(18) 三角函數的加減公式

(18) 三角函數的加減公式

和角公式

我們要證明sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ

上圖中， ^AB ⊥ ^OB ， ^DF ⊥ ^OF ， ^AD ⊥ ^DC ， ^AE ⊥

ED

證明：sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ 過程：

∵∠ACD＝∠OCB ^{¿90 °−α} (對頂角)

△ ACD中， ∠C A D+∠ ACD=90°

∴∠C A D=90°−(90°−α)=α

∴∠EAD＝ ^{∠C A D}

∴∠EAD＝α

(¿α+ β)=AB

OB=AE+EB OA =AE

OA+EB OA

sin¿ …(1)

先考慮 _OA^AE

在△OAD 中， _OA^AD ＝sinβ 在△AED 中，∠EAD＝α

AE ＝ ^AD cosα

AE

OA ＝ _OA^AD cosα＝sinβcosα…(2)

再考慮 _OA^EB

在△ODF 中， ^DF ＝ ^OD sinα 在△OAD 中， ^OD_OA^{=cos β}

EB ＝ ^DF

EB OA=OD

OA sin α=cos β sin α …(3) 將(2)和(3)代入(1)中，可以得到

(¿α+ β)=AE OA+EB

OA=sin β cos α +cos β sin α sin¿

sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ

同樣方法也可以證明cos(α＋β)＝cosαcosβsinαsinβ 這個就留給同學做練習

我們可以將sin(αβ)看成 sin(α＋(β))

然後代入前面的公式，得到sin(αβ)＝sinαcosβcosαsinβ

同理我們利用cos(α＋β)的公式，可以得到 cos(αβ)＝cosαcosβ＋

sinαsinβ

三角函數的加減公式如下

1. sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ 2. sin(αβ)＝sinαcosβcosαsinβ 3. cos(α＋β)＝cosαcosβsinαsinβ 4. cos(αβ)＝cosαcosβ＋sinαsinβ 5. ^{(¿α+ β)=}

tan α+tan β 1−tan α tan β

tan¿ (於例題 9 證明)

6. ^(¿α−β)=

tan α−tan β 1+tan α tan β tan¿

7. ^{(¿α+ β)=}

cot α cot β −1 cot β +cot α cot¿

8. ^(¿α−β)=

cot α cot β+1 cot β−cot α cot¿

例1. 求 sin15°和 cos15°

過程：

sin 15 ° (¿45 °−30 °)

¿sin¿ ^¿sin 4 5 ° cos 3 0 °−cos 4 5 ° sin3 0 °

¿ 1

√

√

2 − 1

√

1

2 ¿

√

2

√

1 2

√

√

√

4

cos 1 5° (¿45 °−30 °)

¿cos¿ ^¿cos 4 5° cos 3 0 °+sin 4 5° sin 3 0 °

¿ 1

√

√

2 + 1

√

1

2 ¿

√

2

√

1 2

√

√

√

4

例2. 證明 sin(90°α)＝cosα 過程：

sin(90°α)

＝sin90°cosαcos90°sinα

＝1×cosα0×sinα

＝cosα Q.E.D.

例3. 證明 sin(α＋β) sin(αβ)＝sin²αsin²β 過程：

sin(α＋β) sin(αβ)

＝(sinαcosβ＋cosαsinβ)(sinαcosβcosαsinβ)

＝sin²αcos²βcos²αsin²β

＝sin²α(1sin²β)sin²α)sin²β

＝sin²αsin²β

例4. 證明 cos(α＋β) cos(αβ)＝cos²αsin²β 過程：

cos(α＋β) cos(αβ)

＝(cosαcosβsinαsinβ)(cosαcosβ＋sinαsinβ)

＝cos²αcos²βsin²αsin²β

＝cos²α(1sin²β)cos²α)sin²β

＝cos²αsin²β

例5. 利用和角公式證明 sin2α＝2sinαcosα 過程：

sin2α

＝sin(α＋α)

＝sinαcosα＋cosαsinα

＝2 sinαcosα

例6. 利用和角公式證明 cos2α＝cos²αsin²α 過程：

cos2α

＝cos(α＋α)

＝cosαcosαsinαsinα

＝cos²αsin²α

例7. 已知 sinA＋cosA＝ ¹⁺

√

2 ，求sin2A 過程：

(sinA＋cosA)²＝

1+

√

2 ¿²=4 +2

√

4 =1+

√

2

¿ …(1)

(sinA＋cosA)²＝1+2sinAcosA…(2) 由(1)(2)可知

2sinAcosA＝

√

2

sin2A＝2sinAcosA＝

√

2

答：sin2A＝

√

2

例8. 已知 sinA＝ ¹₂ ，求sin2A 過程：

sinA＝ ¹₂

cosA＝

1 2¿² 1−¿¿

√

sin2A＝2sinAcosA＝ ^2×1₂^×

√

2 =

√

2

答：sin2A＝

√

2

例9. 證明 ^{(¿α+ β)=}

tan α+tan β 1−tan α tan β tan¿

過程：

(¿α+ β) tan¿

cos (¿α +β) sin(¿α+ β)

¿

¿ ¿

¿sin α cos β +cos α sin β cos α cos β−sin α sin β ¿

sin α cos β

cos α cos β+cos α sin β cos α cos β cos α cos β

cos α cos β− sin α sin β cos α cos β

¿ tan α+tan β 1−tan α tan β

Q.E.D.

例10. 證明 ^{(¿45 °+α)=}

1

√

過程：

(¿45 °+α)

sin¿ ^¿sin 4 5 ° cos α +cos 4 5° sin α ¿ 1

√

1

√

¿ 1

√

Q.E.D.

做例題11 前，我們先了解投影定理。

△ABC中，∠A、∠B、∠C 的對應邊分別為 a、b、c。

則

acosB＋bcosA＝c

asinBbsinA＝0

做 ^AB 邊上的高，且高與 ^AB 交點為D。

設 ^AD ＝c1、 ^BD ＝c2

c＝c

a sinBb sinA＝

例11. ABC△ 中，∠A、∠B、∠C 的對應邊分別為 a、b、c。證明對 任意角θ：

a cos(θB)＋b cos(θ＋A)＝c cosθ

a cos(θB)＋b cos(θ＋A)

＝a(cosθcosB＋sinθsinB)＋b(cosθcosAsinθsinA)

＝acosθcosB＋bcosθcosA＋asinθsinBbsinθsinA

＝cosθ(acosB＋bcosA) ＋sinθ(asinBbsinA)

＝cosθ×c＋sinθ×0 (利用投影定理)

＝c cosθ

我們也可以在三角形中證明，請看下圖：

上圖中，△ABC 中，∠A、∠B、∠C 的對應邊分別為 a、b、c。

CE ⊥ ^AD 、 ^BF ⊥ ^AD 、 ^BG // ^AD

設∠BAD＝θ、∠CAB＝α、∠CBA＝β

∠CAD＝α＋θ

△ABF中，c cosθ＝ ^AF …(1)

△ACE中，b cos(θ＋α)＝ ^AE …(2) 由外角定理：

∠BDA＋θ＝β

∠BDA＝βθ

∵ ^BG // ^AD

∴∠CBG ＝∠BDA＝βθ

△CGB中， ^GB ＝a cos( CBG)∠ ＝a cos(βθ) ＝a cos(θβ) 又 ^GB ＝ ^EF ，因此

a cos(θβ)＝

由圖可知， ^AF ＝ ^AE ＋ ^EF ，將(1)(2)(3)代入

c cosθ＝b cos(θ＋α)＋a cos(θβ)

只看△ABC 時，α＝∠A、β＝∠B 即

a cos(θB)＋b cos(θ＋A)＝c cosθ