勾股定理證明-Bog013
【作輔助圖】
1. 直角三角形ABC 中，在 AB 上任取一點 D ，並且從 D 作 AC 的平行線，與 BC 相 交於 E 。
2. 再過 E 作BD 的垂直線，與 AB 相交於 F 。
A - .
B C
D
E
F
【求證過程】
不難發現這些直角三角形均為相似形，就可以利用相似形的邊長成比例性質，推 導出畢氏定理關係式。
1. 我們可以發現ABC DEB，以下給出證明：
因為
( , ),
CAB EDB DE AC
// 同位角相等 以及
( , ),
ACB DEB DE AC
// 同位角相等 所以
ABC DEB
(AA 相似).
2. 也可以看出 DEF BDE，同樣地給出證明：
因為
90 ,
EFD BED
以及
( ), EDF BDE
共角
所以
DEF BDE
(AA 相似).
同理我們可以證明EBF BDE.也因此現在我們有 . ABC DEB EFD BFE
3. 接著利用相似形的性質, 推導邊長比例可以得到一個關係式如下：
由
( )
FB BE
ABC BFE BC AB 且
( ),
DF DE
ABC EFD AC AB
整理可得
(1) (2), AB FB BC BE
AB FD AC DE
然後將(1)式+(2)式可得
( )
, AB FB FD BC BE AC DE
AB DB BC BE AC DE
也就是若兩個直角三角形為相似形，對應的斜邊乘積會等於對應的邊長乘積和。
我們可以將它寫成：
+
c c a a b b (其中 , ,a b c 及 , ,a b c 分別表示相似三角形的邊長).
4. 最後若考慮ABC ABC也就是取aa b, b c, c,而上述關係式也就可以變成
2 2 2
, c a b 即為畢氏定理關係式。
【註與心得】
1. 來源：此證明來自網站(Cut the Knot)中 Pythagorean Theorem Proof #13.
2. 心得：這個證明可以說是更一般化的畢氏定理，可以使用在兩個相似的直角三角 形中。至於一個直角三角形的畢氏定理我們可以利用「極限」的概念或是
「兩個全等的三角形」的概念來詮釋，而在教學上就可以利用這個機會讓 學生思考這些想法。
3. 評量：
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4. 補充：在數學能力指標中，有這麼一項：
S-4-15：能理解三角形和多邊形的相似性質，並應用於解題和推理。
此證明正是利用三角形的相似來推理出畢氏定理關係式。
