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109 學 年 度 指 定 科 目 考 試 數 學 乙 考 科 非 選 擇 題 參 考 答 案
數 學 乙 的 題 型 有 選 擇、選 填 與 非 選 擇 題。非 選 擇 題 主 要 評 量 考 生 是 否 能 夠 清 楚 表 達 推 理 過 程,答 題 時 應 將 推 理 或 解 題 過 程 說 明 清 楚,且 得 到 正 確 答 案 , 方 可 得 到 滿 分 。 如 果 計 算 錯 誤 , 則 酌 給 部 分 分 數 。 如 果 只 有 答 案 對 , 但 觀 念 錯 誤 , 或 過 程 不 合 理 , 則 無 法 得 到 分 數 。
數 學 科 非 選 擇 題 的 解 法 通 常 不 只 一 種,在 此 提 供 多 數 考 生 可 能 採 用 的 解 法 以 供 各 界 參 考。關 於 較 詳 細 的 考 生 解 題 錯 誤 概 念 或 解 法,請 參 見 本 中 心 將 於 8 月 15 日 出 刊 的 《 選 才 電 子 報 》。
109 學 年 度 指 定 科 目 考 試 數 學 乙 考 科 非 選 擇 題 各 大 題 的 參 考 答 案 說 明 如 下 :
第 一 題
第(1)小題 (4 分)
解法一、對數律 由對數律得
0 0
logPn logP(1r)n logP nlog(1r) 因此
log 5 log 2 log 0 5log(1 ) log 0 2 log(1 )
log(1 )
3 3
P P P r P r
A r
8 6 0 0
log log log 8log(1 ) log 6log(1 )
log(1 )
2 2
P P P r P r
B r
所以Alog(1 r) B 解法二、利用斜率
令 ylogPx,則 ylogP0xlog(1r), 其圖形是斜率為 log(1r)的直線。
又 A 與 B 均表示為該直線的斜率,故A B log(1r)。 第(2)小題(5 分)
由題意知P16 10P0,即P0(1r)1610P0 或(1r)1610 因此
20 8 5
20 8 5 0 0 0
17 6 2
17 6 2 0 0 0
(1 ) (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) P P P P r P r P r P P P P r P r P r
(1 r)8
10
2
第(3)小題(4 分)
解法一、先化簡再代值 直接計算可得 log 20 log 17
log(1 ) 3
P P
r
,由第(2)小題知
1
1 r 1016, 得
1
log(1 r) log1016,所以log 20 log 17 1
3 16
P P
解法二、直接代值計算 以
1
1 r 1016代入,直接計算得
20 17 3
16 16 16
20 17 0 0
log log log( 10 ) log( 10 ) log10
3 3 3
P P P P 1
16 解法三、利用斜率
利用 log 20 log 17 3 P P
為直線 ylogPx logP0xlog(1r)的斜率,可得
20 17
log log
log(1 ) 3
P P
r 以
1
1 r 1016代入,得log 20 log 17 1
3 16
P P
第 二 題
第(1)小題(2 分)
因為A 在L 上、B 在1 L 上、且平行線2 L 和1 L 間的距離為2 5 恰等於 AB ,得知直線 AB 垂 直L 。由題意知1 L 的斜率為1 2,因此 AB 的斜率 1
2 第(2)小題(4 分)
解法一、先算 AB 的方向
因為直線 AB 垂直L ,且1 L 的方向平行於1
1, 2 ,得知 AB t
2,1
由題意知AB5,且B 在第二象限,因此AB 5 15
2,1
2 5, 5
3
解法二、先算B 的坐標
因為AB5,所以 ( , )B x y 滿足方程式:
x2
2 y1
2 5依題意知L 過1 A
2, 1
且斜率為2,得知L 的方程式為: 21 x y 5 。 令L 的方程式為: 2x2 y k,因為平行線L 和1 L 間的距離為 5,得2 55 5 k
,因此
5 5 5 k 。
又直線 AB 的方程式為:x2y0,因此B為下列聯立方程式中任兩式的解,
2
2 1
2 252 5
5 5
2 0
x y
x y
x y
因為B點在第二象限,解得B
2 2 5, 1 5
,因此AB
2 5, 5
解法三、利用L 參數式求解 2
因為L 的斜率是1 2,A(2, 1) 為L 上一點,1 L 的方程式為: 21 x y 5 0 。 因為L 、1 L 平行,可設2 L 的方程式為: 22 x y k 0。
又因為兩平行線距離為5,我們有| 5 | 5 5 k
故k 5 5 5或k 5 5 5。
因為L 通過第二象限,故2 k 5 5 5,即得L 的方程式為:2 2x y 5 5 50 。 因為B為L 上一點,可設2 B的坐標為( , 2t t 5 5 5)。
故AB (t 2, 2t 4 5 5),因為AB5,所以(t2)2(2t 4 5 5)2 25 可解得t 2 2 5。故B的坐標為B(2 2 5, 1 5),可得 AB
2 5, 5
第(3)小題(3 分)
因為直線 AB 垂直L ,由內積定義得知2 AB AC AB2 25
第(4)小題(4 分)
解法一、利用內積
因為L 的斜率為3 3,A 和 C 都在L 上,所以令3 AC
t t, 3 。再由第(2)小題和第(3)小題 的結論可知
2 5, 5 ,3 25
AB AC t t
4
化簡可得 5t 25,解得t 5 5。因此
5 5, 15 5
AC 或AC 5 5 1,3
解法二、先算C點坐標
依題意知L 過3 A
2, 1
且斜率為3,得L 的方程式為:3 y3x7。由第(2)小題知AB
2 5, 5
,可得知B
2 2 5, 1 5
,所以L 的方程式為: 22 5 5 5 y x
C 的坐標為聯立方程式 3 7 2 5 5 5 y x
y x
的解 ,解得C x y
,
2 5 5, 1 15 5
因此AC
5 5,15 5
解法三、先算AC長度
因為L 的斜率為3 3,A 和 C 都在L 上,所以3 AC 與
1,3 同方向。由內積定義得知
cos 1, 3
1, 3 AB AB BAC
利用第(2)小題得知AB
2 5, 5
,代入上式可得cos 5 15 10 5 2
BAC , 又 AC cosBACAB5,可得AC25 2
因此
25 2 1 1,3 5 5, 15 5
AC 10