(2) a 與 b 兩向量的夾角為 θ，則 θ

高中數學(三)習作甲 第3 章 平面向量 51

3-2 平面向量的內積

重點一 向量的夾角與內積 例題1

設a ＝（1﹐0）， b ＝（1﹐1），試求：

(1) a ． b ＝ 。

(2) a 與 b 兩向量的夾角為 θ，則 θ＝ 。 解 (1)由內積的定義得 a ． b ＝1×1＋0×1＝1

(2)cosθ＝ a b a b

．

∣∣∣∣

＝ 2 2 2 2

1

1 0＋  1 1＋

＝ 1

2 ＝ ² 2  θ＝45°

例題2

設a ＝（－1﹐1）， b ＝（x﹐y），

(1) 若a ⊥ b ，則 x，y 的關係式為 。 (2) 若a // b ，則 x，y 的關係式為 。 解 (1)∵a ⊥ b  a ． b ＝0

 （－1）x＋1×y＝0  x－y＝0 (2)∵ a // b 

1 x

－ ＝ 1 y  x＋y＝0

例題3

如下圖，ABCDEF 是邊長為 1 的正六邊形，則下列各內積的大小排列為何？

(A)AB．AB (B)AB．AC (C)AB．AD (D)AB．AE (E) AB ． AF 。

解 (A)AB．AB＝│AB│²＝1

(B) AB ． AC ＝│ AB ││ AC │cos∠BAC＝1× 3 ×cos30°＝³ 2 (C)AB．AD＝│AB││AD│cos∠BAD＝1×2×cos60°＝1 (D)AB．AE＝│AB││AE│cos∠BAE＝1× 3 ×cos90°＝0 (E)AB．AF ＝│AB││AF│cos∠BAF＝1×1×cos120°＝－1

2

∴(B)＞(A)＝(C)＞(D)＞(E) 重點二 內積的性質

高中數學(三)習作甲 第3 章 平面向量 52

例題4

兩向量a 與 b 之間的夾角是 120°且大小分別是 6 與 4，試求：

(1) │ a ＋ b │＝ 。 (2) │2 a ＋3 b │＝ 。

解 (1)│ a ＋ b │²＝（a ＋ b ）．（ a ＋ b ）＝│ a │²＋2 a ． b ＋│ b │²

＝36＋2×6×4×cos120°＋16＝28 ∴│ a ＋ b │＝ 28 ＝2 7

(2)│2 a ＋3 b │²＝（2 a ＋3 b ）．（2 a ＋3 b ）＝4│ a │²＋12 a ． b ＋9│ b │²

＝4×36＋12×6×4×cos120°＋9×16＝144 ∴│2 a ＋3 b │＝12

例題5

(1) 設 a ， b 為兩向量，若│ a ＋ b │＝4，│ a － b │＝2，則 a ． b ＝ 。 (2) 若兩向量a ， b 滿足 3 a ＋2 b ＝ 0 ，且│ b │＝6，則 a ． b ＝ 。 解 (1)│a ＋ b │²＝│a │²＋2a ． b ＋│ b │²＝16………

│a － b │²＝│a │²－2a ． b ＋│ b │²＝4 ………

－得 4a ． b ＝12 ∴ a ． b ＝3 (2)由 3a ＋2 b ＝ 0 得 a ＝－²

3 b ，知 a ， b 反向且│ a │＝²

3│b │＝4 故a ． b ＝│ a ││ b │cos180°＝4×6×（－1）＝－24

重點三 柯西不等式 例題6

x，y 為實數，x²＋y²＝52，則：

(1) 2x＋3y＋1 的範圍為 。

(2) 發生最大值時的數對（x﹐y）＝ ；發生最小值時的數對

（x﹐y）＝ 。

解 (1)令u ＝（x﹐y）， v ＝（2﹐3）│ u │²＝x²＋y²，│v │²＝13，u ． v ＝2x＋3y 由柯西不等式得（x²＋y²）×13 （2x＋3y）²  －26  2x＋3y  26

∴－25  2x＋3y＋1  27 (2)當u // v ，

2 x＝

3

y＝t，將 x＝2t，y＝3t 代入 x²＋y²＝52 得 t＝±2 令 t＝2 時，x＝4，y＝6  2x＋3y＋1 有最大值為 27

即發生最大值時的數對（x﹐y）＝（4﹐6）

令 t＝－2 時，x＝－4，y＝－6  2x＋3y＋1 有最小值為－25 即發生最小值時的數對（x﹐y）＝（－4﹐－6）

重點四 正射影公式 例題7

已知a ＝（2﹐1）， b ＝（4﹐－3），則：

(1) b 在 a 的正射影為 。 (2) a 在 b 的正射影長為 。 解 (1)a ． b ＝2×4＋1×（－3）＝5

│a │²＝2²＋1²＝5

高中數學(三)習作甲 第3 章 平面向量 53

b 在 a 的正射影為 a b₂ a

 

 

 

．

∣∣ a

＝⁵

5（2﹐1）＝（2﹐1）

(2)│ b │²＝4²＋（－3）²＝25 a 在 b 的正射影為 a b₂

b

 

 

 

．

∣∣ b

＝ ⁵

25（4﹐－3）＝ 4 3 5 5

 

 

 ，－  故a 在 b 的正射影長為

2 2

4 3

5 5

   

   

  ＋ －  ＝1

例題8

設平面上三點A（－3﹐3），B（7﹐8），C（0﹐7），試求：

(1) AB在AC 上的正射影為 。

(2) 點 B 在直線 AC 上的正射影點為 。 解 AB＝（10﹐5），AC ＝（3﹐4）

(1)AB在AC 上的正射影為 AB AC₂ AC

 

 

 

．

∣ ∣ AC

＝^{10 3 5 4} 25

 ＋ 

（3﹐4）＝（6﹐8）

(2)設點 B 在直線 AC 上的正射影點為 H（x﹐y）

則AH＝（6﹐8）（x＋3﹐y－3）＝（6﹐8）

∴x＝3，y＝11  H（3﹐11）

故點 B 在直線 AC 上的正射影點為（3﹐11）

重點五 向量內積在平面幾何的應用 例題9

平行四邊形ABCD，若│AB│＝5，│BC │＝7，則：

(1) AC²＋BD²＝ 。 (2) AC ． BD ＝ 。

高中數學(三)習作甲 第3 章 平面向量 54

解 (1) AC²＋BD²＝2（AB²＋BC²）＝2（5²＋7²）＝148 (2) AC ．BD＝（AB＋BC ）．（ BC －AB）

＝│BC │²－│AB │²

＝7²－5²＝24

例題10

△ABC 中，若AB＝3， BC ＝6， AC ＝5，M 為 BC 之中點，則AM ＝ 。

解 利用中線定理：AB²＋AC²＝2

2 2

2 AM BC

   

   

   

 

＋

 9＋25＝2（AM ²＋3²） AM ²＝8

∴AM ＝2 2