勾股定理證明-G159

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勾股定理證明-G159

【作輔助圖】

1. 以BC 為邊長向外作正方形 CBDE ，以 AC 為邊長向內作正方形 ACFG .

2. 延長 BF 至 H 點使得 BH  AB，延長 BD 至 Q 點使得 BQ AB，作正方形 BHKQ . 3. 過 B 點作垂直 AB 的直線，分別交 CE , FG 於 P 點, M 點。

4. 在 KQ 取一點 L 點使得 KLPB，連 LH .

5. 過 K 點作垂直 LH 的直線，交 LH 於 O 點，連 KO . 6. 過 B 點作垂直 LH 的直線，交 LH 於 N 點，連 BN . 7. 過 F 點作垂直 BH 的直線，交 BN 於T 點，連 FT . 8. 直線 DE 與直線 BP 交於 R 點，連 RE , RP .

A B

H C

K D

E

G

F R

N M

P

Q L

T O

【求證過程】

分別以 BC , AC 為邊長向外作正方形 CBDE 與正方形 ACFG ，再作正方形

BHKQ ，證明正方形 BHKQ 所切割出的所有區塊面積總和等於正方形 CBDE 的面積加

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上正方形 ACFG 的面積，最後推出勾股定理的關係式。

1. 證明三角形 HKO 與三角形 ABC 全等：

設 CAB x^, CBA y^，且已知x^y^ 90^，則PBC90^ CBAx^, 90

CPB ^ PBC y^

     。因為 LK PB, HK  AB, LKH  PBA，所以 LKH PBA

   (SAS),

因為 HLK  APB y^, KHL BAPx^，所以 OKH  y^, LKO x^。因為 OHK CAB x^

    , OKH  y^  CBA, HK  AB，所以 HKO ABC

   (ASA).

2. 證明三角形 LKO 與三角形 PBC 全等：

因為 LKO  x^  PBC, OLK  y^  CPB, LK PB，所以 LKO PBC

   (ASA).

3. 證明三角形TBF 與三角形 MBF 全等：

因為 KHL x^，所以 NHB  y^, TBF x^。因為 TBF  x^  PBC MBF, 90

TBF ^ MBF

    , BF BF，所以 TBF MBF

   (ASA).

4. 證明三角形 RBD 與三角形 BHN 全等：

因為 BDBC, BDR90^  BCA, RBD ABC，所以 RBD ABC

   (ASA),

又因為 NBH  x^  CAB, NHB y^  CBA, BH  AB，所以 BHN ABC

   (ASA), 故

. RBD BHN

  

5. 證明四邊形 PEDB 面積與四邊形TNHF 面積相等：

因為 PRE x^  TBF, RE  b a BF , REP90^ BFT，所以 PRE TBF

   (ASA).

又因為 RBD  BHN，所以 RBD 面積 BHN面積，故

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PEDB BNH TBF RBD PRE

TNHF

   

 四邊形

四邊

面積面積面積

面積面積

形面積。

6. 證明四邊形 BNLQ 與四邊形 AGMB 全等：

在四邊形 BNLQ 與四邊形 AGMB 中，因為BNL90^  AGM, LQB90^  MBA, QBN y^ BAG

    , NLQ180^y^  GMB，所以

BNLQ AGMB

四邊形與四邊形的四個內角都對應相等。

又因為 BHN  ABC，所以 BN  AC AG, BQ AB，故 . BNLQ AGMB

四邊形四邊形

7. 最後利用面積關係推出勾股定理的關係式：

BHKQ TNHF HKO LKO

BNLQ TBF

PEDB ABC PBC

AGMB MBF

    

  

    

  

四邊形四邊形

正方形面積面積面積面積

面積面積

面積面積面積

四邊形四

邊形面

積面積

( PEDB PBC ) ( ABC

AGMB MBF CBDE ACFG

    

  

 

面積面積面積

四邊形四邊形

面積面積

正方形正方形

) 面積。

得到

2 2 2

, AB CB CA 即

2 2 2

. c a b

【註與心得】

1. 來源：根據魯米斯( E.S. Loomis ) 在他的著作《勾股定理》中說：這個證明是他想到的。

2. 心得：此證明的證法比較直觀，就是先將正方形 BHKQ 切割成若干個區塊，接下來 只要證明這些區塊的面積等於正方形 CBDE 的面積加上正方形 ACFG 的面

積，最後就能推導出勾股定理的關係式。

3. 評量：

(4)

國中高中教學欣賞美學

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4. 補充：在魯米斯書中所繪的圖形並沒有 PRE ，是為了方便證明四邊形 PEDB 面積 與四邊形TNHF 面積相等。先證明 RBD  BHN，再證明 PRE  TBF， 進而推導出四邊形 PEDB 面積與四邊形TNHF 面積相等。