2

= 19 AM

M A

B C

(3)參看△ABM，再利用餘弦定理：

cos∠BAM =

AM AB

BM AM

AB

⋅

⋅

− +

2

2 2

2

=

2 3 19 2

4 49 4 9 19

⋅

⋅

− +

=2 19 1

⇒ tan∠BAM = (2 19)² −1=5 3。

HPM 通訊第十卷第四期第一二版

俊鴻與敏晧都是這麼做的，考量學生的思維方式，這可能是最直觀的解法。然則，求 中線AM 之長可不必先求BC邊長，有AM 之長後要求∠BAM 之度量，在餘弦定理外，亦 可利用正弦定理。

D M A

B C

[解法 2]：

(1)先作輔助線，如右上圖，將 AM 延長 至D，使 DM = AM ；或如右下圖，

取線段AB 之中點 N。

(2)參看△ABD，利用餘弦定理：

ABD BD

BA BD

BA

AD² = ² + ² −2⋅ ⋅ ⋅cos∠

= 3² + 5²－2．3．5．cos60° = 19 ⇒ AD= 19 或參考△AMN，利用餘弦定理：

ANM NM

NA NM

NA

AM² = ²+ ² −2⋅ ⋅ ⋅cos∠ = + − ⋅ ⋅ ⋅cos60°

2 5 2 2 3 2) (5 2)

(3 ^{2 2} =

4 19

⇒ 2

= 19 AM

N

M A

B C

(3)利用正弦定理：

參看△ABD，

BAD BD ABD

AD

= ∠

∠ sin

sin ^， = ∠BAM

° sin 5 60

sin 19

sin∠BAM =

⇒ 2 19

3

5 ⇒ tan∠BAM =5 3。

或參看△AMN，

NAM NM ANM

AM

= ∠

∠ sin

sin ^， = ∠BAM

° sin 2 5 60

sin 2 19

⇒ sin∠BAM = 19 2

3

5 ⇒ tan∠BAM =5 3。

其實，求解∠BAM之度量，可以不必先求得AM 之長。假設∠BAM =θ，則

∠CAM =120°−θ，它們各別的相應邊AB、AC 之長皆為已知，二角與其二對邊四個數中 只有θ一個未知數，若作輔助線把 θ 與120°−θ 二角「放」在同一個三角形中，則利用 正弦定理易求θ之值。

HPM 通訊第十卷第四期第一三版

[解法 3]：

θ

θ P

M A

B C

(1)先作輔助線，取AC邊之中點P，

連結MP ，如右圖。

(2)∵ M、P 各為BC、AC邊中點，

∴ MP 平行 AB ，∠AMP =∠BAM，MP AB 2

=1 ，AP AC 2

= 1 。 (3)參看△AMP，由正弦定理可知

) 120 sin(

sinAPθ = MP°−θ

⇒ sin(120 ) 2 3 sin

2 5

θ

θ = °− ⇒

5 3 sin

) 120

sin( °− = θ

θ

⇒ 5

3 sin

sin 120 cos cos

120

sin ° − ° = θ

θ

θ ⇒

5 3 2 cot 1 2

3 θ + = ⇒

10 cot 1 2

3 θ =

⇒ tanθ=5 3。

事實上，已知AB、AC二邊與其夾角∠ABC，又 AM 為中線，則△ABM 與△ACM「地 位」相同，[解法 3]可取AC邊之中點P，藉由△AMP 求θ；也可以取AB邊之中點N，如[解 法2]下圖，藉由△AMN 求θ。此一解法之難點，在輔助線之構圖可能沒有想到。不作輔 助線，代之以觀察「地位」相同的△ABM 與△ACM，兩次使用正弦定理，亦是解題可行 之路。

[解法 4]：

α θ

M A

B C

設∠BAM =θ，∠AMB =α，根據正弦定理，

△ABM 中，

θ α sin sin

AB = BM

△ACM 中，

) 120 sin(

) 180

sin( α = °−θ

−

°

CM AC

∵ BM =CM ，sin(180∘－α) = sinα，∴ 上二式相除可得：

θ θ sin

) 120 sin(

5

3 °−

= 3sinθ= 5(sin120∘cosθ－cos120∘sinθ)

3sinθ=

⇒

⇒ θ sinθ

2 cos 5 2

3

5 + ⇒

2

1sinθ= cosθ 2

3

5 ⇒ tanθ=

θ θ cos

sin = 5 3

使用解析方法，定坐標求解，是常用的解題策略。俊鴻的〈詳解〉中也寫出了這種做 法，他認為「可以坐標化來處理，而且比較符合學測的目標」。

HPM 通訊第十卷第四期第一四版

H

M

A B

[解法 5]： C

右圖中，將A、B、C 各點坐標化，

設 A ( 0 , 0 )、B ( 3 , 0 )，

∵AC= 5，∠HAC =60°，∴ C ) 2

3 ,5 2 (−5

⇒ BC邊中點M 之坐標為 ) 4

3 ,5 4

(1 ，

又 tan∠BAM 即直線 AM 的斜率，⇒ tan∠BAM =5 3。

同樣是定坐標求解，從幾何方法出發是最常採用的方式，不過，有些問題以三角觀點 切入，也有其方便性。以本題言，只要想到廣義角三角函數的定義，從廣義角圓函數的角 度來看問題，解題尤其便利。

m

θ M

C

A

B [解法6]：

若A(0,0)，B(3,0)，∠BAM =θ，AM = r，

則 M( r cosθ, r sinθ)，C( 5 cos120∘, 5 sin120∘)，

∵ M為BC 邊之中點，∴ 2r sinθ= 5 sin120∘= 2

3 5

2r cosθ= 5 cos120∘+ 3 = 2

− + 3 =5 2

1 ⇒ tanθ= θ θ cos

sin = 5 3

M

A B

C

[解法 6] 與 [解法 5] 二者看似並無差異，實則想法有點不同。 [解法 5] 主要架構在直角 坐標之上，[解法 6] 定坐標時同時考量角度與距離，約略有極坐標的味道。複數及其極式 是直角坐標接軌極坐標的一種方式，本題適當地規範在複數平面上，可以藉由複數極式乘 法的幾何性質輕鬆解題，也是好招。

[解法7]：

設A(0)，M(m)，∠BAM =θ，則 B： 3 (cosθ isinθ)

m − ，

C： 5 (cos(120°−θ)+isin(120°−θ))

m ^，

∵ M為BC 中點，∴

m

3 sinθ= 5 sin(120°−θ) m

3sinθ= 5sin120∘cosθ－5cos120∘sinθ 3sinθ=

⇒

⇒ 2

3

5 cosθ+ 2

5sinθ ⇒ 2

1sinθ= 2

3

5 cosθ ⇒ tanθ= θ θ cos

sin =5 3

HPM 通訊第十卷第四期第一五版

幾何、三角、解析方法都是高中數學的重要內容，複數及其極式之外，向量也是高中 數學課綱中的重點題材，向量方法亦是求解此題的有力工具。

[解法 8]：

設AM = m，∠BAM =θ，∵ 1 1 2 2 AM = AB+ AC JJJJK JJJK JJJK

，JJJK JJJKAB AC⋅

= 3．5．cos120∘=

2

−15，

∴ 2JJJJKAM ．2 =( ) JJJJKAM

AB AC+ JJJK JJJK

．(JJJK JJJKAB AC+ )

= 9 + 25－15 = 19 ⇒

2

= 19 AM 由△AMB，可知JJJKAB． = 3．

JJJJKAM

2

19 ．cosθ = JJJKAB

．(1 1 2JJJKAB+2JJJKAC

)

⇒ 2 19

3 cosθ=

4 15 29 − =

4

3 ⇒ cosθ=

19 2

1 ⇒ tanθ=5 3。

此一解法也可不先求JJJJKAM 之長，而直接尋找tanθ，如下：

∵ 1 1 2 2 AM = AB+ AC JJJJK JJJK JJJK

，JJJK JJJKAB AC⋅ = 3．5．cos120∘=

2

−15，

則 JJJJKAM ． = 3mcosθ=

JJJKAB

2

1(JJJKAB． JJJKAB

) +2 1( ACJJJK

．JJJKAB

) = 4 15 29 − =

4 3

JJJJKAM ． = 5mcos(120∘－θ) = JJJKAC

2 1(JJJKAB

．JJJKAC ) +2

1( ACJJJK

．JJJKAC

) = 2 25 15 +4

− =

4 35 4 mcosθ= 1，4 mcos(120∘－θ) = 7

⇒

⇒ θ

θ cos

) 120 cos( °−

= 7 ⇒

θ

θ θ

cos

sin 120 sin cos 120

cos ° + °

= 7 ⇒ tan 7 2

3 2

1+ =

− θ

tanθ=

⇒ 5 3

本題解法眾多，除卻餘弦定理，還有許多切入點。當然餘弦定理可能是多數考生最先 想到的策略。

HPM 通訊第十卷第四期第一六版

在遊戲中發現數學！

台師大數學系 洪萬生教授 按：本文是為依凡‧莫斯塞維奇 (Ivan Moscovich) 的《耍心機，玩數學》（台北：究

竟出版社，2007，ISBN 978-896-137-076-7）而寫的推薦序。

兒童玩具或益智遊戲的設計如何引發好奇心與創意思考？我想這是國內目前正流行 的、有關童玩的教學與研究的最大挑戰之一。這是因為『如何設計』都離不開數理素養的 緣故。

本書作者伊凡‧莫斯科維奇被譽為玩具工業領域最有創意的發明家之一，曾經獲獎無 數。誠然，我們細讀本書，的確可以發現他的現身說法，「充分展現他創作遊戲時的堅持 － 不只益智，還能激發好奇心與創意思考」。不過，本書作者要是缺乏一點高等數學的素養 或好奇，那麼，本書有一些相當深刻的佈題，就很難理解了。

基於此一特色，中小學教師或家長在推薦本書給學童時，不妨多作一點數學的引導，

如此一來，他（她）們在遊戲之餘，一定更有感覺。而這，尤其需要教師或家長的積極參 與，無論是師生或親子活動，這些遊戲都是難得一見的題材。當然，如果教師或家長並不 瞭解相關的數學門道，也不妨放下身段，遊戲就是遊戲嘛，只要好玩就行了。

有關本書涉及數學知識內容，尤其是尺規（或幾何）作圖部份，我們有必要提供一點 修訂意見。本書介紹尺規作圖時，也提及高斯 (1777-1855) 年方十九歲所締造的不朽貢 獻，那就是：他先是證明正17 邊形可以尺規作圖，再進一步證明了正 n 邊形可以尺規作 圖的充要條件。按照這一定裡，到正17 邊形為止，凡是 n 為 3、4、5、8、10、12、15、

16 等邊的正 n 邊形，我們都可以運用尺規作圖的方式，將它們畫出來，至於正 7、9、11、

13、14 邊形，則無法按此方式畫出。本書作者誤認正 9 邊形可以尺規作圖，請讀者務必更 正。另一方面，他也誤認正7 邊形可以尺規作圖。

針對正7 邊形的作圖，我特別邀請本系所研究生李建勳幫忙澄清，他發現當圖形比例 不大時，本書有關正7 邊形之尺規作圖很難看到誤差。一旦圖形比例放大，那麼，誤差立 即變得相當明顯（亦即：圓規在圓周畫的第七段弧，不會剛好通過第一段弧的起點）。此 外，他還利用簡單的三角學計算，反證了此一尺規作圖的可能性。

由此可知，設計遊戲時還想談一點相關的數學知識，的確非常吃力不討好。儘管如此，

本書作者的「膽識」還是值得肯定。其實，他設計與圖形理論有關的遊戲中，就確實掌握 了模式 (pattern) 的基本精神，可見他曾經對數學下過一些基本功夫。

總之，數學遊戲（與謎題）一直有非常迷人的一面，縱使外行人不易洞察內行人的門 道，但是，正因為單純地覺得有趣而投入，有時反而可以獲得更多的解題樂趣。因此，我 們非常期待讀者喜歡本書所提供的遊戲與謎題。當然，解題之後的反思，也非常值得鼓勵。