34.0 433.0 34.0 34.0 34.0 34.0 433.0 2 2 2

高雄市明誠中學 高一數學複習測驗 日期：95.09.28 班級 普一 班

範

圍 1-2、3 實數、直線

座號

姓 名 一、選擇題 (每題 5 分)

1. (複選)a，b，c，d 均為有理數，且 abcd ≠ 0，x，y 均為無理數，則下列敘述何者恆真？

(A) a + bx 為無理數 (B) xy 為無理數 (C)若 a + b 3 = c + d 3 ，則 a = c，b = d (D)a

x+ b

y 為無理數 (E)若 a + x = b + y，則 a = b，x = y

【解答】(A)(C)

【詳解】

(A)對。a，b 為有理數且均不為零，故 a + bx 為無理數 (B)錯。令 x = 2 ，y = 3 2 ，則 xy = 6 為有理數 (C)對。設 b ≠ d，由 a + b 3 = c + d 3 ，得 3 =

d b

a c

−

− ，矛盾，故 b = d，則 a = c

(D)錯。令 a = 1，b = − 1，則 x = y = 2 ，則 a x+

b

y= 0 為有理數

(E)錯。令 a = 1，x = 3 ，b = 0，y = 1 + 3 ，則 a + x = b + y，但 a ≠ b，x ≠ y 2. (複選)試選出正確的選項：

(A)0.343不是有理數 (B) 340. >

3

1 (C) 340. > 0.343 (D) 340. < 0.35 (E) 340. =0.343

【解答】(B)(C)(D)(E)

【詳解】 340. = 0.343434…

3. (複選)若a，b，c均是有理數之二次方程式ax² + bx + c = 0 有兩根為

α

，

β

，則下列何者正 確？(A) ax² + bx + c = a(x −

α

)(x −

β

) (B)兩根為

α

，

β

必皆是有理數 (C)兩根的和

α

+

β

必是有理數 (D)兩根的積

αβ

必是有理數

【解答】(A)(C)(D)

【詳解】

(A)對。∵ 二根為

α

，

β

∴ ax² + bx + c = a(x −

α

)(x −

β

) (B)錯。ax² + bx + c = 0 之二根為

a ac b

b

2

2 −4

±

−

若b² − 4ac不為完全平方數，則兩根為

α

，

β

不是有理數 (C)對。

α

+

β

= −

a

b為有理數

(D)對。

αβ

= a

c為有理數

4. 圖中是坐標平面上的十六個點（左、右、上、下間隔均相等），這些點 中任意二點連成之直線不考慮無斜率的情形，則斜率最小者為下列哪一 個數值？(A) − 4 (B) − 3 (C) − 2 (D) −

2

3 (E) − 1

【解答】(B)

【詳解】建立座標系，利用斜率 m = ^{2 1}

x x

y y

−

− ，得 m = 1 0

0 3

−

− = − 3 為最小

5. 下列各組點何者在同一直線上？

(A) A(6，6)，B(4，7)，C(2，8) (B) A(3，− 2)，B(5，1)，C(10，0) (C) A(0，− 1)，B(3，− 4)，C(2，1) (D) A( − 2，9)，B(10，− 7)，C(12，− 5)

【解答】(A)

【詳解】

(A) m

AB = 6 4

6 7

−

− = 2 1

− ，m

AC = 6 2

6 8

−

− = 4 2

− = 2 1

− ， m

AB = m

AC ∴ A，B，C 共線 (B) m

AB = 3 5

) 2 ( 1

−

−

− =

2 3，m

AC =

3 10

) 2 ( 0

−

−

− =

7

2， m

AB≠ m

AC ∴ A，B，C 不共線 (C) m

AB =

0 3

) 1 ( 4

−

−

−

− =

3

−3= − 1，m

AC = 0 2

) 1 ( 1

−

−

− = 1， m

AB ≠ m

AC ∴A，B，C 不共線 (D) m

AB =

) 2 ( 10

9 7

−

−

−

− =

12

−16= − 3 4，

m

AC =

) 2 ( 12

9 5

−

−

−

− =

14

−14 = − 1，m

AB≠ m

AC， ∴A，B，C 不共線 故選(A)

6. (複選)如圖，O，A，B，C，D，E 六等分一個圓，此圓半徑為 2，則 (A) A 點的坐標為(1， 3 ) (B) B 點的坐標為(0，2 3 ) (C) C 點的坐標為( − 2，2 3 ) (D)

D 點的坐標為( − 3， 3 )

(E) E 點的坐標為( − 2，0)

【解答】(A)(B)(C)(D)(E)

【詳解】

∵ OA = 半徑 = 2，又∠AOE = 120°

∴ ∠AOG = 60° ∴ OG = 1， AG = 3 ∴ A(1， 3 ) 其餘同理可得。

7. (複選)設 P(x，y)為坐標平面上一點，且滿足

2

2 ( 3)

) 1

(x+ + y− + (x−4)² +(y+12)² = 5 10，則 P 點的位置可能在哪裡？(A)第一象 限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限 (E)原點

【解答】(B)(D)(E)

【詳解】設 A( − 1，3)，B(4，− 12)，則

2

2 ( 3)

) 1

(x+ + y− + (x−4)² +(y+12)² = 5 10

表PA+PB= 5 10 =AB，所以 P∈AB(也就是 P 點於AB上)，即 P 點位 在第 2 或第 4 象限或原點，故選(B)(D)(E)

二、填充題(每題 10 分)

1. 設a = 41−12 5 ，b為a的純小數部分，則 4 a+

b

1之值為 。

【解答】4 9

【詳解】

∵ a = 41−12 5 = 41−2 180= 6 − 5 = 3.…，純小數部分 b = (6 − 5 ) − 3 = 3 − 5，

故4 a+

b 1=

4 5 6− +

5 3

1

− =

4 5 6− +

4 5 3+ =

4 9

2. 設a ∈ N，若 2 +

5 1 6 1

1 + +

a

=371

803，則a = 。

【解答】12

【詳解】∵

371 803= 2 +

371 61 = 2 +

61 3711 = 2 +

61 6 5

1 +

= 2 +

5 61 6 1

1 +

= 2 +

5 12 1 6 1

1 + +

∴ a = 12

3. 試寫出滿足 | 2x − 1 | < 3 之所有整數x為 。

【解答】0，1

【詳解】

| 2x − 1 | < 3 ⇒− 3< 2x − 1 < 3 ⇒ − 2< 2x < 4 ⇒ − 1< x < 2，故所求整數 x 為 0，1 4. 設a，b均為實數，若 | x − 1 | ≤ b的解為 − 1 ≤ x ≤ 3，則b = 。

【解答】2

【詳解】由 − 1 ≤ x ≤ 3 ⇒ − 2 ≤ x − 1 ≤ 2 ⇒ | x − 1 | ≤ 2 ∴ b = 2

5. 設a，b ∈ R且不等式 | ax + 1 | > b之解為x > 4 或 x < − 1，則數對(a，b) = 。

【解答】( − 3 2，

3 5)

【詳解】

【解一】即 | ax + 1 | ≤ b 之解為 − 1 ≤ x ≤ 4 (1) b > 0

(2) − b ≤ ax + 1 ≤ b，− b − 1 ≤ ax ≤ b − 1 (3)當

a > 0 時，

a b 1−

− ≤ x ≤ a b 1−

∴ a

b 1− = 4 且 a b 1−

− = − 1

∴ 4a = b − 1，a = b + 1 ∴ a = − 3

2（不合）

當 a < 0 時，

a b 1−

− ≥ x ≥ a b 1−

∴ a b 1−

− = 4 且 a

b 1− = − 1 ∴ a = − 3 2，b =

3

5（合）

【解二】

^{4 ( 1) 5}

2 2

− − = ；^{4 ( 1) 3}

2 2

+ − = 3 5 2 5

| | | 2 3 | 5 | 1|

2 2 3 3

x− ≤ ⇒ x− ≤ ⇒ − x+ ≤ ，即 a = − 3 2，b =

3 5 6. 設x ∈ N，f(x)表 x 的整數部分，則f(1) + f(2) + f(3) + … + f(100)之值為 。

【解答】625

【詳解】

f

(1) + f(2) + f(3) + … + f(100) =[ 1] [ 2] [ 3]+ + +""+[ 99] [ 100]+

=

2² − 1²個 3² − 2²個 10² − 9²個

1 + 1 + 1 + 2 + 2 + … + 2 + … + 9 + 9 + … + 9 + 10

= 1(2² − 1²) + 2(3² − 2²) + 3(4² − 3²) + … + 9(10² − 9²) + 10

= 1 × 3 + 2 × 5 + 3 × 7 + … + 9(19) + 10 = 625

7. | 2x + 5 | + | 2x − 1 | = 6 之解集合為 。

【解答】 2

−5≤ x ≤ 2 1

【詳解】

【解一】利用| |

| 2x + 5 | + | 2x − 1 | = | 2x + 5 | + | 1 − 2x | ≥ | 2x + 5 + 1 − 2x | = 6 此時(2x + 5)(1 − 2x) ≥ 0，即(2x + 5)(2x − 1) ≤ 0 ⇒

| | | | a + b ≥ +a b

2

−5≤ x ≤ 2 1

【解二】利用距離和

| 2x + 5 | + | 2x − 1 | = 6 | ⁵| | ¹|

2 2

x x

⇒ + + − = 3，表 與

x

^{5 1},

−2 2距離和為 3 因為 ^{5 1},

−2 2距離亦為 3⇒解為 2

−5≤ x ≤ 2 1

8. a是正實數，a的小數部分是b，a² + b² = 40，則a = 。

【解答】3 + 11

【詳解】

0 < b < 1 ⇒ 0 < b² < 1

∵ a² + b² = 40 ⇒ a² = 39.…，故a = 6.…

設a = 6 + b，則a² + b² = 40 ⇒ (6 + b)² + b² = 40 ⇒ b² + 6b − 2 = 0

∴ b = 2

44 6±

− = − 3 ± 11 （負不合），故b = − 3 + 11 ，則a = 6 + b = 3 + 11

9.設

α

，

β

為x² + 3x − 2 = 0 之二根，求以 |

α

|，|

β

| 為二根之一元二次方程式？（領導係數 為 1）

【解答】x² − 17 x + 2 = 0

【詳解】

α

，

β

為x² + 3x − 2 = 0 之二根 ，

又以 |

α

|，|

β

| 為二根之一元二次方程式為(x − |

α

| )(x − |

β

| ) = 0

⇒ x

3 2 α + β = −

⇒ ⎨⎧⎩αβ = −

2 − ( |

α

| + |

β

| )x + |

α

| |

β

| = 0，其中 |

α

| |

β

| = |

αβ

| = | − 2 | = 2 ( |

α

| + |

β

| )² = |

α

| ² + 2 |

α

| |

β

| + |

β

| ² =

α

² +

β

² + 2 |

αβ

| =

α

² +

β

² + 4

= (

α

+

β

)² − 2

αβ

+ 4 = 9 − 2( − 2) + 4 = 17⇒ |

α

| + |

β

| = 17 ，方程式為x² − 17 x + 2 = 0

10.設

x，y ∈ R，− 2 ≤ x < 3，1 < y ≤ 4，求

(1) 2x − y 的範圍_____________。 (2) xy 的範圍__________。 (3)

y

x

的範圍________。

【解答】(1) − 8 ≤ 2x − y < 5 (2) − 8 ≤ xy < 12 (3) − 2 <

x < 3 y

【詳解】不等式只能相加，不能直接相減

(1) − 4 ≤ 2x < 6 + − 4 ≤ − y < − 1

− 8 ≤ 2x − y < 5 (2)取 4 個極端值的乘積

4 3 12; 3 1 3; 4 ( 2) 8; ( 2) 1 2

⇒ × = × = × − = − − × = −

−2 ≤ x < 3

× 1 < y ≤ 4

−8 ≤ xy < 12 (3) 1 < y ≤ 4 ⇒　1 >

1 ≥y 4 1

× 3 > x ≥ − 2 仿(2)， − 2 <

y x < 3

11. x ∈ R，求使 | x − 3 | + | x + 8 | = k 有解之最小整數 k。

【解答】11

【詳解】

∵ | x − 3 | + | x + 8 | = | 3 − x | + | x + 8 | ≥ | (3 − x) + (x + 8) | = 11

∴ | x − 3 | + | x + 8 | ≥ 11

∵ k = | x − 3 | + | x + 8 | 有實數解 ∴ k ≥ 11，故最小整數 k = 11

12.設數線上三點A( − 5)，B(9)，P(x)，已知AP：BP = 3：4，則x = 。

【解答】1 或 − 47

【詳解】

當 A-P-B 時(內分點) ∵ AP：BP = 3：4 ∴ x =^{3 9 4 ( 5)} 3 4

× + × −

+ = 1

當 P-A-B 時(外分點) ∵ AP：BP = 3：4 ∴ x = ^{3 9 4 ( 5)} 3 4

− × + × −

− + = − 47 所以 x = 1 或 − 47

13.坐標平面上，若A( − 2，1)，B(8，6)，P為直線AB上的點，且滿足AP：PB= 3：2，求P 的坐標為 。

【解答】(4，4)或(28，16)

【詳解】

(i)

⎪⎪

⎩

⎪⎪⎨

⎧

+ =

× +

= ×

+ =

× +

×

= −

2 4 3

3 6 2 1

2 4 3

3 8 2 ) 2 (

y x

，得 P(x，y) = (4，4)

(ii)

8 3 ( 2) ( 2) 3 2 28 6 3 1 ( 2)

3 2 16

x

y

× + − × −

⎧ = =

⎪⎪ −

⎨ × + × −

⎪ = =

⎪ −

⎩

，得 P(x，y) = (28，16)

14.已知直線L的方程式為 3x − 4y + 5 = 0

(1)過( − 3，2)且平行L的直線方程式為 。 (2)過(1，− 4)且垂直L的直線方程式為 。

【解答】(1) 3x − 4y + 17 = 0 (2) 4x + 3y + 8 = 0

【詳解】

(1)設過( − 3，2)且平行 L 的直線方程式為 3x − 4y + k = 0

過( − 3，2) 代入3 ( 3)× − − × +4 2 k=0⇒ =k 17，所求 3x − 4y + 17 = 0 (2)設過(1，− 4)且垂直 L 的直線方程式為 4x + 3y + k = 0

過(1，− 4) 代入4 1 3 ( 4)× + × − +k=0⇒ =k 8，所求 4x + 3y + 8 = 0