國立臺中第一高級中學 101 學年度第 1 次教師甄選 數學科 試題卷
壹、填充題：10 題，每題 3 分，共 30 分。答案請化至最簡，否則不計分。
1. 計算 ∑
k =1 20
k4
之值。
2. 五組(X,Y)數據： (29,6) ,(39,41) ,(69,16),(109,36),(149,56) ，求 X 與 Y 的相關係數。
3. 若 a 為實係數方程式
x2−3 x +k =0的一個虛根，求 ∣a∣ 的最大下界。
4. 若 x
2−(k +3) x+(2 k −1)=0 的二根均為整數，求所有可能 k 值之和。
5. 若
x , y , z ∈ℝ，且
x + y +z=2，
x2−y z=4，求
x y+3 y z+z x 的最大值。6.
ΔA B C，
C=900，
AB邊上的三等分點
D, E，且 AD= DE= EB，
已知
CD=3 ， CE=4 ，求 AC 。7. △ABC，若
PA PB PCuuv uuv uuuv v ，且 PA=3, PB=4 , PC=5 ，求△ABC 的面積。 + + = 0
8. 有一房間共有 5 個門，甲乙丙丁 4 人，任二人由不同門進入，任二人由不同門出去，
且每人不可從自己進入的門出去，則四人各進出一次共有幾種方法？
9. 欲在 3 根相異的旗桿上，共掛上 5 面相異的旗子(需考慮旗子掛在旗桿的上下關係)，
問共有幾種掛法。
10. 在圓上任取 12 個點，兩兩相連所得的直線，最多將此圓內區域分割成為幾個區域。
貳、填充題：10 題，每題 5 分，共 50 分。答案請化至最簡，否則不計分。
11. 設數列
〈an〉滿足
a1=2且
an= 2 a
n−1+ 1
an−1
+2
, ∀ n≥2 ，求一般項 an(以n表之)。
12. 若
0< x<π2
，當 1
√
sin x + 2
√
cos x 有最小值時，求此時
log2(tan x)值。
13. 魯夫 航行於A、B、C、D、E五座島嶼之間。
每日清晨魯夫 隨機前往任一其他島嶼並留宿該島的機率均為0.25。
若第一天清晨魯夫 從A島出發， 設第
n 天晚上魯夫 留宿於A島的機率為 Pn。 求滿足 ∣Pn−15∣
≤10−9 之最小
n值。
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國立臺中第一高級中學 101 學年度第 1 次教師甄選 數學科 試題卷
14. 將 n 顆球，全部投入 5 個箱中，每球投入每箱的機率均為 0.2。
若已知空箱數期望值小於 0.1，求 n 最小值。
15. 正整數a,b,c滿足 a⋅b⋅c=420 ，考慮集合 S ={a , b , c } ，問集合
S 的所有可能有幾種。16. 投擲一顆公正六面骰子
n 次(各面為1,2,3,4,5,6點)，依序紀錄點數為 x1, x2, x3,⋯, xn， 設滿足 (
x1−x
2)(
x2−
x3)(
x3−
x4)⋯(x
n−1−x
n)(
xn−
x1)≠0 的機率為 P
n。
求
Pn+ 6⋅P
n+1之值 ( 以
n 表之)。17. 某種擲骰遊戲，花費 1 個籌碼可以投擲二粒公正骰子(各面為1,2,3,4,5,6點)一次。
若擲出之點數和為 7 點時，可得獎金 100 元與 1 個籌碼；
若擲出之點數和為 12 點時，可得獎金 240 元與 2 個籌碼。
若擲出之點數和為其他點數時，得 0 元與 0 個籌碼。
現鳴人有 10 個籌碼，開始玩此遊戲直到用完所有籌碼為止，
求鳴人最後能獲得的獎金期望值。
18. 考慮正整數 n 的所有正整數分割，將其分割乘積的最大值定義為 f (n) ，
[例：1+1+1+1=2+1+1=3+1=2+2=4， (1×1×1×1)<(2×1×1)<(3×1)<(2×2)=(4) ，得 f (4)=4]。
問
f (2012) (以十進位表示)是幾位數。19. 從{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} 選出五個數字(可重複)所排列成的五位正整數之中，有幾個為12的倍數。
20. 實係數多項式 f (x ) ，若 deg f ( x)=2010 ，且 f (k )= 2 k +1
k , ∀ k =1,2,3,⋯, 2011 ，
求 ∑
k=0 2011
{C
k2012⋅(−1)
k⋅
f (k +1)} 值。參、計算題：共 20 分。
21. 空間中二條直線
2 2 3
4 2
: 1
1
y zL x
與
1 2 4
1 3
: 5
2
y zL x
。
試用各種不同的方式，求出
L1與
L2的距離。
說明：每種不同的方法得 4 分，超過 20 分以 20 分計算。
參考答案：
[722666]。[ 29 40 ]。[ 3
2 ]。[2]。[ 32
9 ]。[ 2 3 ]。[18]。[6360]。[2520]。[562 ]。
[ 3 1 3 1
n n
+
- ]。[ 2 5
- ]。[15]。[18]。[28]。[ 5
16
n
n-
]。[300]。[320]。[1372]。[ 3 - ]。
[ 42 ]。
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