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高雄市明誠中學 高一數學平時測驗 日期：99.01.17 範

圍

第 19 回 3-3HCF、LCM(Ⅱ)

班級 姓

座號 名 一、計算題 (每題 20 分)

1、 試求 f x( ) =x⁴⁹+2x²−1與g x( )=x⁴⁷ +2x²− 之最高公因式。 1 答案： 最高公因式2x²−3x−2、最低公倍式x x( −3)(2x²−3x− 2) 解析：去頭去尾法

設 f x( )=x⁴⁹+2x²− ，1 g x( )=x⁴⁷+2x²− 1

最高公因式d x( )=( ( ), ( ))f x g x ，d x( ) | ( ), ( ) | ( )f x d x g x ⇒d x( ) | ( )f x −x g x² ( )

4 2 2

( ) | 2 3 1 ( ) | ( 1)( 1)(2 1)

d x x x d x x x x

⇒ − + − ⇒ − + − ①

47 2

( ) | ( ) ( ) ( ) | ( 1)

d x f x −g x ⇒d x x x − ，即 ( ) | (d x x−1)(x+ ② 1) 由①②最高公因式d x( ) | (x−1)(x+1)

(1) 0, ( 1) 0, ( 1) 0 ( ) 1 f ≠ f − = g − = ⇒d x = +x

2、求 f x( ) =2x⁵−3x⁴+5x³−3x²+ −x 2與g x( )=2x⁴− +x³ 5x− ，6

6 5 4 3 2

( ) 3 3 2

h x =x − +x x − +x x − + 之最高公因式。 x 答案：最高公因式x²− +x 2

解析：從最低次數開始因式分解

4 3 2

( ) 2 5 6 ( 1)(2 3)( 2) g x = x − +x x− = −x x+ x − + x

3 2

(1) 0, ( ) 0, ( 2) | ( )

f f 2 x x f x

⇒ = − ≠ − +

(1) 0, ( 2 2) | ( )

h x x h x

⇒ ≠ − +

最高公因式x²− +x 2

3、 試利用輾轉相除法求 f x( )=3x⁴−2x³−4x²−7x− ，與2 g x( )=6x⁵−7x⁴−9x³+x²−5x−2 之最高公因式。

答案：最高公因式3x²−5x−2 解析：

6 7 9 1 5 2

3 2 4 7 2

1 2

6 4 8 14 4

3 11 8 4

3 1 15 1 2

9 12 11 2

3 1

3 2 4 7 2

9 33 24 12

7 21 35 14 3 11 8 4 1

3 5 2

3 5 2

6 10 4 2

6 10 4

0

− − + − −

− − − −

− − + + − − − −

− − + − −

− − −

− −

− + + + +

− + +

÷ − − − + − − −

− + +

− −

+ − −

+ − −

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4、 設 f x( )=6x³+37x²+41x− ，與18 g x( ) 15= x³+34x²+5x− ，試求： 6 (1) f x g x( ), ( )之最高公因式d x( )。

(2)兩多項式m x n x( ), ( )，使得d x( )=m x( )⋅f x( )+n x( )⋅g x( ) 答案：(1)最高公因式3x²+5x−2 (2) ^{( ) 5}

m x =39， ( ) ² n x = −39 解析：

15 34 5 6

6 37 41 18

2 2

6 10 4

30 68 10 12

9 27 45 18 5

30 185 205 90 27 45 18

117 195 78 39 0

3 5 2

+ + −

− + −

− ×

+ −

+ + −

− + + −

+ + −

+ + −

− − + ÷

− − +

(1)最高公因式3x²+5x−2 (2)d x( )=3x²+5x− 2 = − −( 3x²−5x+ 2)

¹ ( 117 ² 195 78)

39 x x

= − − − +

¹ [(30 ³ 68 ² 10 12) 5(3 ³ 37 ² 41 18)]

39 x x x x x x

= − + + − − + + −

¹ [2 ( ) 5 ( )]

39 g x f x

= − −

⁵ ( ) ( ²) ( ) 39 f x 39 g x

= + − 5

( ) 39

⇒m x = ， ( ) ² n x = −39