106年公務人員高等考試三級考試試題

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科 目：微積分與微分方程

考試時間：2 小時 座號：

※注意： 禁止使用電子計算器。

不必抄題，作答時請將試題題號及答案依照順序寫在試卷上，於本試題上作答者，不予計分。

本科目除專門名詞或數理公式外，應使用本國文字作答。

（請接背面）

一、求極限值： ⁰ ₂

2

0 2

lim cos

2

x dt

x t

x

∫

→ 。（10 分）

已知y = f (x)滿足方程式x+6x³y³ + y−8=0且 f (1) =1，求圖形 f (x)在點(1, f (1))的 切線方程式。（10 分）

二、利用 Lagrange 乘數法（The Method of Lagrange Multipliers）求函數f(x,y) = 200x^0.75y^0.25在 0

120000 600

400 )

,

(x y = x + y − =

g 的條件下之最大值。（20 分）

三、令向量函數FG x y z xyz iH yzx Gj xzy kG ) 5 ( ) 3

( ) ( ) , ,

( = ² + ² + ² 。（每小題 10 分，共 20 分）

試求FG

的散度（Divergence）： FG(x, y,z)

•

∇ 。

試求FG

的旋度（Curl）： FG(x, y,z)

×

∇ 。

四、求下列的積分值：（10 分）

∫∫

Ω ^sin

x

y

利用格林定理（Green Theorem）計算下列線積分：（10 分）

∫_C(2xy +e^x2)dx+(2x +e^y2)dy，其中曲線 C 是由拋物線 與直線 所圍成封閉 區域之邊界。

x2

y = y= x

五、求下列微分方程組的解：（20 分）

) ( 2 ) (

2 _{2 3}

1 y t y t

dt

dy = + ，y₁(0)=5，

) ( 2 ) (

2 _{3 1}

2 y t y t

dt

dy = + ，y₂(0)= −1，

) ( 2 ) (

2 _{1 2}

3

y t y t

dt

dy