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109 學 年 度 指 定 科 目 考 試 數 學 乙 考 科 非 選 擇 題 參 考 答 案

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Academic year: 2021

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1

109 學 年 度 指 定 科 目 考 試 數 學 乙 考 科 非 選 擇 題 參 考 答 案

數 學 乙 的 題 型 有 選 擇、選 填 與 非 選 擇 題。非 選 擇 題 主 要 評 量 考 生 是 否 能 夠 清 楚 表 達 推 理 過 程,答 題 時 應 將 推 理 或 解 題 過 程 說 明 清 楚,且 得 到 正 確 答 案 , 方 可 得 到 滿 分 。 如 果 計 算 錯 誤 , 則 酌 給 部 分 分 數 。 如 果 只 有 答 案 對 , 但 觀 念 錯 誤 , 或 過 程 不 合 理 , 則 無 法 得 到 分 數 。

數 學 科 非 選 擇 題 的 解 法 通 常 不 只 一 種,在 此 提 供 多 數 考 生 可 能 採 用 的 解 法 以 供 各 界 參 考。關 於 較 詳 細 的 考 生 解 題 錯 誤 概 念 或 解 法,請 參 見 本 中 心 將 於 8 月 15 日 出 刊 的 《 選 才 電 子 報 》。

109 學 年 度 指 定 科 目 考 試 數 學 乙 考 科 非 選 擇 題 各 大 題 的 參 考 答 案 說 明 如 下 :

第 一 題

第(1)小題 (4 分)

解法一、對數律 由對數律得

0 0

logPn logP(1r)n logPnlog(1r) 因此

log 5 log 2 log 0 5log(1 ) log 0 2 log(1 )

log(1 )

3 3

P P P r P r

A       r

   

8 6 0 0

log log log 8log(1 ) log 6log(1 )

log(1 )

2 2

P P P r P r

B       r

   

所以Alog(1 r) B 解法二、利用斜率

ylogPx,則 ylogP0xlog(1r), 其圖形是斜率為 log(1r)的直線。

又 A 與 B 均表示為該直線的斜率,故A B log(1r)。 第(2)小題(5 分)

由題意知P16 10P0,即P0(1r)1610P0 或(1r)1610 因此

20 8 5

20 8 5 0 0 0

17 6 2

17 6 2 0 0 0

(1 ) (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) P P P P r P r P r P P P P r P r P r

    

  

    

(1 r)8

   10

(2)

2

第(3)小題(4 分)

解法一、先化簡再代值 直接計算可得 log 20 log 17

log(1 ) 3

P P

r

  ,由第(2)小題知

1

1 r 1016, 得

1

log(1 r) log1016,所以log 20 log 17 1

3 16

PP

解法二、直接代值計算

1

1 r 1016代入,直接計算得

20 17 3

16 16 16

20 17 0 0

log log log( 10 ) log( 10 ) log10

3 3 3

PPP   P   1

16 解法三、利用斜率

利用 log 20 log 17 3 PP

為直線 ylogPx logP0xlog(1r)的斜率,可得

20 17

log log

log(1 ) 3

P P

  r

1

1 r 1016代入,得log 20 log 17 1

3 16

PP

第 二 題

第(1)小題(2 分)

因為A 在L 上、B 在1 L 上、且平行線2 L 和1 L 間的距離為2 5 恰等於 AB ,得知直線 AB 垂L 。由題意知1 L 的斜率為1 2,因此 AB 的斜率 1

 2 第(2)小題(4 分)

解法一、先算 AB 的方向

因為直線 AB 垂直L ,且1 L 的方向平行於1

 

1, 2 ,得知 AB  t

2,1

由題意知AB5,且B 在第二象限,因此AB  5 15

2,1

 

2 5, 5

(3)

3

解法二、先算B 的坐標

因為AB5,所以 ( , )B x y 滿足方程式:

x2

 

2 y1

2 5

依題意知L 過1 A

2, 1

且斜率為2,得知L 的方程式為: 21 x y 5 。 令L 的方程式為: 2x2  y k,因為平行線L 和1 L 間的距離為 5,得2 5

5 5 k

 ,因此

5 5 5 k   。

又直線 AB 的方程式為:x2y0,因此B為下列聯立方程式中任兩式的解,

2

 

2 1

2 25

2 5

5 5

2 0

x y

x y

x y

    

  

 

  

因為B點在第二象限,解得B

2 2 5, 1   5

,因此AB  

2 5, 5

解法三、利用L 參數式求解 2

因為L 的斜率是1 2,A(2, 1)L 上一點,1 L 的方程式為: 21 x  y 5 0 。 因為L 、1 L 平行,可設2 L 的方程式為: 22 x  y k 0。

又因為兩平行線距離為5,我們有| 5 | 5 5 k

 故k   5 5 5或k  5 5 5。

因為L 通過第二象限,故2 k   5 5 5,即得L 的方程式為:2 2x  y 5 5 50 。 因為BL 上一點,可設2 B的坐標為( , 2t t 5 5 5)。

AB  (t 2, 2t 4 5 5),因為AB5,所以(t2)2(2t 4 5 5)2 25 可解得t 2 2 5。故B的坐標為B(2 2 5, 1   5),可得 AB  

2 5, 5

第(3)小題(3 分)

因為直線 AB 垂直L ,由內積定義得知2 AB AC   AB2 25

第(4)小題(4 分)

解法一、利用內積

因為L 的斜率為3 3,A 和 C 都在L 上,所以令3 AC

 

t t, 3 。再由第(2)小題和第(3)小題 的結論可知

2 5, 5

 

,3 25

AB AC     t t

(4)

4

化簡可得 5t 25,解得t 5 5。因此

5 5, 15 5

AC  或AC 5 5 1,3

 

解法二、先算C點坐標

依題意知L 過3 A

2, 1

且斜率為3,得L 的方程式為:3 y3x7。

由第(2)小題知AB  

2 5, 5

,可得知B

2 2 5, 1   5

,所以L 的方程式為: 2

2 5 5 5 yx 

C 的坐標為聯立方程式 3 7 2 5 5 5 y x

y x

 



  

 的解 ,解得C x y

,

2 5 5, 1 15 5  

因此AC

5 5,15 5

解法三、先算AC長度

因為L 的斜率為3 3,A 和 C 都在L 上,所以3 AC

 

1,3 同方向。由內積定義得知

 

 

cos 1, 3

1, 3 AB AB BAC

 

利用第(2)小題得知AB  

2 5, 5

,代入上式可得cos 5 1

5 10 5 2

BAC  , 又 AC cosBACAB5,可得AC25 2

因此

   

25 2 1 1,3 5 5, 15 5

AC   10 

參考文獻

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