介紹愛因斯坦

介紹愛 因斯坦 ¹⁹¹⁵ 年 11 月 18 日 的水星論文

張海潮

1915/1916 年愛因斯坦有兩個偉大的發現。 第一個發現是他以廣義相對論計算出水星近 日點的進動值, 解決了法國天文學家 Le Verrier 在 1859 年 9 月 12 日提出水星近日點因為 一些尚未清楚的作用, 每一百年要多移動 38 弧秒。 另一個發現就是利用廣義相對論計算光線 經過太陽時的偏折角度是 1.7 弧秒。

本文將探討愛氏的第一個發現, 即水星近日點的運動, 至於第二個發現, 請參考作者在數 學傳播 42 卷 2 期發表的 「愛因斯坦的曲率公式和光經過太陽的偏折角度」。

根據克卜勒 (1571∼1630) 的行星三大定律和牛頓 (1642∼1727) 的數理分析, 在萬有引 力之下, 行星繞日的軌道是一橢圓, 太陽位居一焦點。 以水星為例, 水星繞日軌道是一個離心率 為 0.206 的橢圓, 近日點距太陽 46,001,200 公里, 遠日點距太陽 69,816,900 公里, 半長軸為 57,909,100 公里, 繞太陽一圈需時 88 天。¹

但實際的狀況是, 水星繞日的軌道並不是一個靜態的橢圓, 它的近日點會在空間中緩緩的 滑動 (稱為進動), 進動的原因大部份來自其他星體對水星的引力。 1859 年法國天文學家 Le Verrier 發現水星近日點的進動值, 在 100 年中, 比單由牛頓力學計算出的理論值還多出 38 弧 秒 (一弧秒是 1 度的 3600 分之 1)。 1882 年又由加拿大天文學家 Simon Newcomb 重新測 定, 將 38 弧秒修正為 43 弧秒。²

多出來的 43 弧秒到底是怎麼回事? 大家都知道, 愛因斯坦 (1879∼1955) 的廣義相對 論認為質量 (例如太陽) 將導致空間的彎曲。 當天文學家以牛頓力學計算水星近日點的進動時, 他們假設空間是平直的, 並沒有考慮到廣義相對論所持空間本身已然彎曲。 若在網路上輸入水 星近日點進動, 可以看到單單由其他行星重力牽扯, 在 100 年中引起水星近日點進動的角度是 531.63 ± 0.69 弧秒, 比觀測少了 43 弧秒。 這就好像單車騎士在地面繞圈圈, 本來應該一分鐘 繞一圈, 但是來自於騎士本人對單車的過當操控, 增加了 531.63 ± 0.69 弧秒的轉動, 又有因為

1離心率即 c / a, 此處 a = 57909100, c = 57909100 − 46001200.

2見 (https://kknews.cc) 這多出來的 43 弧秒一直困擾天文學家, 直到愛因斯坦以廣義相對論解釋。

14

地面的凹凸, 而貢獻了額外的 43 弧秒。 43 弧秒的解決歸功於愛因斯坦在 1915 年首次以廣義 相對論說明並計算出這額外的 43 弧秒³ 愛氏的計算基本上是比較了以廣義相對論描述水星運 動的方程式和植基牛頓理論的方程式, 並將此二者的差異計算出來, 我們將在下面討論愛氏的 計算。

本文共分三節 : 第一節是重現以牛頓方程式得到行星繞日軌道的過程。 第二節是利用 Euler-Lagrange 方程式來得到廣義相對論的行星運動方程, 並在附錄中解釋 Lagrangian 方 法的意義。 第三節比較牛頓與愛因斯坦方程來得到多出的 43 弧秒。

一、 行星繞日的牛頓方程式

對平面運動而言, (單位質量 m) 動能是 1

2˙x² + 1

2˙y², 式中 ˙x = dx

dt, ˙y = dy dt, 或 1

2

dx²+ dy²

dt² 。 如圖, 太陽位在原點,

(x, y) r

S ϕ 圖一

以極坐標 r, ϕ 表示, 動能 = 1

2( ˙r²+ r²ϕ˙²), 位能 = −GM

r , 式中 G 是萬有引力常數, M 是 太陽的質量, 因此有能量守恆, 總能量 E = 動能+ 位能

˙r²+ r²ϕ˙²+ 2V = 2E. (1) 源自向心力的面積律或角動量守恆給出 r²ϕ = h, 如圖, 單位時間掃過的面積為˙ 1

2r²∆ϕ ∼ 1

2h 。⁴

S

r

P

∆ϕ 圖二

31. 此一計算, 愛氏發表於 《普魯士科學院會議報告》1915 年, 47 期, 831-839 頁。 報告當天是 1915 年 11 月 18 日, 標題為 《用廣 義相對論解釋水星近日點運動》, 中譯請見紀念愛因斯坦文集, 凡異出版社, 以下簡稱水星論文。

2. 愛氏接著發表 《廣義相對論的基礎》 德國 《物理學雜誌》(Annalen der Physik), 49 卷, 769-822。 愛氏在此文中重新計算光經過 太陽的偏析角度是 1.7 弧秒, 並重申他已計算了水星近日點在 100 年的進動值是 43 弧秒, 中譯請見紀念愛因斯坦文集, 凡異出版社。

4圖二為行星 P 在單位時間 ∆t(如一秒) 掃過的面積, 近似值為 ¹₂r²∆ϕ。 如果橢圓軌道的半長軸、 半短軸分別為 a, b, 此一近似值即 πab / T , T 為行星繞日之週期。

方程式 (1) 若以守恆量 h = r²ϕ 代入得 ˙r˙ ²+^h_r²₂ −^2GM_r = 2E, U (r) = ¹₂^h_r²₂ −^GM_r 稱為 effective potential。 其最小值 發生在 r =_GM^h2 。 因此 E ≥ U

h² GM



= −¹₂^G2_h^M₂² 或 2E +^G2_h^M₂² ≥0。 我們假設 h 6= 0(如 h = 0, ϕ = 常數, 代表直線 運動, 行星墜向太陽)

由 (1)

 dr dϕ

2

+ r²+2V

˙

ϕ² = 2E

˙ ϕ², 再由面積律 r²ϕ = h 得 ˙˙ ϕ² = h²/r⁴。 因此

 dr dϕ

2

+ r²+ 2V r⁴

h² = 2Er⁴

h² , V = −GM

r 代入 得出

 dr dϕ

2

+ r²− 2GMr³

h² = 2Er⁴

h² , 式中 E, h 為常數 令 u = 1

r 得



−u⁻²du dϕ

2

+ 1

u² − 2GM

u³h² = 2E u⁴h², u⁻⁴ du

dϕ

2

+ 1

u² − 2GM

u³h² = 2E u⁴h²,

 du dϕ

2

+ u²− 2GM

h² u = 2E h²,

 du dϕ

2

= 2E

h² + 2GM

h² u − u²

= −



u²− 2GM

h² u − 2E h²



(註5). (2)

我們有兩個方法解 (2), 其一是將 (2) 對 ϕ 微分得 2 du

dϕ

  d²u dϕ²



= −2udu

dϕ +2GM h²

du dϕ, 或

d²u

dϕ² = −u + GM h² , d²

dϕ²



u − GM h²

 +



u − GM h²



= 0, 解出

u −GM

h² = D cos(ϕ − ϕ0), (D 待定), 整理後得

u = GM

h² [1 + e cos(ϕ − ϕ0)] . (3)

5等號右邊之判別式 ^G2M2

h⁴ +^2E_h2 = ^2Eh2+G_h4^2M2 ≥0, 故有實根。(見註 4)

式中

e = Dh² GM, 此解為一錐線, 離心率為 e 。 將此解代回 (2)式, 得

e² = 1 + 2Eh²

G²M², 及 D² = 2E

h² + G²M²

h⁴ (註6).

注意到因

2E + G²M²

h² ≥ 0 (見註4), 所以

2Eh²

G²M² ≥ −1, 亦即

e² = 1 + 2Eh² G²M² ≥ 0.

至於另一解法, 暫時先關心 E < 0, 即 e < 1 的情形。 此時 (3) 之解是橢圓, 由於 u = 1 r, 所以 (2) 式之右邊有兩個根 u1 = 1

r₁, u2 = 1

r₂, 分別代表遠日點和近日點, 如圖三, 此時 du dϕ = 0

S

r1

r2

圖三

所以 du dϕ =p

−(u − u2)(u − u1), 可以利用分離變數來求下式的積分

Z du

p(u2− u)(u − u1) = ϕ. (4) 我們將在第三節將 (4) 式與廣義相對論方程式比較。

6(3) 之解出, 主要是靠兩個守恆量, E 和 r²ϕ = h。 一方面可以將˙ ^dr_dt,^dϕ_dt, 併為 _dϕ^dr, 另一方面亦可將方程中的 ˙ϕ 以 h / r² 表示。

最後再以 u =¹_r 代入, 解 u。 讀者不妨將 (3) 之解代入 (2) 式驗算。

二

當只有太陽位於坐標原點時, 一個最簡單且滿足愛因斯坦場方程式的度規解是 1915 年底 由 Schwarzschild 提出的, 它的球坐標表示如下⁷

c²dτ² = c²



1 −2GM rc²

 dt²−



1 − 2GM rc²

−1

dr²− r²dθ²− r²sin²θdϕ². (5) 式中, 太陽位居原點, G是萬有引力常數, M是太陽的質量, x = r sin θ cos ϕ, y = r sin θ sin ϕ, z = r cos θ 是直角坐標。 注意到, 如果 M = 0, 上述的解就回到

c²dt² − dr²− r²dθ²− r²sin²θdϕ² = c²dt²− dx²− dy²− dz². 此即所謂的 Minkowski flat metric.

Schwarzschild metric 的特徵是

(1) 它是球對稱的, 與時間無關, 並且只有在 dt² 和 dr² 前有非常數的係數。

(2) 它在 r → ∞ 時, 回到 Minkowski flat metric。

(3) 雖然 r = 0 是奇異點, 但在 r > 0 時, 滿足真空的愛因斯坦場方程式 Rµν = 0。

在上述三個條件下, Schwarzschild 解是唯一的。

廣義相對論要求在四維時空中, 根據質 (能) 分佈, 找出滿足愛因斯坦方程式的度規 c²dτ² = gµνdx^µdx^ν,

並以測地線方程組描寫質點的運動。 以下我們將以 Lagrangian L = 1

2gµν˙x^µ˙x^ν 方法來得到 水星的測地線方程式。 注意到在 (4) Schwarzchild metric 的情形, 只有前兩項係數與 r 有 關。(請參閱附錄)

現在, 假定水星在 θ = π/2 的平面上運動, 取 Lagrangian L, 2L = c²



1 − 2GM rc²



˙t²−



1 −2GM rc²

−1

˙r²− r²ϕ˙², 仿愛氏水星論文, 令 α = 2GM

c² , 則 2L = c²

1 −α r ˙t²−

1 − α r

−1

˙r²− r²ϕ˙²,

71915 年 Schwarzschild (1873∼1916) 讀了愛因斯坦的水星論文之後, 在同一年的十二月二十二日寫了一封信給愛因斯坦, 提出一 個度規, 滿足真空的場方程式 : Rij= 0。 愛氏的論文採取的是他自己湊出的近似解, 而非 Schwarzschild 的準確解。 (見本文參考 資料 4) 緊接著在 1916 年發表的 《廣義相對論的基礎》, 愛氏在文末有下面的註:

For the calculation I refer to the original papers: A. Einstein, Sitzungsber. d. Preuss. Akad. d. Wiss,. 1915, p.831; K. Schwarzschild, ibid., 1916, p.189.

愛氏引的第一篇即水星論文 (並見註 3), 第二篇即 Schwarzschild 著名的工作“On the Gravitational Field of a Point-Mass, According to Einstein’s Theory”。 愛氏場方程式是 Rµν− ¹₂gµνR = ^8πG_c4 Tµν。 Schwarzschild 度規在原點之外滿足 Rµν= 0, Tµν= 0, R = R^µµ= 0。

此處 dt

dτ = ˙t, dr

dτ = ˙r, dϕ

dτ = ˙ϕ, t 和 ϕ 均未出現在係數中, 所以 ∂L

∂t = 0 = ∂L

∂ϕ, 由 Euler-Lagrange 方程得 d

dτ

∂L

∂ ˙t = d dτ

 ∂L

∂ ˙ϕ



= 0。 於是

∂L

∂ ˙t = c² 1 −α

r ˙t = c²k, (6)

− ∂L

∂ ˙ϕ = r²ϕ = h;˙ (7) k, h 是守恆量, h 類似第一節中的角動量守恆, 下面會看到 k 和能量守恆有關。 因為質點運 動的自然參數是 τ (proper time), 將 (5) Schwarzschild metric, 兩邊同除以 dτ², 得到

θ = π 2



c² = c² 1 −α

r ˙t²−

1 −α r

−1

˙r²− r²ϕ˙², 或

1 =  1 − α

r ˙t²− 1

c² 1 −^α_r
˙r²−r²ϕ˙² c² . 將 (6) 代入,

1 −α

r = k²− 1

c² ˙r²− 1 c²

1 − α r

r²ϕ˙² 整理後,

k²− 1 = 1

c² ˙r²+ 1 c²

1 −α r

r²ϕ˙²− α r, 仿愛氏水星論文, 令 ds = cdτ , 再改寫為

1

2 k²− 1
= 1 2

 dr ds

2

+ 1 2

 1 − α

r



r² dϕ ds

2

− α 2r; 注意: 此式右邊代表相對論的動能與位能之和。 式中 −α

2r = −GM rc² 。 對照水星論文, 愛氏用 A 表

1

2 k²− 1
, (8)

而用 B 表

r²dϕ ds



= h c



, (9)

用 α 表 2GM c² 。 所以在水星論文中

A = 1 2

 dr ds

2

+ 1 2

1 −α r

r² dϕ ds

2

− α 2r.

現以“′”代表對 s = cdτ 的微分, 上式兩邊同除 1 2ϕ^′2, 得 2A

ϕ^′2 = dr dϕ

2

+ 1 −α

r

r²− α rϕ^′2. 由 (9), ϕ^′ = B

r² 代入得 2A

B²r⁴ = dr dϕ

2

+ 1 − α

r



r²− αr³ B². 令 u = 1

r,

2A B²u⁴ =



−u⁻²du dϕ

2

+ (1 − αu) 1 u² − α

B² 1 u³, 或

2A

B² = du dϕ

2

+ u²(1 − αu) − α B²u.

整理後得

 du dϕ

2

= 2A B² + α

B²u − u²+ αu³, (10) 式中 α = 2GM

c² , 此即水星論文的第 (11) 式, 愛氏在水星論文用 x 表 1 r。

三

回顧在第一節中的牛頓方程式 (2)

 du dϕ

2

= 2E

h² + 2GM

h² u − u², 和第二節中的廣義相對論方程式 (10)

 du dϕ

2

= 2A B² + α

B²u − u²+ αu³.

此二式極為相似, A 是動能和位能之和, B 是角動量的大小。 現在的任務是如何求 u = u(ϕ)?

注意到 (10) 式比 (2) 式多了一個三次方項 αu³, 此項使 Z du.r 2A

B² + α

B²u − u²+ αu³ (11)

變得困難。 愛氏的方法是將 (2) 式中之 2E

h² + 2GM

h² u − u² 看成 −

 u − 1

r₁

  u − 1

r₂

 , 並將 2A

B² + α

B²u − u²+ αu³ 當成是 α

 u − 1

r3

  u − 1

r2

  u − 1

r1



。 式中之 r₁, r2 即 水星遠日點和近日點到太陽的距離 (圖三)。

令 1 ri

= αi 則 2A B² + α

B²u − u²+ αu³ = α (u − α1) (u − α2) (u − α3) , 而 α1+ α2+ α3 = 1

α。

上式 = α (u − α1) (u − α2)

 u − 1

α + (α₁ + α₂)



= (u − α1) (u − α2) (αu − 1 + α(α1+ α2))

= (u − α1) (u − α2) (αu − 1)



1 + α(α1+ α2) αu − 1

 . 因 αu 及 α(α₁+ α2) 甚小⁸ 故上式

≈ (u − α1) (u − α2) (αu − 1) (1 − α(α1+ α2)) . 而 (11) 式中被積分者變成

1

p(u − α1) (u − α2) (αu − 1) (1 − α(α1+ α2)) ≈ 1 + ¹₂α(α1+ α2)

1 + ¹₂αu
p(u − α1) (α2− u)

, (12) 式中 αi = _r¹

i, r1 是遠日點, r2 是近日點。 愛氏要計算 Z α2

α1

1 + ¹₂α(α₁+ α₂)

1 + ¹₂αu
p(u − α1) (α₂− u)

du = ∆ϕ. (13)

81. 首先, 注意到 (10)

du dϕ

2

=_B^2A₂+_B^α₂u − u²+ αu³ 各符號的單位是 u (長度⁻¹), A(無單位), B(長度), α(長度), 整個式 子的單位是長度⁻²。

2. (10) 式, (11) 式

du dϕ

2

恆正, = ^2A_B + · · · + αu³= α (u − α1) (u − α2) (u − α3), α1 < α2< α3, u 的範圍必需在 α1, α2 之間。

3. α = ^2GM_c2 , 若將重力常數 G = 6.672 × 10⁻¹¹公尺³公斤⁻¹秒⁻²、 太陽質量 = 2 × 10³⁰公斤、 光速 = 3 × 10⁸ 公尺/秒 代入, 得 α = 2 × 6.672 × 10⁻¹¹×2 × 10³⁰/ 9 × 10¹⁶公尺 ≈ 3 × 10³ 公尺 = 3 公里。

在 (12) 式中, 與 1 比較, α(α1+ α2) = 3 ×

 1

69816900+ 1 46001200



。而 αu, u 介於積分上下限 α1, α2之間, 所以 αu 也

很小。 這一個近似式 (12) 及 (13) 是愛氏水星論文計算之本, 在水星論文中愛氏直接給出答案 π

 1 +3

4α(α1+ α2)



, 沒有計算 過程。 本文提供仔細的計算, 供讀者參考。

若與第一節 (4) 式比較, (13) 式中, 當 α = 0 時, 此積分的答案應為 π。 愛氏認為當 α = 2GM c² 時, (13) 式之積分應為 π + δϕ, 此一 δϕ 即水星在經過半個週期, 近日點之進動角度。

以下計算

 1 + 1

2α(α1+ α2)

 Z 1 + ¹₂αu p(u − α1) (α2− u)

du, (14)

(u − α1) (α2 − u) = (α2− α1)²

4 −



u −α1+ α2

2

2

. 令 z = u − α1+ α2

2 , 則 u = α1, z = α1− α2

2 ; u = α2, z = α2− α1

2 , dz = du。

積分式 = dz

 1 + α

2z +α(α1+ α2) 4



.r (α2 − α1)² 4 − z². 不定積分, 分成兩項, 1 +^α(α1₄^+α2)/

q(α2−α1)²

4 − z² 和 ^α

2z /

q(α2−α1)² 4 − z² 第一項,

Z dz

qα1−α2)² 4 − z²

= sin⁻¹ z

α2−α1

2

= sin⁻¹ 2z α2− α1

代回 (14),

 1 + 1

2α(α1+ α2)

 

1 + α(α1+ α2) 4



sin⁻¹ 2z α2− α1

α2−α1 2

α1−α2 2

=

 1 + 1

2α(α1+ α2)

 

1 + α(α1+ α2) 4



sin⁻¹(1) − sin⁻¹(−1)

=

 1 + 1

2α(α1+ α2)

 

1 + α(α1+ α2) 4



· π.

第二項計算 Z

α 2zdz r (α1− α2)²

4 − z²

, 下限是 α1− α2

2 , 上限是 α2− α1

2 , 這相當於求定積分 Z m

−m

ydy pm²− y²

, 被積分者乃一奇函數, 由對稱性, 答案顯然是 0。 因此, 愛氏所得是

 1 + 1

2α(α1+ α2)

 

1 + α(α1+ α2) 4

 π ≈

 1 + 3

4α(α1+ α2)

 π,

此為半個週期 44 天之量, 先將其 2 倍再扣掉 2π, 則一個週期之進動量為 3

2α(α₁+ α₂)π。 現

α1 = 1 r1

= 1

a(1 + e), α2 = 1 r2

= 1

a(1 − e), a 是軌道半長軸, e 是離心率。

α1+ α2 = 2 a(1 − e²). 一個週期 T 之進動量為 3α

a(1 − e²)π。 利用克卜勒週期律 a³

T² = GM 4π² , 3α

a(1 − e²)π = 3a²απ

a³(1 − e²) = 3a²α4π² GMT²(1 − e²)π.

將 α = 2GM c² 代入,

原式 = 24π³ a² T²c²(1 − e²), 此為水星論文之 (14) 式。

再乘以 100年

T 年 。 先將 24π³ a²

T²c²(1 − e²) 中 a = 57909100 公里, T = 88 × 86400秒, c = 3 × 10⁵ 公里/秒, e = 0.206 代入, 然後再乘以 100

T = 100 × 365

88 (代表 100 年累積的 進動)。 最後再乘以 180

π × 3600 化為弧秒, 因此得到 42.7 ≈ 43 弧秒。

附錄

愛因斯坦可能是第一位引進 pseudo-Riemannian Manifold 的 「幾何學家」。 原來, Riemannian manifold 是指一個流形 M, 配備了一個對稱正定的二階度規張量, 亦即 P gijdxⁱdx^j, (gij) 是正定的。 在廣義相對論中, 四維流形 M 配備的是一個要求行列式 det(g_ij) 6= 0 的二階對稱張量, 但是 (gij) 在對角線化時, 具 + − −− 的記號。

一個最簡單的情形就是 Minkowski 的四維平直時空 R⁴, 配備了

c²dτ² = c²dt²− dx²− dy²− dz² 的度規張量, 代表無重力亦即狹義相對論的情形。

其次是 Schwarzschild metric:

c²dτ² = c²



1 −2m r

 dt²−



1 −2m r

−1

dr²− r²dθ² − r²sin²θdϕ². 式中 m = GM / c²。(見本文第二節)

此度規在原點是一個奇異點, 在原點之外, 滿足 Ricci 張量 R_ij = 0, 亦即真空中的愛因 斯坦場方程式。 在一個具度規張量 P gijdxⁱdx^j 的流形上, 我們定測地線如下。

定義 1. 一條參數曲線 ω(s) = (xⁱ(s)) 如果滿足 d²xⁱ

ds² + Γⁱ_jkdx^j ds

dx^k ds = 0, 就稱為一條測地線。

式中 Γⁱ_jk = 1

2g^iℓ(gℓj,k+ gℓk,j− gjk,ℓ) 稱為此度規的 Christoffel 記號。 (注意, 如果一個 足碼上下同時出現, 代表求和, 例如 gijdxⁱdx^j 代表 P

ijgijdxⁱdx^j, (g^ij) 是 (gij)的反矩陣, 而 gℓj,k代表 gℓj 對 x^k 的偏微分)

通常, 若要從給定的 g_ijdxⁱdx^j 來寫下測地線方程, 計算量很大, 但是可以另闢蹊徑如下:

定 L = 1

2g_ij˙xⁱ˙x^j ( ˙xⁱ 是指參數曲線 (xⁱ(s)) 對 s 的微分), 而求 L 的 Euler-Lagrange 方程

式: d

ds

∂L

∂ ˙xⁱ − ∂L

∂xⁱ = 0, i = 1, 2, . . . , n.

可以驗證, 此一方程組等價於測地線方程組 (參考 J. Foster, J. D. Nightingale 所著 A Short Course in General Relativity, 2^nd ed. pp.62∼63)

利用 L 及 Euler-Lagrange 方程的好處是 (1) 不必先計算 Γ^k_ij,

(2) 如果有一個坐標 xⁱ 未出現在 L 中, 則 d ds

 ∂L

∂ ˙xⁱ



= 0, 因此 ∂L

∂ ˙xⁱ 就是一個守恆量, 守恆 量越多, 求解測地線方程就越容易。

本文中所引水星論文, 求解運動方程的方式正是從兩個守恆量 A, B 出發, 來簡化變數之間的 關係 (見第二節 (10) 式)

參考資料

1. 愛因斯坦水星論文(見本文註3)。

2. 愛因斯坦 《廣義相對論的基礎》(見本文註3)。

3. J. Foster and J. D. Nightingale, A Short Course in General Relativity. 2^nd ed. 1995 Springer-Verlag, N.Y.Inc.

4. Einstein’s Paper “Explanation of the Perihelion Motion of Mercury from General Rel- ativity Theory” Anatoli Andrei Vankov IPPE, Obninsk, Russia; Bethany College, KS, USA.

—本文作者為台大數學系退休教授_—