奇妙的平方數與四季數
梁培基
一、 引言
著名的美國數學家李學數教授在 《數學與數學家的故事》 一書中[1], 講述了古今中外很多 優美有趣的數學故事, 為枯燥乏味的數字家族增添了絢麗燦爛的色彩。 用飽蘸深情的妙筆, 綻開 優美的數學之花。 用古今數學名人的實例啟迪後人, 熱愛數學, 研究數學。 李學數教授數學功底 深厚, 才華橫溢, 涉獵面廣, 中西貫通, 所講故事深入淺出, 情趣盎然。 這套叢書發人深省, 啟始 肇端。 學生愛好, 成人喜歡。 用現代的詞語可說是充滿了 「正能量」 不可多得、 必不可少的好書!
二、 有趣的平方數
在 《數學與數學家的故事》 第 5 冊的第 14 頁至 16 頁 「奇妙的平方數」 一文中, 介紹了 兩個有趣的平方數問題。
問題(1): 1233 = 122+ 332 8833 = 882+ 332
問題 (2): 9562 = 913 936 913 + 936 = 1849 = (43)2 9572 = 915 849 915 + 849 = 1764 = (42)2
... ...
可以一直續算到 968,
9682 = 937 024 937 + 024 = 961 = (31)2
從 956, 957, . . ., 968 共有 13 組連續數的解。 這是不是很奇妙?
以上結果是一個印度年輕人發現的, 你能找到類似的例子嗎?
對於上述兩個問題, 筆者得到如下結果:
對於問題 (1), 不妨設 H = A2+ B2 的和, 設兩個不相同的 A 分別為 A1 與 A2, 由於 兩組的 B 相同, 統稱為 B。 B 的位數為 K。
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由表 1 可知: A2 = 10K− A1。 也就是說, 知道一個 A1, 就可以計算出 A2, 從而得到兩 組平方數, 一根藤上兩個瓜。
我們約定: 由
A12+ B2 = H1 組成的平方數組, 稱為 「本原解數組」 簡稱 「本原解」, A22+ B2 = H2 組成的平方數組, 稱為 「對偶解數組」 簡稱 「對偶解」。
平方數組的這一性質與卡布列克 (KABULEK) 數組的對偶解相同, 可說有 「同工異曲之 妙」[2]。
問題(1) 得到的結果見表 1:
表 1
H = A2+ B2 A B 為 2 位數 表 1 1233 (H1) 12 (A1) 33 本原解
8833 (H2) 88 (A2) 33 對偶解的 B 相同 B 為 3 位數
10100 10 (A1) 100 同 B 者為對偶解 990100 990 (A2) 100 以下不再注明
B 為 4 位數 588,2353 588 2353 9412,2353 9412 2353
B 為 5 位數 990,09901 990 09901 99010,09901 99010 09901 17650,38125 17650 38125 82350,38125 82350 38125 25840,43776 25840 43776 74160,43776 74160 43776
B 為 6 位數 116788,321168 116788 321168 883212,321168 883212 321168 123288,328768 123288 328768 876712,328768 876712 328768
對於問題 (2), 分別設 X、A、B 為互不相同的自然數, Q 為 (A + B) 之和的平方根, 他 們之間的關係如表 2 所示。
奇妙的特性:
(1) X 為連續數公差為 1 遞增, 上升。
(2) A 是 X2 的前 (左) 半部分, B 是 X2 的後 (右) 半部分。 A 的元素全部是奇數, 且公差為 2 遞增。
(3) A + B 之和全是平方數。
(4) Q 為連續數公差為 1 依次遞減, 下降。
(5) Q + X 之和全部為 “9”, 其“9” 的位數與 X 的位數相同, 「粧 9(久)」。
當 X 為 9 位數時, 可以得到 13099 組連續解。 能否得到更多的連續解呢? 回答是肯定 的, 只要你有時間。 當然, 你可以命令電腦輕鬆完成!
結果見表 2.
表 2 X 為 2 位數
X X2 A B A+ B Q X+ Q
86 7396 73 96 169 13 99
87 7569 75 69 144 12 99
... ... ... ... ... ...
90 8100 81 00 81 9 5 組連續解
X 為 3 位數
956 913936 913 936 1849 43 999
957 915849 915 849 1764 42 999
... ... ... ... ... ...
968 937024 937 024 961 31 13 組連續解
X 為 4 位數
9859 97199881 9719 9881 19600 140 9999 9860 97219600 9721 9600 19321 139 9999
... ... ... ... ... ...
9900 98010000 9801 0000 9801 99 42 組連續解 X 為 5 位數
99553 9910799809 99107 99809 198916 446 99999 99554 9910998916 99109 98916 198025 445 99999
... ... ... ... ... ...
99683 9936700489 99367 00489 99856 316 131 組連續解
X 為 6 位數
998586 997173,999396 997173 999396 1996569 1413 999999 998587 997175,996569 997175 996569 1993744 1412 999999
... ... ... ... ... ...
999000 998001,000000 998001 000000 998001 999 415 組連續解 X 為 7 位數
9995528 9991057,9998784 9991057 9998784 19989841 4471 9999999 9995529 9991059,9989841 9991059 9989841 19980900 4470 9999999
... ... ... ... ... ...
9996837 9993675,0004569 9993675 0004569 9998244 3162 1310 組連續解 X 為 8 位數
99985858 99971717,99996164 99971717 99996164 199967881 14141 99999999 99985859 99971719,99967881 99971719 99967881 199,939,600 14140 99999999
... ... ... ... ... ...
99990000 99980001,00000000 99980001 00000000 99980001 9999 4143 組連續解 X 為 9 位數
999955279 999910559,999967841 999910559 999967841 1999878400 44720 999999999 999955280 999910561,999878400 999910561 999878400 1999788,961 44719 999999999
... ... ... ... ... ...
999968377 999936755,000014129 999936755 000014129 999950884 31,622 13099 組連續解
三、 奇妙的四季數
四季數的發現
蘇東坡曰:「舊書不厭百回讀, 熟讀深思子自知。」
在探討平方數的時候, 幻方的影子時常在腦子裡遊蕩, 每當遇到難題或有空隙時間, 總喜 歡查看河圖、 洛書, 在河圖與洛書的構造上來尋找答案, 這是多年之 「癖」。 也許是老祖宗偏袒的 緣故, 只要專心看幾次, 一般會有收穫。 看 「洛書」(圖 1) 已不知多少次了 !
突然間, 看到四角全部是偶數的洛書圖, 突發靈感, 發現:
21 = 2, 22 = 4, 23 = 8, 24 = 16 (把洛書中的 1 與 6, 看作 16) 216= 48 = 164, . . .,
於是, 產生了 「冪次和」 傳遞循環的思想: 設 A, B, C, D 為互不相同的正整數。 若 AB = BC = CD = DA(ABCD) (1) 則稱 AB 或 BC 或 CD 或 DA(ABCD) 為 「四季數」。
「四季數」 的最小解是 65536。
當 A = 2, B = 16, C = 4, D = 8 時 (1) 式成立。
即: 216 = 164 = 48 = 82× (2 × 16 × 4 × 8) = 65536
在上式中, 把 A、B、C、D 四個數巧妙的傳遞並連接起來, 每個數都使用三次, 不偏不倚, 奇妙無比。
「四季數」 的命名是根據 《莊子》「知北遊」:「天地有大美而不言, 四時有明法而不議, . . . .,
」 衍生而來。 四季循環, 生生不息。 並且洛書的發源地 — 黃河流域, 是四季最明顯的地區。
「四季數」 是從我國的三階幻方 (圖 1) 裡得到的。 三階幻方不僅僅是行、 列及對角線上 3 個數之和等於 15, 還有很多鮮為人知神奇奧妙的性質, 待另敘。
古人把構造三階幻方的方法概括為 「戴九履一, 左三右七, 二四為肩, 六八為足, 五居其 中。」
為什麼稱 「二四為肩, 六八為足」 呢? 這是一般人認為特別膚淺與可笑的問題。 也難怪呀, 老子曰: 「上士聞道, 勤而行之; 中士聞道, 若存若亡; 下士聞道大笑, 不笑, 不足以為道。」 一個 新思想、 新事物的出現總會有人懷疑或恥笑, 以不屑的眼光看待之。
為什麼 「二四為肩」 呢? 筆者認為: 所謂 「肩」, 就是要兩肩平衡、 平等, 故而產生了 「比 肩」 一詞。 那麼, 它與本文的數字有什麼關係呢? 君請看:
24 = 42.
這是唯一一對, 底數與指數可以互換, 且其冪和相等的兩個數。 經過左肩與右肩的相互作 用, 24 與 42 可以劃等號, 就能理解 「二四為肩」 的意義了。
為什麼 「六八為足」 呢?
這要從 「九」 談起, 古人視 「九」 為最大、 最神聖的數字, 故洛書有 「戴九履一」, 「九」 居其 上。 下面的六、 一、 八之意義在於:
93 = 83+ 13+ 63.
也就是說, 93 囊括了 63+ 13+ 83 的總和, 故 9 在上, 為首。 8、 1、 6 在下而為足。 並且 92 = 81, 9、 2 在上, 81 在下。 還有更加神奇的奧秘將在另篇敘述。
那麼, 它與 65536 有什麼聯繫呢?
四季數的淵源
近幾百年來, 由於 「哥德巴赫猜想」 的影響力, 數學界對素數倍感興趣, 忽略了對偶數的探 討。 筆者發現洛書的四隅角是四個偶數, 分別為 2, 4, 8, 16 (這裡同樣把 1 與 6 看作 16)。
我們對洛書 (圖 1) 的偶數, 從上角向下垂直方向進行組合分析:
4 9 2 3 5 7 8 1 6
圖 1 把右上角的 2 與右下角的 16 組合得: 216= 65536.
把左上角的 4 與左下角的 8 組合得: 48 = 65536.
再對洛書四角偶數進行交叉組合:
把右下角的 16 與左上角的 4 組合得 164 = 65536.
把左下角的 8 與右上角的 2 組合及四隅角的四個數之積, 得:
82× 2 × 4 × 8 × 16 = 65536.
整理上述幾個等式, 得:
216= 164 = 48 = 82× (2 × 4 × 8 × 16) = 65536.
於是, 就誕生了這個 「四季數」。
有趣的是, 在上述式子中, 這四個偶數既可作底數, 又可作指數, 又可作因數, 互相循環。
可說是 「能上 (作指數)、 能下 (作底數)、 能居中 (作因數)」, 一個小小四季數竟然領悟了 「中 庸」 之道: 上中下皆可適應, 左中右無所不能。 一個奇妙的 「數字團體」, 竟然領略了人類的屬 性: 能大、 能小、 能曲、 能伸。
可首尾易換 (百姓與總統平等, 萬眾歡呼稱讚), 能前後兼顧 (富裕周濟貧窮, 令貪官污吏汗顏)。
妙哉! 並且每個偶數都恰恰出現三次, 不多不少, 絕對平均。 從而, 完成了鮮為人知的歷史 使命 — 誕生了 「這個奇妙的四季數」。
從洛書裡找到了這個 「四季數」 的答案, 並不是歪打正著, 這個事例再次說明, 起源於中國 古代的 「河圖、 洛書」 蘊藏了無窮無盡的珍寶, 等待著眼光窅茫之人的擷取與開發。 目前從河圖、
洛書中所汲取的成果比比皆是, 但不足其蘊藏量之萬一也!
「莫怪棗不甜, 只因時未到。」 到那橙黃橘綠山花爛漫時, 河圖、 洛書必將綻放出更加奇異的 絢麗光彩, 登上數學宮殿的大雅之堂而為世人所景仰!
另外, 《道德經》 的 「精髓」 名言與四季數中的 A, B, C, D 之傳遞關係:
道德經云: 人法地, 地法天, 天法道, 道法自然。
又: 道生一, 一生二, 二生三, 三生萬。 都是四傳遞關係。
「四季數」 中的 A, B, C, D 也是四傳遞關係: AB = BC = CD = DA(ABCD).
是偶然的巧合呢? 還是另有玄機?
問題: 1、 是否存在由 「奇數」 構成的這類數呢?
2、 是否存在 n > 4 元素的這類數呢?
從三階幻方裡發現了這個神奇的 「四季」 數, 使我國古老的洛書大放異彩。
可說是: 中國洛書, 源遠流長, 偶數集合, 再放光芒!
四、 不是結語
最近發現, 四季數與費馬素數有蛛絲馬跡:
形如: Fn = 22n+ 1 得到的素數稱為費馬素數, 目前得到的費馬素數只有 5 個:
F0= 21+ 1 = 3 F1= 22+ 1 = 5 F2= 24+ 1 = 17 F3= 28+ 1 = 257 F4= 216+ 1 = 65537
65537 是目前所知的最大費馬素數, 亦即四季數 65536 + 1 是目前最大的費馬素數。 而 65536 是最小的四季數, 至今尚未發現第二個四季數, 是偶然巧合? 還是有必然聯繫呢?
希望把這個資訊傳播出去, 以便儘快解決費馬素數難題與四季數問題。
數學傳播, 傳播數學, 人人熱愛數學, 個個爭相傳播!
參考文獻
1. 李學數。 數學與數學家的故事。 第5 冊, 上海科學技術出版社, 14-16, 2015。
2. 梁培基等。 KABULEK 數組探微。 甘肅高師學報, (2), 7-8, 2004。
3. 吳振奎等。 名人趣題妙解。 天津教育出版社, 427-430, 2001。
—本文作者任職中國河南省封丘縣科協—
