 baaccbcba   0 111 )(2 2 2 2 2 2 ) 0 12( 0 3 0 ( )( ) 0 )[( ) ( ) ( ) ] 12

高雄市明誠中學 高三平時測驗 日期：98.03.16 班級 普三 班

範 圍

2-4、5

行列式 座號

姓 名 一、選擇題(每題 10 分)

1. (複選)設 a，b，c 表△ABC 三邊長，若

a c b

b a c

c b a

 0，則△ABC 為

(A)等腰三角形 (B)銳角三角形 (C)直角三角形 (D)正三角形 (E)鈍角三角形

【解答】(A)(B)(D)

【詳解】公式：(1)a³  b³  c³  3abc (a  b  c)(a²  b²  c²  ab  bc  ca) (2) a²  b²  c²  ab  bc  ca  1

2(a  b  c)[(a  b)²  (b  c)²  (c  a)²]

a c b

b a c

c b a

 0  a³  b³  c³  3abc  0  (a  b  c)(a²  b²  c²  ab  bc  ca)  0

 1

2(a  b  c)(2a²  2b²  2c²  2ab  2bc  2ca)  0

 1

2(a  b  c)[(a  b)²  (b  c)²  (c  a)²]  0

∵ a，b，c 表△ABC 的三邊長 ∴ a  b  c  0

∴ (a  b)²  (b  c)²  (c  a)²  0  a  b  c △ABC 為正三角形 2. (複選)試問下列行列式，其值何者為 0？

(A)

3 1 2

3 2 1

1 2 3

(B)

b a a c c b

c b

a







1 1

1

(C)

1 1 1

1 1 1

1 1 1







(D)

c b b a a c

b a a c c b

a c c b b a



















(E)

2 2 2

1 1 1

c b a

c b

a ，a  b  c  a

【解答】(B)(D)

【詳解】

(A)

3 1 2

3 2 1

1 2 3

 12

(B)

b a a c c b

c b

a







1 1

1

（第一，三列成比例）

 1

c b a c b a c b a

c b

a













1 1

1

 0

(C)

1 1 1

1 1 1

1 1 1







  4

(D)

c b b a a c

b a a c c b

a c c b b a



















 1

 1



c b b a a c

b a a c c b













0 0

0

 0

(E)

2 2 2

1 1 1

c b a

c b

a  (a  b)(b  c)(c  a)  0（∵ a  b  c  a）(凡德孟公式)

二、填充題(每題 10 分) 1. 試求

13 0 52

0 64 16

72 108 12

之值為 。

【解答】 252096

【詳解】原式  12  16  13 

1 0 4

0 4 1

6 9 1

 12  16  13  (  101)   252096

2. 設三平面分別為E1：3x  5y  z   1，E2：x  y  4z  11，E3：x  7y  9z   23，求三 平面共同的交點 。

【解答】











 







13 34 8

13 7 19

z t t y x t

，t  R

【詳解】

由    3 得 8y  13z   34……，由  得 8y  13z   34……

由，知有無限多組解，其解為





























23 9

7 :

11 4 :

1 5

3 :

3 2 1

z y x E

z y x E

z y x

E ……

……

……

2 19 1 13 , 2 8

x t

y t

z t

 

  

 







t  R

3. 已知

i h g

f e d

c b a

 3，行列式

i i h h g

f f e e d

c c b b a

5 4 3 3 2

5 4 3 3 2

5 4 3 3 2













的值  。

【解答】90

【詳解】

原式  5

 4

i i h h g

f f e e d

c c b b a

4 3 3 2

4 3 3 2

4 3 3 2













 5

 1

i h h g

f e e d

c b b a

3 3 2

3 3 2

3 3 2







 5

i h g

f e d

c b a

3 2

3 2

3 2

 5  2  3

i h g

f e d

c b a

 (5  2  3)  3  90

4. 解方程組 ，則( x，y，z ) 











  



52 25 24 23

51 28 23 22

50 27 22 21

z y x

z y x

z y x

。

【解答】(  28，29，0)

【詳解】克拉瑪公式

△ 

25 24 23

28 23 22

27 22 21

 (  1)

 (  1)

2 2 2

1 1 1

27 22 21



 4

△_x 

25 24 52

28 23 51

27 22 50

 (  1)

 (  1)

2 2 2

1 1 1

27 22 50



  112

△y 

21 50 27 22 51 28 23 52 25

 (  1)

 (  1) 

21 50 27

1 1 1

2 2 2



21 29 6

1 0 0

2 0 4

116

△z 

52 24 23

51 23 22

50 22 21

 (  1)

 (  1)

2 2 2

1 1 1

50 22 21

 0









x  △

△_x

 4

112

  28 y  △

△_y

116  29 4 z  △

△_z

 40  0

∴ (x，y，z)  (  28，29，0)

5. 設方程組 恰有一解，則k值有何限制？

















  



kz z y x

ky z y x

kx z y x

5 4 3

5 4 3

5 4 3

。

【解答】k  0，12

【詳解】原式  為齊次方程組恰有一解 △  0





















   



0 ) 5 ( 4 3

0 5 ) 4 ( 3

0 5 4 ) 3 (

z k y

x

z y k x

z y x k

△ 

k k

k







5 4 3

5 4

3

5 4

3

(  1) (  1)

 (12  k)

k k



 5 4 1

5 4

1

5 4

1

 (12  k)

k k



 0 0

0 0

5 4 1

 (12  k) 0 0

k k



  (12  k)．k²  0，即 k  0，12

6. 設方程組 有無限多解，則a 











  









0 578 34

2

0 32 8 2

0 2

2

2 ²

z y

x

z y x

z a ay x

。

【解答】4，17

【詳解】齊次方程組有無限多解，則△  0

△ 

578 34 2

32 8 2

2 2

2

a a

²

 8

2 2 2

17 17 1

4 4 1

1

a a

 8( a 4 )( 4  17 )( 17  a ) 0  a  4，17

7. 求

2 2 2

2 2 2

2 2 2

9 8 7

6 5 4

3 2 1

之值為 。

【解答】 216

【詳解】

 ( 1)

2 2 2

2 2 2

2 2 2

9 8 7

6 5 4

3 2 1



 ( 1)

17 8 7

11 5 4

5 2 1

2 2

2 2

2 2



 ( 1)

17 15 49

11 9 16

5 3 1



2 15 49

2 9 16

2 3 1

 15 2 2 9  3

2 49

2 16  2

15 49

9

16  (18  30)  3(32  98)  2(240  441)   216

8. 行列式

48 44 42

37 36 35

84 42 42

 。

【解答】1260

【詳解】

48 44 42

37 36 35

84 42 42

 (  1)

48 44 42

37 36 35

36 2 0 

 (  1)

 ( 1)  ( 1)

11 8 7

37 36 35

36 2 0 



4 1 7

2 1 35

36 2 0 

 1260

9. 已知空間中四平面E1：x  2y  3z  5，E2：2x  y  3z   3，E3：3x + y  2z  8，

E

4：x  3y + 4z  k恰有一交點，則k  。

【解答】12

【詳解】三平面







：

：

：

3 2 1

E E E

8 2 3

3 3 2

5 3 2





















z y x

z y x

z y x

解之，交點(1，1，2)

又四平面交於一點 ∴ (1，1，2)  E4 代入 1  3  8  k  k  12

10.空間中四點A(1，1，1)，B(1，2， 7)，C(3，4，5)，D(4，5， 7)，則四面體ABCD之 體積為 。

【解答】6

【詳解】 = (0，1， 8)， = (2，3，4)， = (3，4， 8) 四面體 ABCD 之體積 =

____\

AB

____\

AC

____\

AD

6

1 平行六面體體積 = 6 1|

8 4 3

4 3 2

8 1 0





| =6 1

恰

| 36 | = 6

11.若a  R且方程組_ 有一解，則a之值





























0 ) 3 ( 3

0 3 ) 3 (

0 3 3 ) 1 (

a y

x

y a x

y x a

。

【解答】7

【詳解】方程組恰有一解  平面上三直線共點



a a

a







3 3 1

3 3

1

3 3

1

= 0  a² (7  a)  0  a  0，7 但當 a  0 時  三直線重合  無限多解，不合

12.設k為一正數，若A(3，2，2)，B(5，k  1，1)，C(1，1，0)，D( 1，k²  2，1)四點共平 面，則k為 。

【解答】1

【詳解】A，B，C，D 四點共平面，則  (2，k  3， 1)，  (  2， 1， 2)，

 (  4，k²， 1)；三向量所張之平行六面體體積為 0 即

____\

AB

____\

AC

____\

AD

1 4

2 1 2

1 3 2

2 













k k

 0  k²  k  2  0  k  1， 2（不合，因 k  0）

13.設 0  x  2



，解

x x sin² sin

1

4 1 2

1 1

1 1 1 

 0，則x  。

【解答】6



， 6 5



， 2 3



【詳解】

x x sin² sin

1

4 1 2

1 1

1 1 1 



x

x

²

2 2

sin sin 1

2) (1 2 1 1

) 1 ( ) 1 (

1  

 [( 1)  2 1](

2

1  sin x)[sin x  ( 1)]  0

14.若三平面 x  5y  z  0，x  ky  z   2k，2x  ky  z  3 相交於一直線

k

 ，則k  。

【解答】1

【詳解】

1 2

1 1





 k

k  0  2k²  3k  5  0  k  1，

5 k

△  1

2

5

△_x 

1 3

1  0 2k²  13k  15  0  k ， 2

1 5 0









k k

k   1

2

15

三平面相交於一直線即無限多解      0，故 k  1

15.不等式

△ △_x △_y △_z

1 25 5

2 1

x x

 0 的解為 1

9

3

。

x  5 或 x  

【詳解】令 f (x) 

【解答】 3

2 1

5 25 1 1

x x

 1 2

2 2

1 5 5 1 3 3

x x

3 9

 

= (x  5) (5  3) (3 x)

∴ f (x)   8(x 

x  3)  0 x  5 或 x   3

16.設方程式x³  2x  1  0 之三根為a，b，c，則

 0 5)( (x  5)(x  3) > 0 

2 2

) ( )

(

b a cb

ca

ab c

b





)2

(

c a bc ba

ac

  。

0

a， ，

1 0 之三根，則

a  b  c  0，abc   1，

且

【解答】

【詳解】

b c 為 x

³  2x  

, ,

a b

  

c b c

  

a c

  

a b

原行列式=

2

)2

ab



b bc

（第一、二、三行分別提出 a，b，c）



2

( ) (

( )

a ab ca

ca bc c





abc

a b c a b c a b c

（第一、二、三列分別再提出 ， ， ）

 第一、二、三列成比例 ）

17.

L

₁：3x _{2 3}

x  (1  t)y   2 相交

於一點，求t值 

a b c

0（

平面上三相異直線  8y  t  4，L ： 2x  (t + 3)y  4，L ：

。

【

 解答】 2

【詳解】

2 1

1

4 3 2

4 8

3  t









t

t  0

三直線共點

  6(t + 3)  32  2(t  4)(1  t)  (t  4)(t  3)  32  12(1  t)  0 1  (t  2)(t   t  5 或 t   2

18.

 t²  3t  0  0 5)  0

當 t  5 時，三直線為

















2 4

:

4 8 2 :

3 2

y x L

y x

L ，但 L₂與 L₃重合，故不合

當 t   2 時，三直線為 均相異，故 t   2

若方程組

L₁:3x8y1

























2 3 :

4 2

:

6 8 3 :

3 2 1

y x L

y x L

y x L

1 2

1 2

2



























kz y x

z ky

k z y

kx

2

3

　 （k為常數），

x

(1)無解時，k  。 (2)無限多組解時，k  。

k   1 (2) k 

【解答】(1)

2 1

【詳解】

1 2

1 2  

 

2

x



ky



z

 　2



kx y z k

3







 



kz y x

無解或無限多解時，必△ 

k k

k 1 1

2

2 1 1

1 2

1  0

∴ 8k³  1  1  2k  2k  2k  0  4k³  3k  1  0

 1)(2k  1)²  0

 (k  k   1，

2 1

(1)   1 時，原式

k





























1 2 2 5

z y x

z y

x

_……

  得 3x  3y 







 2 1

2

z y x

……

……

2

3  x  y  2

1……

y   1……

  2  得 3x  3y   3  x  、矛盾，無解，即原方程組無解



(2) k  2

1 時，原式為































1 1

z y x

y x

y

，即 x  y  z   1

設 k 為 正數，且方 5z0有異於(0，0，0)之解，試 1

z z x

，有無限多解

19. 一 程組 求：

(1) k ？ (2) x²  y²  z²  8x  2z  2 之最小值為何？

【詳解】



















0 2 3 3

0 z y kx

ky x

z y x

【解答】(1) k  7 (2)  4

△ 

2 3 k







 t z

t x

2

當 t  1 時 

設 x，y，aR，若| 3x  2y  9a |  | 4x  y  5a  3 |  | 5x  4y  4a |  0 有解，

為何？

1 1 1 

5

3 k  0  k²  7k  0  k  7 或 0（不合）

(2) k  7 時，方程組之解表三相異平面交於一直線 L

而 L：     L： ，tR

x

²  y²  z²  8x  2z  2  t²  t²  4t²  8t  4t  2  6t²  12t  2  6(t  1)²  4

，有最小值為 4

20. 則 a 之值

【解答】2

【詳解】原式有解，表示 有解，即相異三直線交於一點



3 7 5 0 0

z y x

z y

x



 

 t y



















0 4 4 5

0 3 5 4

a y x

a y x

3x2y9a0



a a 3 5 1

4   0 ，得 a  2

a

4 4 5

9 2 3 

 33a  66  0